Синусоидальный ток напряжение эдс

Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа - алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в любом узле, равна нулю

. ( 3.1)

Токи, направленные от узла, условно принимаются положительными, а направленные к нему – отрицательными (или наоборот).

Второй закон Кирхгофа - алгебраическая сумма э. д. с. замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений в нём

.

П р и м е н е н и е з а к о н о в К и р х г о ф а. Устанавливаем число неизвестных токов, равное N_в — N_т. Для каждой ветви задаются положительным направлением тока.

Общее число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу (N_в — Nт) неизвестных токов. Числоуравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно (N_у - 1). Число взаимонезависимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа

К =(N_в —N_т ) — (N_у - 1). (3.3)

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока.

 

3. В основе принципа лежит принцип суперпозиции (наложения): ток в любой ветви сложной электрической цепи, содержащей несколько ЭДС, может быть найден как алгебраическая сумма токов в этой ветви от действия каждой ЭДС в отдельности.

Например, токи в схеме на рис. 1.10, а находятся как алгебраические суммы частичных токов, определяемых из схем 1.10, б и в.

 

Метод контурных токов

Метод основан на том, что ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви. При пользовании этим методом выбирают и обозначают контурные токи (по любой ветви цепи должен проходить хотя бы один выбранный контурный ток). Общее число контурных токов равно К =(N_в —N_т ) — (N_у - 1). Рекомендуется выбирать N_т, контурных токов так, чтобы каждый из них - проходил через один источник тока. Эти контурные токи можно считать совпадающими с соответствующими токами источников тока J₁, J_2,. .., J_NT, и они обычно являются заданными условиями задачи. Для них уравнения не составляют, но учитывают при составлении уравнений для других контуров.

Оставшиеся К =(N_в —N_т ) — (N_у - 1)контурные токи выбирают проходящими по ветвям, не содержащим источников тока. Для определения последних контурных токов по второму закону Кирхгофа для этих контуров составляют К уравнений в виде

R₁₁I₁₁ + R₁₂Ι₂₂ + … +R_1kI_kk+ … + J_nR_n = Е_11,

R₂₁I₁₁ + R₂₂Ι₂₂ + … +R_2kI_kk+ … + J_nR_n = Е_22, (3.4)

R_k1I₁₁ + R_k2Ι₂₂ + … +R_kkI_kk+ … + J_nR_n = Е_kk

где R_nn — собственное сопротивление контура n (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур n);

R_nl — общее сопротивление

контуров n и L, причем R_nl = R_ln.. Если направления контурных токов в общей ветви для n и L, совпадают, то R_nl положительно, в противном случае R_nl отрицательно;

Е_nn- алгебраическая сумма э. д. с., включенных в ветви, образующие контур n;

R_n — общее сопротивление ветви контура n с контуром, содержащим источник тока J_n

Метод узловых потенциалов.

Он позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа

m = N_у - 1.(3.5)

Сущность метода заключается в том, что вначале путем решения системы уравнений определяют потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, находят с помощью закона Ома.

При составлении уравнений по методу узловых потенциалов вначале полагают равным нулю потенциал какого-либо узла (его называют базисным).

Для определения потенциалов оставшихся (m = N_у —1) узлов составляется следующая система уравнений

(3.6)

Здесь G_ss – сумма проводимостей ветвей, присоединённых к узлу S;

G_sq – сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел S с узлом q;

- алгебраическая сумма произведений э.д.с. ветвей, примыкающих к узлу S, на их проводимости; при этом со знаком плюс берутся те э.д.с., которые действуют в направлении узла S, и со знаком минус –в направлении от узла S;

- алгебраическая сумма источников тока, присоединённых к узлу S; при этом со знаком плюс берутся те токи, которые направлены к узлу S, а со знаком минус – в направлении от узла S.

Методом узловых потенциалов рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений будет меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.

Если в схеме некоторые узлы соединяются идеальными источниками э.д.с., то число m уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов, уменьшается

m = N_у – Nи – 1(3.7)

где Nи – число ветвей, содержащих только идеальные источники э.д.с. В этом случае за нуль принимается один из узлов, принадлежащих ветви с идеальным источником э.д.с., тогда потенциал другого равен _{_}± Е. Плюс, если двигаться по э.д.с., минус –если против.

6. Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи. Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей Р_И, развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей Р_п, расходуемых в приемниках энергии

= , или . (4.6)

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

Следует указать, что в левой части (4.6) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (4.6) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора).

Где Σ Ε_k I_k – алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых направления действия э.д.с. Ε_k и соответствующего тока I_k совпадают, в противном случае слагаемое отрицательно;

Σ Ε_k J_k - алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых напряжение на источнике тока (оно определяется расчетом цепи внешней по отношению к зажимам источника тока) и его ток J_k совпадают по направлению, в противном случае слагаемое отрицательно.

12.

Законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме

.

(7.1)

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме

.	(7.2)
Пример. Составим уравнения по законам Кирхгофа (рисунок 7.1)

Рисунок. 7.1

Метод контурных токов

Пример. Составим уравнения методом контурных токов(рисунок 7.2)

 

Рисунок 7.2

Решим их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найдем последние.

, .

Метод узловых потенциалов

Пример. Составим уравнения методом узловых потенциалов (рисунок 7.3).

 

 

Рисунок 7.3

Составим уравнения по методу узловых потенциалов для узлов а и в. Потенциал узла =0.

.

Токи ветвей выразим по закону Ома

.

Баланс мощностей

Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.

(8.13)

Баланс соблюдается и для реактивных мощностей

(8.14)

“-” где знак “+” относится к индуктивным элементам ; – к емкостным .

Умножив (8.14) на “j” и сложив полученный результат с (8.13), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета взаимной индуктивности)

или

Резонанс напряжений

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.

Для цепи на рисунке 11.1 имеет место

где

,

(11.1)

 

.

(11.2)

В зависимости от соотношения величин и возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а, следовательно,

. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рисунке 11.2,а.

Рисунок 11.2

2. В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай отражает векторная диаграмма на рисунке 11.2,б.

3. - случай резонанса напряжений (рисунок 11.2,с).

Условие резонанса напряжений

.

(11.3)

При этом, как следует из (11.1) и (11.2), .

При резонансе напряжений ток в цепи наибольший .

Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа - алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в любом узле, равна нулю

. ( 3.1)

Токи, направленные от узла, условно принимаются положительными, а направленные к нему – отрицательными (или наоборот).

Второй закон Кирхгофа - алгебраическая сумма э. д. с. замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений в нём

.

П р и м е н е н и е з а к о н о в К и р х г о ф а. Устанавливаем число неизвестных токов, равное N_в — N_т. Для каждой ветви задаются положительным направлением тока.

Общее число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу (N_в — Nт) неизвестных токов. Числоуравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно (N_у - 1). Число взаимонезависимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа

К =(N_в —N_т ) — (N_у - 1). (3.3)

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока.

 

3. В основе принципа лежит принцип суперпозиции (наложения): ток в любой ветви сложной электрической цепи, содержащей несколько ЭДС, может быть найден как алгебраическая сумма токов в этой ветви от действия каждой ЭДС в отдельности.

Например, токи в схеме на рис. 1.10, а находятся как алгебраические суммы частичных токов, определяемых из схем 1.10, б и в.

 

Метод контурных токов

Метод основан на том, что ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви. При пользовании этим методом выбирают и обозначают контурные токи (по любой ветви цепи должен проходить хотя бы один выбранный контурный ток). Общее число контурных токов равно К =(N_в —N_т ) — (N_у - 1). Рекомендуется выбирать N_т, контурных токов так, чтобы каждый из них - проходил через один источник тока. Эти контурные токи можно считать совпадающими с соответствующими токами источников тока J₁, J_2,. .., J_NT, и они обычно являются заданными условиями задачи. Для них уравнения не составляют, но учитывают при составлении уравнений для других контуров.

Оставшиеся К =(N_в —N_т ) — (N_у - 1)контурные токи выбирают проходящими по ветвям, не содержащим источников тока. Для определения последних контурных токов по второму закону Кирхгофа для этих контуров составляют К уравнений в виде

R₁₁I₁₁ + R₁₂Ι₂₂ + … +R_1kI_kk+ … + J_nR_n = Е_11,

R₂₁I₁₁ + R₂₂Ι₂₂ + … +R_2kI_kk+ … + J_nR_n = Е_22, (3.4)

R_k1I₁₁ + R_k2Ι₂₂ + … +R_kkI_kk+ … + J_nR_n = Е_kk

где R_nn — собственное сопротивление контура n (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур n);

R_nl — общее сопротивление

контуров n и L, причем R_nl = R_ln.. Если направления контурных токов в общей ветви для n и L, совпадают, то R_nl положительно, в противном случае R_nl отрицательно;

Е_nn- алгебраическая сумма э. д. с., включенных в ветви, образующие контур n;

R_n — общее сопротивление ветви контура n с контуром, содержащим источник тока J_n

Метод узловых потенциалов.

Он позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа

m = N_у - 1.(3.5)

Сущность метода заключается в том, что вначале путем решения системы уравнений определяют потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, находят с помощью закона Ома.

При составлении уравнений по методу узловых потенциалов вначале полагают равным нулю потенциал какого-либо узла (его называют базисным).

Для определения потенциалов оставшихся (m = N_у —1) узлов составляется следующая система уравнений

(3.6)

Здесь G_ss – сумма проводимостей ветвей, присоединённых к узлу S;

G_sq – сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел S с узлом q;

- алгебраическая сумма произведений э.д.с. ветвей, примыкающих к узлу S, на их проводимости; при этом со знаком плюс берутся те э.д.с., которые действуют в направлении узла S, и со знаком минус –в направлении от узла S;

- алгебраическая сумма источников тока, присоединённых к узлу S; при этом со знаком плюс берутся те токи, которые направлены к узлу S, а со знаком минус – в направлении от узла S.

Методом узловых потенциалов рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений будет меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.

Если в схеме некоторые узлы соединяются идеальными источниками э.д.с., то число m уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов, уменьшается

m = N_у – Nи – 1(3.7)

где Nи – число ветвей, содержащих только идеальные источники э.д.с. В этом случае за нуль принимается один из узлов, принадлежащих ветви с идеальным источником э.д.с., тогда потенциал другого равен _{_}± Е. Плюс, если двигаться по э.д.с., минус –если против.

6. Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи. Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей Р_И, развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей Р_п, расходуемых в приемниках энергии

= , или . (4.6)

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

Следует указать, что в левой части (4.6) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (4.6) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора).

Где Σ Ε_k I_k – алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых направления действия э.д.с. Ε_k и соответствующего тока I_k совпадают, в противном случае слагаемое отрицательно;

Σ Ε_k J_k - алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых напряжение на источнике тока (оно определяется расчетом цепи внешней по отношению к зажимам источника тока) и его ток J_k совпадают по направлению, в противном случае слагаемое отрицательно.

синусоидальный ток напряжение эдс

Величины е (1.1), u(1.2), i (1.3) называют мгновенными ЭДС, напряжением и током. Их наибольшие значения Еm, Umи Imназывают а амплитудами. Величину ω = 2π/Т = 2πfназывают угловой частотой. Аргумент синуса, отсчитываемый от ближайшей предыдущей точки перехода синусоидальной величины через нуль от отрицательных к положительным ее значениям, называют фазой, величины - начальной фазой, соответственно, ЭДС, напряжения и тока.

На рис. 1.1. изображены синусоидальные напряжение и ток с одним и тем же периодом.

Рис. 1.1. Синусоидальные напряжение и ток с одним и тем же периодом

Необходимо обратить внимание на то, что положительные фазы и должны откладываться от начала координат влево. По оси абсцисс можно откладывать или время t, или пропор-циональную ему угловую величину ωt. Соответственно, периодом будет являться или Т, или 2 .

Разность фаз напряжения и тока называют также углом сдвига тока по отношению к напряжению. При φ=0 ток и напряжение совпадают по фазе, при - противоположны по фазе, при - находятся в квадратуре.

В большинстве случаев мы стремимся к тому, чтобы в электрических цепях токи и напряжения изменялись по синусоидальному закону, так как отклонение от этого закона ведет к нежелательным явлениям - появляются дополнительные потери в элементах цепи, возрастает влияние мощных линий передачи на соседние линии связи и т.д. Начнем рассмотрение с синусоидальных функций еще и потому, что любую периодическую функцию можно разложить в ряд синусоидальных функций различных частот (ряд Фурье) и, следовательно, рассмотрение синусоидальных токов позволит в дальнейшем перейти к изучению более сложных периодических ЭДС, токов и напряжений.