Обнаружение тупиковых состояний.

 

Используя уравнение (5.2), условие возбуждения перехода t_j можно представить в виде:

n n

∑ I(t_j,P_i)m(P_i) ≥ ∑ I(t_j,P_i),

i=1 i=1

или учитывая, что I(t_j,P_i) = O*(P_i, t_j),

n n

∑ O*(P_i,t_j)m(P_i) ≥ ∑ O*(P_i,t_j). (5.13)

i=1 i=1

Для краткости будем использовать векторную запись условия возбуждения переходов:

 

O*M ≥ O*E, где Е – единичный вектор.

 

Условие (5.13) объясняется следующим образом: если некоторая компонента j левой части при данном маркировании М равна соответствующей компоненте правой части или больше её, то переход t_j возбуждается.

Поскольку множество достижимых маркирований R(N) должно удовлетворять (5.10), то отсутствие возбуждаемых переходов для M R(N) следует определять из решения системы:

BM = BM₀;

O*M = O*E – E. (5.14)

 

Если эта система имеет решения, то некоторое её маркирование является тупиком. Заметим, что отношению (5.11) могут удовлетворять недопустимые маркирования, поэтому решением системы (5.14) также могут быть недопустимые маркирования, хотя все допустимые тупики удовлетворяют ему.

Таким образом, система (5.14) – достаточное условие того, что маркирование М тупиково.

Для анализа тупиков можно также использовать систему:

M = M₀ + A*S ≥ 0;

O*M ≤ O*E – E,

 

или

M₀+ A*S ≥ 0;

O*AS ≤ O*(E - M₀) – E, (5.15)

 

если в число исходных данных входит известный вектор счёта срабатываний S. Таким образом, не совместимость системы (5.14) или (5.15) свидетельствует об отсутствии маркирования M или вектора счёта срабатываний S, которые ведут к тупику из M₀ .

Рассмотрим на простых примерах возможности изложенного подхода. Для сети на рис. 5.22а согласно уравнению (5.7) Р-инвариант Х является целочисленным решением системы:

 

- x₁+ x₃ = x₂ + x₃ = x₁ + x₂ – x₄ = 0.

 

Ранг матрицы А системы АХ=0 равен трём, поэтому данная система имеет одно целочисленное базисное решение, вектор-строка которого X* = (1, -1, 1, 0). Подставив Х и M₀ в равенство (5.11) BM = BM₀ = K₀, получим условие, верное для любого достижимого маркирования:

 

M = (m₁, m₂, m₃, m₄): m₁ – m₂ + m₃ = 0 или m₁+m₃ = m₂ .

 

Из последнего условия виден смысл инварианта: сумма числа меток в позициях P₁, и P₃ и число меток в позиции Р₂ равны для любого достижимого маркирования сети. Этот инвариант верен здесь для диаграмм состояний (рис. 5.22 б, рис. 5.22 в), соответствующих разным правилам управления срабатыванием переходов. Вывод об ограниченности сети по данному значению Х сделать нельзя.

Вычислим t-инварианты Y. Из системы (5.12) получим систему уравнений:

 

- y₁ + y₃ = - y₂ + y₃ = y₁ - y₂ = - y₃ = 0.

 

Система имеет только нулевое решение Y* = (0, 0, 0), поэтому в данной сети не существует маркирований, связанных циклами на диаграмме состояний. Маркирование М совпадает с начальным, только если не срабатывает ни один из переходов сети, поскольку все компоненты вектора Y нулевые. Иначе говоря, поскольку Y =0, то последовательность состояний сети не имеет возвратов, что подтверждается диаграммами состояний.

В связи с полученными особенностями целесообразно определить, имеет ли тупик указанная невозвратная последовательность маркировок. Система уравнений (5.14) имеет вид:

m₁ - m₂ + m₃ = m₁ = m₄ = 0;

m₂ + m₃ + m₄ = 2.

 

Система совместна, и ей удовлетворяют любые маркирования, которые имеют m₁=0; m₂= m₃; m₄=0. Тупиковыми, например, являются маркирования М=(0110), М=(0220) и т. д. Таким образом, сеть номер два не является безтупиковой при M₀=(1101).

 

Рассмотрим ещё один пример анализа.

 

 

			-1
	-1
		-1

 

 

А=

Ранг матрицы А равен двум, поэтому n-2=1, т. е. в фундаментальную систему решений однородной системы АХ=0 входит один вектор Х. Распишем систему АХ=0:

 

x₁ – x₃ = x₂ – x₁ = x₃ – x₂ = 0.

 

Взяв её целочисленное решение X*=(1,1,1), получим условие инвариантности для позиций:

 

X*M = X* M₀ = m₁ + m₂ + m₃ = 1.

 

Интерпретация полученного результата состоит в следующем: сеть ограничена, поскольку , и, более того, - безопасна, поскольку суммарное число меток в сети не превышает 1.

Для вычисления t-инварианта рассмотрим систему:

 

y₁ – y₂ = y₂ – y₃ = y₃ – y₁= 0,

 

из которой найдём Y*=(1,1,1). Поскольку Y≠0 - сеть устойчива, т. е. процессы в ней периодически повторяются. Поскольку t-инвариант Y охватывает все переходы, так как все y_i=1, то сеть жива. Система уравнений (5.14) для данной сети:

m₁ + m₂ + m₃ = 1;

m₁ ≤ 0; m₂ ≤ 0; m₃ ≤ 0.

 

Поскольку она несовместна, делаем вывод, об отсутствии тупиков в данной сети.

Применив описанный подход к анализу следующей сети: можно убедиться в том, что она живая, неограниченная и беступиковая.