Оптимальный приемник известных сигналов с активной паузой

 

Пусть S₁(t) = A cos w₁t, S₂(t) = A cos w₂t, 0 £ t £ T (дискретная частотная модуляция - ДЧМ).

Преобразуем выражение (4.4)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

x²(t) - 2x(t)S₁(t) + S²₁(t) < х²(t) - 2x(t)S₂(t) + S²₂(t), то S₁.

_ _ _ _ _ _

Здесь S²₁(t) = S²₂(t), так как это мощности сигналов S₁(t) и S₂(t), а эти мощности равны между собой из-за равенства амплитуд этих сигналов. После очевидных сокращений получаем следующее оптимальное правило решения _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

x(t)S₁(t) > x(t)S₂(t), то S₁

или, более кратко

B_xS1(0) > B_xS2(0), то S₁. (6.1)

Смысл полученного выражения очевиден: если функция взаимной корреляции входного сигнала x(t) и сигнала S₁(t) больше, чем функция взаимной корреляции сигналов x(t) и S₂(t), то x(t) содержит, кроме помехи, сигнал S₁(t).

Cигналы S₁(t) и S₂(t), используемые для вычисления функций взаимной корреляции, должны генерироваться в схеме приемника и совпадать по частоте и фазе с оптимальными сигналами, которые поступают или могут поступать на вход приемника.

Схема, реализующая правило решения (6.1), также называется корреляционным приемником и приведена на рис. 6.1.

Схема содержит два коррелятора по числу передаваемых сигналов При приеме сигналов ДЧМ местные генераторы генерируют сигналы A cos w₁t и A cos w₂t. Эта же схема пригодна для приема дискретной фазовой мо-дуляции (ДФМ), если в качестве опорных сигналов использовать сигналы S₁(t) = A cos w₀t и S₂(t) = - A cos w₀t.

Если вероятности передачи сигналов S₁(t) и S₂(t) не одинаковы, т.е. P(S₁)¹ P(S₂), то неравенство (6.1) принимает несколько другой вид

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

x(t)S₁(t) - s²_n lnP(S₁) > x(t)S₂(t) - s²_n lnP(S₂), то S₁ , (6.2)

а в структурной схеме рис.6.1 перед схемой сравнения добавляются выравнивающие устройства, аналогично показанным на рис.4.2.

Однако для приема сигналов ДФМ схему рис.6.1 можно упростить, если использовать один общий коррелятор (рис. 6.2).

Если x(t) содержит сигнал S₁(t) = A cos w₀t, н а выходе интегратора имеем напряжение, равное B_xUг (0) > 0. Если же x(t) содержит сигнал S₂(t) = - A cos w₀t, то на выходе интегратора имеем напряжение, равное B_xUг (0) < 0. Напряжение на выходе интегратора сравнивается с пороговым напряжением, равным нулю, и в зависимости от результатов сравнения выдает сигналы S₁ или S₂.

В рассмотренных здесь корреляционных приемниках осуществляется когерентный прием сигналов, поэтому применяемые в приемниках генераторы должны выдавать опорные сигналы S₁(t) и S₂(t), совпадающие с аналогичными принимаемыми сигналами с точностью до фазы. Поэтому для работы рассмотренных здесь корреляционных приемников требуется синхронизация местных генераторов сигналов. На рис. 6.2, например, пунктиром показана цепь синхронизации опорного генератора Г входным сигналом x(t) с помощью специального устройства фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ).

 

7. Вероятность ошибки в оптимальном приемнике

Средняя вероятность ошибки в соответствии с формулой ( 2.4 ) зависит от вероятности неправильного приема сигналов S ₁ и S ₂ . Однако при применении идеального приемника Котельникова канал связи предполагается симметричным, т.е. P(y ₂/ S ₁ ) = P(y ₁/ S ₂ ). Поэтому формула ( 2.4 ) упрощается. В нашем случае P _ош = P(y ₂/ S ₁ ). Эту формулу мы возьмем за основу при определении вероятности ошибки в приемнике Котельникова.

Допустим, нам известно, что на вход приемника поступает сигнал S ₁ (t). В этом случае, в соответствии с правилом решения приемника Котельникова ( 4.4 ), должно выполняться следующее неравенство

_{_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}

[x(t) - S₁(t)]² < [x(t) - S₂(t)]². ( 7.1 )

Однако, несмотря на поступление сигнала S ₁ (t), при сильной помехе знак неравенства может измениться на противоположный, в результате чего приемник вместо сигнала S ₁ (t) выдает сигнал S ₂ (t), то есть произойдет ошибка. Вероятность искажения сигнала S ₁ (t) можно определить как вероятность изменения знака неравенства ( 7.1 ), если подставить туда x(t) = S₁(t) + n(t).

После очевидных преобразований получаем

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

p_ош = P(y₂/S₁) = P{n²(t) > [n(t) + S₁(t) - S₂(t)]²} =

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

=P{0 > 2 n(t) [S₁(t) - S₂(t)] + [S₁(t) - S₂(t)]²} =

= P{1/T 2n(t) [S₁(t) - S₂(t)]dt + 1/T [S₁(t) - S₂(t)]²dt < 0}.

Сокращая на Т, получаем

p_ош = P{ n(t) [S₁(t) - S₂(t)]dt + 0,5 [S₁(t) - S₂(t)]²dt < 0}.

Обозначим в этом выражении:

n(t) [S₁(t) - S₂(t)]dt = m, [S₁(t) - S₂(t)]²dt = Е_э ( 7.2 )

С учетом этих обозначений вероятность искажения сигнала S ₁ будет определятся формулой

P_ош = P{m < 1/2× E_э}. ( 7.3 )

В этой формуле E _э - энергия разности сигналов S ₁ (t) - S ₂ (t), называемая "эквивалентной энергией", а m - некоторая случайная величина, зависящая от помехи n(t) и разности сигналов S ₁ (t) - S ₂ (t).

Так как помеха n(t) имеет гауссовское распределение, а величина m есть результат линейной операции над n(t), то и величина m распределена также по гауссовскому закону

Тогда, в соответствии с ( 7.3 )

( 7.4 )

где - табулированный интеграл вероятностей.

Можно доказать,что при флюктуационной помехе на входе приемника со спектральной плотностью помехи N ₀ дисперсия величины m определяется формулой s² _m = N₀E_э /2.

Подставляя это значение s² _m в ( 7.4 ) получим окончательно ( 7.5 )

Таким образом, в приемнике Котельникова вероятность ошибки полностью определяется эквивалентной энергией сигналов и спектральной плотностью помехи и от полосы пропускания приемника не зависит. На практике обычно на входе приемника все-таки ставят полосовой фильтр, так как в канале связи, кроме флюктуационных помех, часто встречаются также другие помехи ( от соседних каналов, импульсные и др. )

Формула ( 7.5 ) является достаточно общей. Для конкретных видов модуляции в канале связи эту формулу видоизменяют, для чего вычисляют соответствующее значение E _э. При этом для различных видов модуляции E _э определяют через энергию одного из сигналов, а в окончательную формулу вводят величину

h²₀ = E₁/N₀. ( 7.6 )

Следовательно, в приемнике Котельникова, который также называется когерентным ( в приемнике известна фаза принимаемого сигнала ) вероятность ошибки зависит не от отношения мощности сигнала к мощности помехи, а от отношения энергии сигнала к спектральной плотности помехи. Это позволяет, не меняя мощности сигнала, увеличить его энергию за счет увеличения его длительности, что дает дополнительные возможности в построении помехоустойчивых систем связи.