Электронный газ в модели одномерной бесконечно глубокой ямы


Поведение одной частицы в бесконечно глубокой одномерной яме было разобрано в § 3 лекции N 7. Теперь мы хотим разместить в этой яме N свободных электронов. При этом взаимодействием между электронами мы пренебрегаем, но обязательно должны учесть принцип Паули (§ 1, лекция 9). В нашем случае квантовыми числами, задающими состояние электрона, будут n и спиновое квантовое число ms, которое для электрона может принимать два значения, ms = ±1/2. Принцип Паули утверждает, что в одномерной яме не может быть двух электронов с одинаковыми квантовыми числами n и ms. Так как ms принимает два значения, то на каждом энергетическом уровне в одномернойяме сможет разместиться не больше двух электронов.

Уровень энергии, отвечающий различнымквантовым состояниям, называется вырожденным.В одномерной потенциальной яме все уровни двукратно вырождены.

На рисунке 10.1 изображена одномерная, бесконечно глубокая потенциальная яма, в которой размещены шесть электронов (N = 6) при T = 0. Первые три энергетических уровня заняты, все остальные, начиная с четвертого (n = 4) - свободны.

Рис. 10.1

Энергия Ферми EF(0) - это энергия электронов на высшем, еще заполненном уровне при T = 0.

На нашем рисунке 10.1 энергия Ферми при N = 6 равна энергии третьего энергетического уровня. В реальных ситуациях число электронов N имеет порядок числа Авогадро (см. Ч. 4, лекция 1, § 1), т.е. N ~ NA. Выражение для энергии Ферми при T = 0, EF(0), получим, приравняв квантовое число n в формуле (7.21) для энергии стационарных состояний частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме половине числа частиц, т.е. n = N/2 (т.к. на каждом уровне - два электрона). Тогда получим:

Как мы видим, энергия Ферми при T = 0, EF(0) зависит от числа занятых электронами состояний. В одномерной яме число занятых состояний N (одно состояние - один электрон) (!) равно удвоенному значению квантового числа n. В других ситуациях подсчет числа состояний, доступных микрочастицам, более сложен. Так в трехмерной яме кратность вырождения, т.е. число квантовых состояний, соответствующих заданному значению энергии, растет с ростом энергии. Объясняется это тем, что энергия частицы Е - величина скалярная, а импульс - векторная, как известно . При заданном значении модуля импульса р (а следовательно и энергии Е) направление вектора импульса может быть различным. При этом, как будет показано ниже, число состояний Z, для которых модуль импульса р меньше заданного значения, растет пропорционально третьей степени р. Подсчет числа этих состояний нужен для определения ЕF (0) энергии Ферми для более реалистической модели трехмерной потенциальной ямы. Проще всего этот подсчет выполнить, используя понятия фазового µ-пространства и фазовой ячейки.

Фазовое µ - пространство - это воображаемое шестимерное пространство со взаимно перпендикулярными осями x, y, x, px, py, pz.

Для задания состояния рассматриваемой системы частиц в классической физике также вводят фазовое пространство, объединяющее координаты и импульсы всех частиц системы.

Рис. 10.2

Для частицы, совершающей одномерное движение (частица в одномерной яме), фазовое µ-пространство представляет из себя две взаимно-перпендикулярные оси, по которым откладывается координата x и соответствующий ей импульс p. В квантовой механике появляются ограничения на возможные значения импульса, связанные с квантованием волнового числа k. Для частицы в яме шириной a в соответствии с формулой (7.20):

Так как по соотношению де Бройля (6.1)

то импульсы тоже квантуются:

Здесь

Как отмечалось в § 3 лекции N 7 положительные и отрицательные числа n соответствуют одному и тому же стационарному состоянию, но в фазовом µ-пространстве положения точек, имеющих разные по знаку импульсы, будут разными. Объемом нашего двухмерного пространства ΔГ называют произведение ΔpΔx, т.е.

здесь Δp - интересующий нас интервал изменения импульса, а Δx - интервал изменения координаты.

Найдем ΔГэл - элементарный объем, занимаемый в фазовом пространстве одним квантовым состоянием частицы, находящейся в одномерной бесконечно глубокой яме (спиновое квантовое число здесь не учитывается). Из рисунка 10.2 видно, что для одного квантового состояния.

Двойка появляется из-за того, что одному состоянию соответствуют два значения импульса, отличающиеся знаком.

Очевидно, что Δx = a, тогда

Таким образом, одно квантовое состояние частицы, находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме, занимает в фазовом µ-пространстве одну элементарную ячейку размером h (без учета спина!).

Для подсчета числа квантовых состояний ΔZ в фазовом объеме ΔГ очевидно необходимо поделить фазовый объем ΔГ на объем элементарной ячейки h и умножить, для учета двух направлений спина, на два:

Из формулы (10.3) нетрудно получить формулу (10.1), для этого надо положить , Δx = a и учесть, что









Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su не принадлежат авторские права, размещенных материалов. Все права принадлежать их авторам. Обратная связь