Утверждающе – отрицающие модусы

 

А ^Ú В, В; А ^Ú В, не А

ù А не В

 

Примеры:

Правонарушения делятся на преступления и проступки

Данное правонарушение – проступок_____________

Данное правонарушение не является преступлением

А ^Ú В

_{ù В}

Преступление может быть умышленным (А) или неосторожным (В)

Преступление, совершенное Н., является умышленным

Неверно, что оно является неосторожным (В)

 

Отрицающе – утверждающий модус

Его меньшая посылка отрицает один (или несколько) из дизъюнктов, заключение утверждает оставшийся дизъюнкт. Заключение будет достоверным, если соблюдается правило: в большей посылке должны быть перечислены все возможные дизъюнкты.

 

А Ú В, ù А; А Ú В, ù В;

В А

 

А ^Ú В, ù А; А ^Ú В, ù В

В А

 

Пример.

Проступки бывают гражданскими, административными и дисциплинарными.

Проступок, который совершил гражданин Н., не является ни гражданским, ни

дисциплинарным.

Проступок, который совершил гражданин Н. – административный.

 

А Ú В Ú С, ù А, С.

В

Пожар возник или вследствие нарушения правил пожарной безопасности, или в результате стихийного бедствия, или поджога.

Однако пожар не мог возникнуть в результате стихийного бедствия, или поджога

Пожар мог возникнуть вследствие нарушения правил пожарной безопасности

_{А Ú В Ú С, ù В, С}

_А

Иль чума меня подцепит,

Иль мороз окостенит,

Иль мне в лоб шлагбаум влепит

Непроворный инвалид

(Пушкин)

 

А Ú В Ú С; ù А, В; А Ú В Ú С; А

С _ù В, С

 

Упражнения

I. Являются ли правильными следующие условно-категорические умозаключения?

 

1) Если бы Косоротов совершил это убийство, то он был бы на месте преступления в ту ночь, когда оно было совершено. В ту ночь, когда оно было совершено, Косоротов не был на месте преступления, т.к. он был в другом месте. Следовательно, он не совершал этого убийства.

 

2) Если не зафиксировано изъятие следов преступной деятельности в протоколе, то процессуальный порядок следственного действия не соблюден. Процессуальный порядок следственного действия соблюден. Следовательно, изъятие следов преступной деятельности зафиксировано в протоколе.

 

З) Дилемма

Это слово произошло в результате слияния двух других греческих: «ди» - дважды и «лемма» - предположение. Дилемма – это умозаключение из 3-х посылок: 2 посылки – условные суждения, 1- разделительное суждение.

Формы правильных дилемм следует запомнить:

 

 

	Конструктивные:	Деструктивные:
Простые	А® С, В®С, А Ú В ___ С	А®В, А® С, ù В Ú ù С ùА
Сложные	А®В, С®D   А Ú С __ В Ú D	А ® В, С® D,   ù В Ú ù D ùАÚ ùС

 

Пример простой конструктивной дилеммы:

Сократ говорил:

«Если смерть – переход в небытие, то она благо.

Если смерть – переход в мир иной, то она благо.

Смерть – переход в небытие или мир иной.

Следовательно, смерть – благо».

Упражнения

1) Определить вид дилеммы; 2) сделать вывод; 3) построить его схему.

Если философ признает первичность материи и вторичность сознания, значит он материалист (А®В).

Если же он считает первичным сознание, дух, то он стоит на позициях идеализма (А®В).

Но философ может признавать или первичность материи, или первичность сознания

Философ может быть либо материалистом либо идеалистом

 

(А®В) Ú (С® D), А ^Ú С

В ^Ú D

 

Во время пожара некто рассуждает:

«Если я пойду по лестнице, то сгорю. Если я выпрыгну из окна, то разобьюсь. Я не пойду по лестнице или не выпрыгну из окна.

Я не сгорю или не разобьюсь

 

(В®С) Ù D® Е), ù ВÚ ù D)

ù С Ú ù Е –

Неправильная деструктивная сложная дилемма

 

Если подозреваемый в совершении преступления был задержан и причины (А), препятствующие его допросу, отсутствуют, то его допрос (В) производится немедленно; если произвести допрос немедленно не представлялось (ùВ) возможным, то он (С) должен быть допрошен не позднее 24 часов с момента задержания.

Однако или причины, препятствующие (А) допросу подозреваемого, отсутствовали, или произвести (ùВ) допрос немедленно не представлялось возможным.

 

А® В, ù В® С, А Ú ù В

С

 

Индуктивные умозаключения

В отличие от дедуктивных умозаключений, в которых между посылками и заключением имеет место отношение логического следования, индуктивные умозаключения представляют собой такие связи между посылками и заключением по логическим формам, при которых посылки лишь подтверждают заключение.

Отношение подтверждения обозначается символом «êê». Выражение «éïï- В» читается: множество высказываний é подтверждает высказывание В (из é индуктивно следует В). Если высказывания Г истинны, то степень правдоподобия В при наличии Г выше, чем при отсутствии Г.

Дедуктивная логика – это логика формальная, то есть логика, в которой исследуются связи между высказываниями (понятиями и т.д.) по их логическим формам.

Индуктивная логика – (учение об индуктивных умозаключениях) – это тоже формальная логика, поскольку отношение подтверждения – это отношение между высказываниями по их логическим формам. Вместе с тем, индуктивная логика не является только формальной логикой. В процессе индуктивных рассуждений обычно используются специальные методологические средства, повышающие степень правдоподобия заключений.

В зависимости от типа методологических средств, применяемых в индуктивных рассуждениях, индуктивные рассуждения делятся на два вида:

- ненаучную (популярную) индукцию и научную. В процессе ненаучной индукции применяется методология здравого смысла или же методологические средства не используются вовсе. Научная индукция сопровождается научной методологией.

Индуктивная логика имеет длинную историю. По свидетельствам древних авторов, не дошедшее до нас сочинение Демокрита «Канон» или «О логике», содержащее элементы индуктивной логики. Индуктивную логику разрабатывали Сократ, Платон и Аристотель.

Индукция по Сократу – это способ уточнения понятий этики, заключающийся в следующем: берется первоначальное определение какого-либо понятия («мужество»), анализируется различие случаи употребления данного понятия; если этот анализ приводит к необходимости уточнить понятие, то оно уточняется, затем процедура повторяется.

Платон понимал под индукцией так называемую обратную дедукцию: если А ê- В, то Вïï- А.

Аристотель развивал обобщающую индукцию, т.е. переход от знания о некоторых предметах класса к знанию о всех предметах класса. В «Топике» Аристотель писал: «Наведение… есть восхождение от единичного к общему. Например, если кормчий, хорошо знающий свое дело, - лучший кормчий, и точно так же правящий колесницей; хорошо знающий свое дело, - лучший, то вообще хорошо знающий свое дело в каждой области – лучший».

В средние века индукция практически не разрабатывалась, поскольку на первый план выдвигалось изучение способов выведения знания из высших (божественных) истин, а также согласование знаний с догматами церкви, опытное же знание всячески принижалось.

Бурное развитие опытного естествознания в эпоху Возрождения и Новое время обусловило разработку индуктивной логики. В книге «Новый Органон» Ф.Бэкон (1561-1626) заложил основы так называемых методов установления причинной связи между явлениями, создав «таблицы открытия». Идеи, высказанные Ф.Бэконом развили Гершель и Дж.Милль. Методы установления причинных связей между явлениями обычно называют методами Бэкона – Милля. Существенный вклад в разработку индукции внесли русские логики М.И. Каринский и Л.В. Ратковский.

В рамках современной логики проблемы индукции разрабатываются с использованием теории вероятностей.

Обратная дедукция – это один из видов индуктивных умозаключений.

Схема:

В₁, В₂ …Вn ½½ - А, если и только если А½ - В₁ Ù В₂ Ù… Ù Вn и ½ ¾ ù А, ½ ¾ В₁ Ù В₂, Ù… Ù Вn (n ³1).

Например, А – суждение: «Иванов совершил это преступление». Из А и некоторой совокупности суждений Г, истинность которого установлена, следует суждение В - «Иванов знал место местонахождения похищенных вещей». В этом случае можно сделать вывод о том, что высказывание В подтверждает высказывание А при наличии Г.

Методологическими требованиями, повышающими степень правдоподобия вывода (индуктивного) посредством обратной дедукции, являются:

1) необходимо находить разнообразные следствия, поскольку разнообразные следствия подтверждают утверждение в большей степени, чем однообразные. Например, для обоснования законов диалектики приводят примеры их действия в различных областях природы общественной жизни и познания;

2) необходимо находить наиболее сильные следствия. Если А ½- В, А ½- С и В½ - С, а С½ ¾ В, то следствие В является более сильным чем, А в большей степени (½ ¾ читается«не следует»);

3) необходимо выводить «неожиданные следствия». Если А ½- В, В без А малоправдоподобно, а вместе с А весьма правдоподобно, то А при наличии В весьма правдоподобно[16].

 

 

А) Язык индуктивных умозаключений

 

Если мы хоти записывать в нашем языке единичные, частные и общие суждения, которые необходимы для обсуждения недедуктивных умозаключений, то мы должны расширить наш языки превратить его из языка логики суждений в язык логики предикатов.

Индивидуальные, единичные предметы можно обозначать: а, в, с, d, а₁, в₁, с₁;

Свойства предметов – предикатами этих предметов:

Р,Q, P₁,Q₁ и т.п.

Это лебедь (- а) белый (- р) предикат

Запись: Р(а): «Свойство Р принадлежит а, или «а есть Р».

Чтобы говорить о более, чем одно предмете, при помощи частных и общих суждений, нужно научиться обозначать сразу много предметов.

В языке логики предикатов это делается при помощи предметных переменных, т.е. знаков, которые обозначают не отдельный предмет, а могут обозначать любой предмет из некоторого множества. В качестве предметных переменных мы будем использовать маленькие буквы из конца латинского алфавита:

x, y, z, x₁, y₁, z₁,…

Мы будем говорить, что эти предметные переменные могут обозначать любой предмет из нашего универсума рассуждения. Необходимо ввести специальные обозначения, позволяющие записывать количество суждений: т.е. указывать частное это суждение или общее.

$ - квантор существования (запись частных суждений)

" - квантор общности (запись общих суждений)

«$ х Р (х)» - существует предмет Х, который имеет свойство Р.

«"х Р (х)» - для всякого предмета верно, что этот предмет имеет свойство Р.

«" х $у R (х,у): для всякого х существует такой у, что отношение между х и у - отношение – R.

Пример.

Пусть х, у – предметные переменные, «пробегающие» по множеству натуральных чисел.

$ х " у (х ³ у) – «существует наибольшее натуральное число».

Существует такое натуральное число Х, что для всякого натурального числа У, Х больше или равно У.

Эти сведения о записи суждений, употребляются в логике предикатов, понадобятся, чтобы поставить проблему индукции.

Сначала определим понятие факта.

Факт – знание, основанное на чувственных восприятиях и выраженное единичным суждением.

Простой факт – факт, выраженный отдельным единичным суждением.

Сложный факт – выражение конъюнкций единичных суждений.

Например, «эта бумага белая» - Р (а) – простой.

Сложный: это бумага белая и мягкая - Р (а) Ú Q (а).

Очевидно, что из факта дедуктивно выводимо частное суждение:

Р (а)├ $ х Р (х)

Закон науки выражается общим утверждением, т.е. утверждением, в котором входит квантор общности.

Закон утверждает, что в любом частном случае, во всяком t имеет место какая-то ситуации, или если имеет место некоторая ситуация, то имеет место и какая – либо другая ситуация.

" х Р (х), или " х (Р (х)® Q (х)).

Пример.

Закон физики «Если тело имеет массу, то оно испытывает гравитационные воздействия».

- имеет массу Q₁

- испытывает гравитационные воздействия – Q ₂

" х (Q₁ (х) ® Q ₂(х))

Пример: Закон арифметики «Всякое простое число делится на единицу и на само себя».

Если обозначить предикат «быть простым числом» через Р, «делиться на единицу» - через Q_1, делиться самое на себя» - через Q ₂, то схема:

"_х (Р(х) º Q₁ (х) Ù Q ₂ (х))

Во всех примерах законов речь идет обо всех объектах какого-либо класса или множества. Это множество может быть:

1)конечным и обозримым, так что мы можем установить свойства или отношения каждого элемента этого множества;

2)конечным, но не обозримым, так что мы не можем установить свойства или отношения каждого элемента этого множества.

3) бесконечным.

Возникает проблемная ситуация:

Мы можем наблюдать только конечное ограниченное число предметов, но закон как общее суждение распространяется на необозримоеконечное или бесконечное число предметов.

На основании этой проблемной ситуации возникает проблем индукции:

как возможен переход от знания о конечном ограниченном множестве предметов к знанию обо всех предметах данного множества?

Проблема индукции решается по-разному для различных видов индуктивных умозаключений.

Б) Полная индукция

Поскольку полная индукция предполагает исследование каждого элемента исследуемого множества, заключение полной индукции дает нам достоверное знание о предметах данного множества.

Схема полной индукции

А = (а₁, а₂….., а_n)

Полная индукция имеет вид:

Р (а ₁)

Р (а₂)

……

Р (а_n)

"х Р (х), где областью определения Х является множество А.

в) Популярная неполная индукция

Полное название этого вида неполной индукций – индукция через простое перечисление при отсутствии контрпримера. Она похожа на полную индукцию с тем отличием, что она имеет дело с конечным необозримым и с бесконечным множеством интересующих нас предметов.

Пример – это наличие у предмета а интересующего нас признака Р, т.е. Р (а).

Контрпример – отсутствие у предмета а интересующего нас признака Р, т.е. Р (а).

Суждение о наличии признака Р у всех предметов, принадлежащих множеству – индуктивное обобщение:

а₁ имеет признак Р

а₂ ………………… Р

а_n ………………….Р

Все а, принадлежащие А, имеют признак Р

 

Р (а ₁)

Р (а₂)

Р (а₃)

……

Р (а_n)

а₁Î А, а₂ Î А, а_nÎА

" х Р (х)

Обратить внимание на:

1)регулярность повторения признака

2)отсутствие контрпримера

Виды неполной индукции:

I. Статистическая неполная индукция – заключается в переносе относительной частоты появления признака с некоторого класса на более широкий класс. В случае статистической неполной индукции исследуются случайные массовые явления, т.е. явления, отдельные составляющие которых непредсказуемы, но предсказуемы некоторые числовые пропорции целого.

Схема статистической неполной индукции:

Предметы класса S обладают свойством А с относительной частотой ¦ (А). Класс S включается в класс К.

Предмет класса К обладают свойством А с относительной частотой ¦ (А).

Заключение, в результате статистической неполной индукции может получаться ложным.

Однако, она используется в тех случаях, когда исследуемые классы событий бесконечны, когда «сплошное» исследование связано с большими затратами, а также когда требуется предсказать события, которые еще не наступили.

Индукцию через отбор правомерно применять при исследовании предметов, объединенных в одно целое по общим признакам, целям и т.д. Например, исследование психических особенностей людей, совершивших преступления.

Индукция на основе общего – при которой в процессе исследования принадлежности предметам определенного свойства не используются какие-либо индивидуально-отличительные признаки этих предметов.

При применении индукции на основе общего в социальной сфере необходимо четко разграничить общее и специфическое в явлениях и на основе социальных экспериментов доказать, что ожидаемый результат имеет место независимо от индивидуальных особенностей исследования предметов[17].

Заключение популярной индукции не является достоверно истинным, но только предположительным, вероятным или правдоподобным.

(распространенность и ненадежность популярной индукции)

Почему не надежна популярная индукция?

Во-первых, случайный характер выбора предметов, принадлежащих интересующему нас множеству А обусловливает возможность того, что исследованное подмножество (а₁, а₂, а_n) случайным образом обладает признаком Р, тогда как существуют другие подмножества А, которые этим признаком не обладают.

Пример.

В Аргентине говорят на испанском языке.

В Эквадоре говорят на испанском языке.

В Венесуэле говорят на испанском языке.

Аргентина, Эквадор, Венесуэла – южноамериканские страны.

Следовательно, во всех южноамериканские странах на испанском языке.

Такое заключение ложно. Во-первых, здесь нет гарантии отсутствия контрпримера.

Во-вторых, популярная индукция не учитывает разнообразия предметов изучаемого множества.

Логическая ошибка, свойственная популярной индукции – поспешное обобщение, которое формируется на основании немногих, случайно встретившихся примеров.

Пример.

Когда заболел сапожник, ему предложили лекарство и оно помогло. Когда заболел портной, ему предложили то же самое лекарство, но портной умер. Следовательно, это лекарство полезно сапожникам и вредно портным.

Рассмотренные недостатки популярной индукции и ошибка поспешного обобщения показывают пути повышения надежности:

1) увеличение числа изученных случаев (введение контрпримера).

2) увеличение разнообразия рассматриваемых случаев.

3)учет характера связи между рассматриваемыми предметами и их признаками.

Однако собственной областью обнаружения причинных связей является наука.

Причинность – это свойство мира явлений, в соответствии с которым каждое явление порождается явлением, предшествующим ему во в t, и порождает некоторое явление, следующее за ним во t.

Прокомментируем эти признаки связи причины и действия:

1) Предшествование указывает на о, что причину данного явления следует искать среди условий, предшествующих ему во t.

2) Всеобщий характер причиной связи означает, что для любого действия мы можем обнаружить его причину.

 

 

Г) Методы установления причинных связей между явлениями.

Эти методы составляют один из видов научной индукции.

Причина – это явление, которое в определенных условиях порождает другое явление, называемое следствием, или действием причины.

Следствие – это явление, порождаемое причиной.

Под причиной понимается обстоятельство, добавление которой к имеющимся обстоятельствам вызывает следствие – изменение предмета, возникновение нового свойства у предмета.

При применении методов установления причинной связи используются следующие положения принципа причинности:

1) причинно-следственная связь является объективной;

2) эта связь необходимая:

определяемая причина в соответствующих условиях обязательно вызовет определенные следствия;

3)эта связь является всеобщей: в природе нет беспричинных явлений;

4)причина предшествует следствию во времени.

Метод единственного сходства:

Случаи	Обстоятельства, предшествующие явлению	Наблюдаемое явление
	АВС	а
	АМК	а
…	…	…
n	А р Е	а

 

Следовательно, обстоятельство А есть причина явления а.

Метод единственного сходства может выступать в качестве метода наблюдения. Заключение, получаемое посредством этого метода, не обладает высокой степенью правдоподобия. Чтобы сделать вывод о том, что А – причина а, нужно применить положение «причина предшествует следствию во времени». Однако иногда трудно выяснить, предшествует ли А явлению а или явление а – обстоятельству А.

Поэтому необходимо установить:

1) что обстоятельство А и явление а не вызвано общей причиной или двумя разными причинами;

2) учтены все обстоятельства, предшествующие явлению (из тех, которые могут быть его причиной);

3) если велико число рассмотренных случаев.

Метод единственного сходства основывается на таких свойствах причинной связи, как предшествование; необходимость; всеобщность.

Этот метод состоит в попытке среди условий интересующего нас явления выделить явление, которое постоянно предшествует данному явлению. Последующее явление в таком случае считается вероятной причиной этого явления.

Если какое-то условие А постоянно предшествует наступлению исследуемого явления Х в то t, как иные условия изменяются, то это условие, вероятно, есть причина явления х.

$ a, в,c, d, но не е,® $_х

$ a, в,c, е но не d, ® $_х

$ a, с,c, е, но не в, ® $_х

$ в,c, d е, но не а, ® $_х

С ® причина Х

 

Пример.

На почтамте при перевозке ценностей было 3 случая хищения без повреждения мешков: 6 декабря, 8 декабря и 10 декабря.

Следователь определил круг лиц, участвовавших в эти дни в отправке почты и составил следующую таблицу:

Дата	Круг лиц	Наблюдаемое явление
6.12	Иванов, Корнеев, Сандлер	хищение
8.12	Петров, Корнеев, Кузнецов	хищение
10.12	Чуйкин, Корнеев, Кравец	хищение

Следователь заключил, что виновником хищения вероятнее всего являлся Корнеев.

Метод единственного различия.

Схема:

Случаи	Обстоятельства, предшествующие явлению	Наблюдаемое явление
	АВС	а
	- ВС	-

Следовательно, обстоятельство А - причина явления а.

В естествознании этот метод (экспериментального исследования) дает более правдоподобное заключение.

Однако в социальном познании его следует применять с большой осторожностью, поскольку при исследовании социальных явлений не всегда можно выделить обстоятельства, предшествовавшие явлению.

Данный метод обращает внимание на различия между теми условиями, которые данное событие не вызывают:

Если какое-то условие А имеет место, когда наступает исследуемое явление Х, и отсутствует, когда этого явления нет, а все остальные условия остаются неизменными, то А представляет собой причину Х.

Пример. В воздухе, содержащем кислород, свеча горит. В воздухе, лишенном кислорода, свеча гаснет. Следовательно, наличие кислорода является причиной горения.

Метод единственного различия широко применяется в исторической науке при установлении значимости какого-либо события. (Такого события, которое послужило причиной дальнейших значительных изменений в мировой или национальной истории).

Пример: В зависимости от победы или поражения греков в битве с персами при Марафоне существовали 2 возможности развития.

Историческое событие	Дальнейшее развитие
Победа греков	Свободное развитие духовного мира эллинов
Победа греков	Теократическое культура персов, отсутствие свободного развития духовного мира эллинов

Следовательно, победа греков при Марафоне послужила причиной развития свободного духовного мира греков. В этом – её значение.

Значит, когда звучит вопрос «Что было бы, если бы чего-нибудь не было?», - мы начинаем пользоваться методом единственного различия.

 

 

Соединенный метод сходства и различия.

Случаи	Обстоятельства, предшествующие явлению	Наблюдаемое явление
	АВС	а
	АDЕ	а
…	…	…
N	АМК	а
N+1	- ВС	-
N+2	- DE	-
…	…	…
n+n	-МК	-

 

Если два или большее число случаев, когда наступает данное явление Х сходны только в одном условии А, в то время как два или более случаев, когда данное явление Х отсутствует, отличатся от первых случаев только тем, что отсутствует А, то А и есть – причина Х.

Рассмотрим уже приведенный ранее пример при помощи этого метода

 

Дата	Круг лиц	Наблюдаемое явление
6.12	Кулдышев, Иванов, Корнеев	Хищение
7.12	Кулдышев, Кузнецов, Сандлер	Нет хищения
8.12	Широкоглазов, Корнеев, Кузнецов	Хищение
9.12	Широкоглазов, Сандлер, Кузнецов	Нет хищения
10.12	Чуйкин, Корнеев, Кравец	Хищение
11.12	Чуйкин, Кулдышев, Кравец	Нет хищения

Метод дает возможность обоснованного заключения.

 

Метод сопутствующих изменений.

Схема:

Случаи	Обстоятельства, предшествующие явлению	Наблюдаемое явление
	А1ВС	А
	А2ВС	А
…	…	…
n	n	А n

Следовательно, изменение А, есть причина изменения а.

Этим методом пользуются в тех случаях, когда предшествующие явлению обстоятельства нельзя изолировать друг от друга, т.е., когда нельзя применить метод единственного различия.

 

Метод сопутствующих изменений основывается на том свойстве причинности, согласно которому интенсивность следствия зависит от интенсивности причины.

Значит, если с изменением условия А в той же степени меняется некоторое явление Х, а остальные обстоятельства остаются неизменными, то вероятно, что А является причиной Х.

Пример 1.

В результате анализа уголовной статистики было установлено, что количество потребления водки и число преступлений возрастают и уменьшаются в одно и то же время.

Следовательно, потребление водки является одной из причин преступности.

Пример 2.

Изменяя температуру некоторого тела, мы устанавливаем, что объем его также изменяется, а все остальные условия остаются неизменными.

Следовательно, изменение температуры является причиной изменения объема тела.

Метод сопутствующих изменений можно использовать в тех ситуациях, где возможно точно зафиксировать изменение количества предполагаемых причины и действия. А это, по преимуществу можно сделать в естественных и технических науках.

 

 

Метод остатков.

Рассматривается сложное явление У. Оно распадается на ряд простых: a,b, c, d.

Известно, что	А® а В® в С® с
	А,В.С, d ® D

Если сложные условия производят сложное действие и известно, что часть условий вызывает определенную часть этого действия, то остающаяся часть условий вызывает остающуюся часть действия.

АВ ® ХУ

В ® У

А® Х

Пример.

При помощи метода остатков французским ученым Леверье было предсказано существование планеты Нептун. При наблюдении планеты Уран было обнаружено её отклонение от вычисленной орбиты. Далее было выяснено, что силы тяготения других известных планет (а,в,с) являются причинами величин отклонения (x,y,z). Осталась необъясненной величина отклонения t. Леверье построил гипотезу о существовании неизвестной планеты d и описал некоторые её характеристики. Вскоре немецкий астроном Галлер открыл планету Нептун.

Предостережение: эффективность метода остатков сильно зависит от того, можем ли мы считать условия, составляющие сложную причину, независимыми. Если они зависят друг от друга, то вероятность заключения по методу остатков сильно уменьшается.