По выполнению контрольной работы по теме

Кафедра МИС и ПО

 

 

 

 

МАТЕМАТИКА

 

Методические рекомендации

По выполнению контрольной работы по теме

«Ряды Фурье»

для студентов 2-3 курсов вечерне-заочного факультета

 

Мурманск

 

 

2015 г.

Составитель – Хохлова Людмила Ивановна, доцент кафедры МИС и ПО МГТУ

 

 

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой

_______________ 2015 г., протокол №

 

Рецензент – Р. А. Богомолов, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры МИС и ПО МГТУ

 

ÓМурманский государственный технический университет, 2015

Оглавление

Введение. 5

§1. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье. 7

§2. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. 12

§3. Ряды Фурье для функций произвольного периода. 14

§4. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. 15

§5. Задача о разложении в ряд Фурье функции, заданной на отрезке [0, π] ([0.l]) по синусам или по косинусам. 18

§6. Комплексная форма ряда Фурье. 22

§7. Амплитудно-частотный спектр ряда Фурье. 24

§8. Использование методов численного интегрирования при разложении функции в ряд Фурье. 26

Варианты контрольной работы по теме «Ряды Фурье». 40

 

 

Требования к оформлению контрольных работ

1. Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы курса, используя учебники и справочный материал, приведенный в конце данного текста.

2. Выполнять контрольную работу следует в отдельной тетради, либо в отпечатанном виде (формат А4) со скрепленными и пронумерованными листами. Не допускается выполнение работы карандашом.

3. На обложке тетради (титульном листе отпечатанного варианта) должны присутствовать:

название дисциплины;

фамилия, имя, отчество студента (полностью);

шифр специальности и студента, курс;

номер варианта;

дата отправки работы в университет.

4. Решения задач необходимо выполнять в той же последовательности, что и в условиях задач. Решение каждой задачи следует начинать с новой страницы, оставляя поля и места для замечаний преподавателя-рецензента.

5. В начале решения каждой задачи следует записать ее условие и перечислить исходные данные выбранного варианта. В конце решения должен быть ответ, выделенный отдельной строкой.

6. При использовании формул в решении следует сначала выписать теоретическую формулу, пояснив значение и смысл каждого обозначения.

7. Все графики и чертежи выполняются крупно, с пояснениями: на осях координат следует указывать обозначение каждой оси и масштаб; все используемые точки, линии и векторы должны быть подписаны.

8. Ответ в каждой задаче следует писать либо в виде точного десятичного числа, либо в виде приближенного десятичного числа, сохраняя в нем два знака после запятой. При решении задачи все промежуточные приближенные результаты следует писать, сохраняя в них три-четыре знака после запятой.

Введение

 

В настоящем пособии содержатся методические рекомендации к изучению теоретического материала и выполнению контрольной работы по теме «Ряды Фурье», варианты этой контрольной работы, примерный вариант и его решение, список рекомендуемой литературы.

В результате изучения темы «Ряды Фурье» студенты должны научиться строить:

1. Ряд Фурье для функций с периодом 2π.

2. Ряды Фурье для функций произвольного периода.

3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

4. Ряд Фурье непериодической функции.

5. Ряд Фурье функции, заданной на отрезке [0, π] по синусам или по косинусам

6. Ряд Фурье в комплексной форме

7. Амплитудно-частотный спектр ряда Фурье

8. Использовать методы численного интегрирования при разложении функции в ряд Фурье

 

Данные методические рекомендации включают также справочный материал, необходимый для выполнения контрольной работы по теме «Ряды Фурье», и подробное решение примерного варианта работы.

 

 

№	Тема	Литература
	Гармонические колебания. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье.	[1], гл.VII, §29, 30; [2], гл.7, §1-4; [3], ч.1, гл.IX, №1337-1349, 1368-1379, 1392-1396; [4], гл.6, № 2-12, 36-50, 102, 108, 114, 118
	Ряд Фурье для функций с произвольным периодом	[1], гл.VII, §31, 32; [2], гл.7, §5, 6.3; [3], ч.1, гл.IX, №1410-1414, 1429-1434, 1489-1490, 1493-1499; [4], гл.6, № 174, 177-180, 193, 195-201, 230-240
	Ряд Фурье для четных и нечетных функций	[1], гл.VIII, §35-40; [2], гл.8, §1, 4-9, 11; [3], ч.1, гл.X, №1552-1557, 1572-1578; [4], гл.6, № 262-273, 255-260, 366-369
	Ряд Фурье функции, заданной на отрезке [0, π] по синусам или по косинусам	[1], гл. VIII, §41, 41.1, 41.2; [2], гл.8, §10.1, 10.2; [3], ч.1, гл.X, №1596-1600; [4], гл.6, № 290-294,301, 302
	Ряд Фурье в комплексной форме	[1], гл. VIII, §41.4; [2], гл.8, §10.4; [3], ч.1, гл.X, №1628-1631; [4], гл.6, № 319-323
	Использование методов численного интегрирования при разложении функции в ряд Фурье	[1], гл. VIII, §41.3; [2], гл.8, §10.3; [3], ч.1, гл.X, №1613-1615; [4], гл.6, № 307-310, 312

 

Примечание. Ссылки на литературу в таблице, даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение гармонического колебания

2. Дайте определение ряда Фурье

3. Запишите коэффициенты ряда Фурье

4. Сформулируйте теорему Дирихле

Вопросы для самопроверки

1. Запишите ряд Фурье для четной функции

2. Запишите ряд Фурье для нечетной функции

Вопросы для самопроверки

1. Запишите ряд Фурье для функции с произвольным периодом

2. Запишите ряд Фурье для четной функции с произвольным периодом

3. Запишите ряд Фурье для нечетной функции с произвольным периодом

Вопросы для самопроверки

1. Запишите ряд Фурье для непериодической функции, заданной на некотором интервале (а,b).

§5. Задача о разложении в ряд Фурье функции, заданной на отрезке [0, π] ([0.l]) по синусам или по косинусам

Этот случай можно свести к предыдущему. Для решения задачи достаточно дополнить определение этой функции для значений x в проме­жутке по свободному выбору. Теперь уже будет оп­ределена на отрезке . Далее поступаем так, как описано в §3. В силу того, что мы свободны в выборе вида функции на промежутке , то в результате будут получаться различные ряды Фурье в зависимости от этого выбора. Этот факт может быть использован для получения ряда Фурье функции , содержащего или только косинусы, или только синусы.

Если доопределить данную функцию так, чтобы при , то в результате получится четная функция в промежутке , разложение в ряд Фурье такой функции содержит только косинусы. Коэффициенты разложения можно вычислять по форму­лам: , . Таким образом, заданную на отрезке функцию мы разложили по косинусам.

Если доопределить данную функцию так, чтобы при , то в результате получится нечетная функция, рассматриваемая на промежутке . Разложение в ряд Фурье такой функции содержит только синусы. При этом коэффициенты разложения можно вычислять по формуле: . В этом случае функция , заданная на промежутке , будет разложена по синусам.

Графически это можно представить следующим образом:

Из сказанного следует: заданную на промежутке функ­цию можно разлагать в ряд Фурье как по синусам, так и по ко­синусам.

Замечание 1. Нетрудно заметить, что как в случае разложения неперио­дической функции , определенной на отрезке , так и в случае ее разложения на отрезке периодическое продолжение заданной функции можно и не осуществлять. На это указывают формулы, из которых определяют­ся коэффициенты Фурье. Но чтобы не сделать ошибок, рекомендуется иметь эскиз графика функции с ее четным или нечетным продолжением на про­межутке и с последующим периодическим продолжением на всю чи­словую прямую.

Замечание 2. В случае разложения неперио­дической функции , определенной на отрезке периодическое продолжение производится аналогично функции, определенной на . Формулы, из которых определяют­ся ряд и коэффициенты Фурье, выбираются соответственно для нечетной функции: ,

для четной функции.

Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию по синусам.

Решение. Продолжив заданную функцию нечетным образом на промежуток , получим функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле на отрезке длиной .

Найдем коэффициенты Фурье для этой функции. Так как она нечетна и, кроме того, симметрична относительно оси абсцисс при совмещении двух полупериодов, ее ряд Фурье содержит только нечетные синусоиды: , .

Окончательно получаем .

Построим график S₃(x)

Во многих задачах приходится разлагать в ряд Фурье функцию, заданную на промежутке . При этом функция на этом промежутке оказывается не только непрерывной, но и дифференцируемой. В этом случае мы можем разложить в ряд Фурье данную функцию, как по синусам, так и по косинусам. Спрашивается, какому разложению отдать предпочтение? Какой ряд будет обладать лучшими свойствами сходимости? Для практики решение этих вопросов имеет немаловажное значение.

Характер сходимости ряда Фурье определяется свойствами заданной функции в граничных точках и . Если функция в этих точках отлична от нуля, то периодическое продолжение ее по принципу нечетной функции приведет к разрыву в двух точкам и . Эти разрывы легко ликвидируются, если определить как четную функцию. По этой причине разложение в ряд по косинусам будет обладать гораздо лучшими свойствами сходимости, чем разложение по синусам. В этом случае коэффи­циенты ряда косинусов убывают со скоростью а коэффициен­ты ряда синусов - со скоростью .

Если теперь допустить, что в точках и при­нимает значения, равные нулю, то разложение в ряд по синусам дает гораздо лучшую сходимость, чем разложение в ряд по коси­нусам, так как периодическое продолжение функции по принципу нечетной функции обеспечивает непрерывность и самой функции и ее первой производной, в то время как периодическое продолжение по принципу четной функ­ции приводит к разрыву первой производной в точках и . В этом случае коэффициенты ряда синусов убывают со скоростью , подходящей для многих приложений рядов Фурье.

Вопросы для самопроверки

1. Запишите ряд Фурье для разложения функции, заданной на промежутке , по синусам и косинусам

Вопросы для самопроверки

1. Запишите комплексную форму ряда Фурье

Вопросы для самопроверки

1. Что такое амплитудно-частотный ряд Фурье

2. Дайте определение амплитудного спектра ряда Фурье в комплексной форме

Вопросы для самопроверки

1. Запишите формулу средних прямоугольников для вычисления определенного интеграла

Примерный вариант и образец выполнения

Контрольной работы по теме

«Ряды Фурье»

Задача 1. Разложить в ряд Фурье функцию , имеющую период .

Решение. Построим график функции

Эта функция f(x) имеет период , одну точку разрыва первого рода x =0 на отрезке , отрезок можно разбить на два отрезка так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна.

По формуле (2) найдем коэффициент этого ряда.

.

Найдем по формуле (3)

По формуле (4) найдем аналогичным образом

.

Подставляя коэффициенты в формулу (1), получаем или .

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений изнутри отрезка, то есть в точке x =0.

= , а на концах отрезка в точках и = .

Ответ.

Построим график S₄(x)

 

Задача 2. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке сначала по синусам, затем по косинусам.

Решение. Построим график

1. Продолжая эту функцию на промежуток нечетным образом, получим функцию, ряд Фурье для которой составлен в §2, пример 2.

Ряд для такого разложения

Построим S₅(x)

2. Продолжая эту функцию на промежуток четным образом. Построим график

Эта функция f(x) имеет период , четная, продолжена непрерывно.

. Найдем =

Это равенство справедливо во всех точках числовой прямой.

Построим график S₄(x)

Задача3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию , с периодом Т =6.

Решение. Построим эскиз графика функции

Проверив выполнение условий Дирихле для функции, переходим к вычислению коэффициентов Фурье. Заданная функция общего вида с периодом Т=6, l=3, поэтому в разложении ее ряд Фурье имеет вид: .

Подставляя коэффициенты в формулу ряда, получаем или . Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек -3 и 3. В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть .

Построим график S₅ (x)

Можно совместить оба графика на одном чертеже

Отметим близость этих графиков.

Задача4. Разложить в ряд Фурье функцию . Построить график S₅(x).

Решение. Будем считать функцию периодической с периодом T =3-1=2, l =1 т.е. , T =2, l =1. Построим эскиз графика этой функции

Ряд Фурье для этой функции будет иметь следующий вид: .

Проверив выполнение условий Дирихле для функции, переходим к вычислению коэффициентов Фурье. .

Подставляя коэффициенты в формулу ряда, получаем или Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек 1 и 3. В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть .

Построим график S₅ (x)

 

Задача 5. Разложить в комплексный ряд Фурье периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: . Построить амплитудно-частотный спектр.

Решение. Будем считать функцию периодической с периодом Т =2. Построим график.

Проверив выполнение условий Дирихле для функции , переходим к вычислению коэффи­циентов Фурье по формуле .

Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, опре­деляется по частям:

;

Если , то полученные формулы не дают результата. Поэтому коэффициент надо вычислить иначе׃ , так как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю. Окончательно получим

Это равенство имеет место лишь в точках непрерывности функции . В точках разрыва , где k - любое нечетное число, сумма ряда равна нулю. Построим амплитудно-частотный спектр

Задача 6. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 2] (получить первые 4 гармоники разложения).

Решение. По условию функция – четная, задана на отрезке [0; 2] = [0; l ], следовательно, ее график на промежутке [–2; 0] симметричен заданному графику относительно оси ординат и период функции T = 2 l =4 (длина промежутка [–2; 2]).

Ряд Фурье для четной периодической функции с периодом 2 l имеет вид:

, (1)

где , . (2)

Поскольку вид функции ) неизвестен, для вычисления интегралов используем одну из квадратурных формул – формулу средних прямоугольников:

,

где – середина k -го отрезка разбиения промежутка интегрирования [ a; b ], k = 1, 2, …, m, h – длина шага разбиения промежутка интегрирования: .

Возьмем m = 10, , т.е. разобъем отрезок [0; 2] на 10 равных частей точками и считаем с графика значения функции в серединах полученных отрезков. Чтобы вычислить коэффициенты a ₀, a ₁, a ₂, a ₄ для первых 4 гармоник разложения функции в ряд Фурье по формулам (2), построим таблицу значений функции f (x) и в полученных точках:

k	xk-1/2	f (xk-1/2)
	0,1	0,9	0,89	0,86	0,80
	0,3	0,25	0,22	0,15	0,04
	0,5	– 0,25	– 0,18		0,18
	0,7	– 0,4	– 0,18	0,24	0,40
	0,9	– 0,2	– 0,03	0,19	0,09
	1,1	0,2	– 0,03	– 0,19	0,09
	1,3	0,6	– 0,27	– 0,35	0,59
	1,5	0,85	– 0,60		0,60
	1,7	0,9	– 0,80	0,53	– 0,14
	1,9		– 0,99	0,95	– 0,89
	3,85	– 1,97	2,38	1,76

Вычислим коэффициенты ряда a ₀, a ₁, a ₂, a ₄.

;

 

Подставляем найденные коэффициенты в формулу (1) и получаем аппроксимацию функции частичной суммой ряда s ₃(x):

 

Для сравнения с функцией f (x) построим на промежутке [0; 2] график заданной функции f (x) и график полученной аппроксимации :

 

Если в аппроксимацию s _n(x) включить сумму большего числа гармоник, например, 5, то графики s ₅(x) и функции f (x) практически совпадают:

 

Ответ: , .

 

Варианты контрольной работы по теме «Ряды Фурье»

Задача 1.

Построить эскиз графика, разложить в ряд Фурье следующие функции, периодические с периодом , определить сумму в точках разрыва. Построить график частичной суммы Фурье для n =4.

№	Функция	№	Функция

 

Задача 2. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную формулой на отрезке , сначала по синусам, затем по косинусам. Построить график и частичных сумм для n =4.

№	Функция	№	Функция
	f(x)=2x-1		f(x)=x-4
	f(x)=x^2-1		f(x)=x^2+2
	f(x)=-x-1		f(x)=-x-3
	f(x)=x^2+1		f(x)=x^2-3
	f(x)=3x-2		f(x)=0.5x-1

 

Задача3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию , с периодом Т =2 l. Построить график частичной суммы при n=5.

 

№	Функция	T	№	Функция	T
	f(x)=x+4			f(x)=2x+1
	f(x)=-x+4			f(x)=2x-1
	f(x)=2x+4			f(x)=3x+4
	f(x)=x+1			f(x)=3x-2
	f(x)=-x+2			f(x)=-3x-1

Задача4 Разложить в ряд Фурье функцию . Построить график частичной суммы S₄(x).

№	Функция	№	Функция

Задача 5. Разложить в комплексный ряд Фурье периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: , . Построить амплитудно-частотный спектр.

№	Функция	№	Функция

Задача 6. Разложить в ряд Фурье функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; l ] (получить первые гармоники разложения).

 

Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; π] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

1. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 1] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

 

2. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 2] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

 

3. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 2,5] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

 

4. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 3] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

 

5. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; π] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

6. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 4] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

 

 

7. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 5] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

8. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; π] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

9. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 1] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

Рекомендуемая литература

 

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 1998.– 479 с.

3.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Уч. пособие.- 22-изд., перераб.- СПб., Изд-во «Профессия», 2005.-432с.

4. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 2001.– 304 с.

 

Кафедра МИС и ПО

 

 

 

 

МАТЕМАТИКА

 

Методические рекомендации

по выполнению контрольной работы по теме

«Ряды Фурье»

для студентов 2-3 курсов вечерне-заочного факультета

 

Мурманск

 

 

2015 г.

Составитель – Хохлова Людмила Ивановна, доцент кафедры МИС и ПО МГТУ

 

 

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой

_______________ 2015 г., протокол №

 

Рецензент – Р. А. Богомолов, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры МИС и ПО МГТУ

 

ÓМурманский государственный технический университет, 2015

Оглавление

Введение. 5

§1. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье. 7

§2. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. 12

§3. Ряды Фурье для функций произвольного периода. 14

§4. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. 15

§5. Задача о разложении в ряд Фурье функции, заданной на отрезке [0, π] ([0.l]) по синусам или по косинусам. 18

§6. Комплексная форма ряда Фурье. 22

§7. Амплитудно-частотный спектр ряда Фурье. 24

§8. Использование методов численного интегрирования при разложении функции в ряд Фурье. 26

Варианты контрольной работы по теме «Ряды Фурье». 40

 

 

Требования к оформлению контрольных работ

1. Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы курса, используя учебники и справочный материал, приведенный в конце данного текста.

2. Выполнять контрольную работу следует в отдельной тетради, либо в отпечатанном виде (формат А4) со скрепленными и пронумерованными листами. Не допускается выполнение работы карандашом.

3. На обложке тетради (титульном листе отпечатанного варианта) должны присутствовать:

название дисциплины;

фамилия, имя, отчество студента (полностью);

шифр специальности и студента, курс;

номер варианта;

дата отправки работы в университет.

4. Решения задач необходимо выполнять в той же последовательности, что и в условиях задач. Решение каждой задачи следует начинать с новой страницы, оставляя поля и места для замечаний преподавателя-рецензента.

5. В начале решения каждой задачи следует записать ее условие и перечислить исходные данные выбранного варианта. В конце решения должен быть ответ, выделенный отдельной строкой.

6. При использовании формул в решении следует сначала выписать теоретическую формулу, пояснив значение и смысл каждого обозначения.

7. Все графики и чертежи выполняются крупно, с пояснениями: на осях координат следует указывать обозначение каждой оси и масштаб; все используемые точки, линии и векторы должны быть подписаны.

8. Ответ в каждой задаче следует писать либо в виде точного десятичного числа, либо в виде приближенного десятичного числа, сохраняя в нем два знака после запятой. При решении задачи все промежуточные приближенные результаты следует писать, сохраняя в них три-четыре знака после запятой.

Введение

 

В настоящем пособии содержатся методические рекомендации к изучению теоретического материала и выполнению контрольной работы по теме «Ряды Фурье», варианты этой контрольной работы, примерный вариант и его решение, список рекомендуемой литературы.

В результате изучения темы «Ряды Фурье» студенты должны научиться строить:

1. Ряд Фурье для функций с периодом 2π.

2. Ряды Фурье для функций произвольного периода.

3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

4. Ряд Фурье непериодической функции.

5. Ряд Фурье функции, заданной на отрезке [0, π] по синусам или по косинусам

6. Ряд Фурье в комплексной форме

7. Амплитудно-частотный спектр ряда Фурье

8. Использовать методы численного интегрирования при разложении функции в ряд Фурье