Загальні відомості про фрактали

Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) — нерегулярна, самоподібна структура. В широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої. Термін фрактал увів1975 року Бенуа Мандельброт.

Об'єкти, які тепер називаються фракталами, досліджувались задовго до того, як їм було дано таку назву. В етноматематиці, наприклад в роботах Рона Еглаша «Африканські Фрактали», (ISBN 0-8135-2613-2) задокументовано поширені фрактальні геометричні фігури в мистецтві тубільців. В 1525 році німецький митець Альбрехт Дюрер опублікував свою працю Керівництво Художника, один із розділів якої має назву «Черепичні шаблони, утворені пентагонами». Пентагон Дюрера багато в чому є схожим накилим Серпінського, але замість квадратів використовуються п'ятикутники. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тихроків) малював об'єкти, дуже схожі на фрактали.

Ідею «рекурсивної самоподібності» було висунено філософом Лейбніцом, який також розробив багато з деталей цієї ідеї. В 1872 Карл Веєрштрас побудував приклад функції з неінтуітивною особливістю, скрізь неперервної, але ніде недиференційовної — графік цієї функції тепер би називався фракталом. В 1904 Хельга Фон Кох, незадоволений занадто абстрактним та аналітичним означенням Веєрштраса, розробив більш геометричне означення схожої функції, яка тепер має назву сніжинки Коха. Ідею самоподібних кривих було далі розвинено Полєм П'єром Леві, який у своїй роботі Криві та поверхні на площині та у просторі, які складаються із частин, схожих на ціле, виданій 1938 року, описав нову фрактальну криву, відому тепер як Крива Леві.

Порівняно простий клас прикладів становлять множини Кантора, в яких короткі та ще коротші (відкриті) інтервали вилучаються зодиничного інтервалу [0; 1], залишаючи множину, яка, можливо, буде (або не буде) самоподібною при збільшенні й, можливо, матиме (або не матиме) розмірність Хаусдорфа d таку, що 0 < d < 1. Простий приклад, такий як вилучення цифри 7 із десяткового подання, є самоподібним при 10-разовому збільшенні, має розмірність Хаусдорфа log 9/log 10 та показує зв'язок між двома концепціями. Для порівняння: топологічна розмірність довільної множини Кантора дорівнює 0, й тому всі множини Кантора є фракталами.

Також до прикладів фракталів належить фрактал Ляпунова, трикутник Серпінського, килим Серпінського, губка Менгера, крива дракона, крива заповнення простору, межі множин груп Кліні та крива Коха. Фрактали можуть бути детермінованими абостохастичними (наприклад, недетермінованими).

Хаотичні динамічні системи іноді асоціюються з фракталами (дивіться атрактор). Об'єкти в просторі параметрів родини систем також можуть бути фракталами. Цікавим прикладом є множина Мандельброта. Ця множина містить цілі диски, тому її розмірність Хаусдорфа дорівнює топологічній розмірності, яка дорівнює 2, і вона формально не є фракталом — але що насправді є дивним, це те, що розмірність Хаусдорфа межімножини Мандельброта також дорівнює 2 (а топологічна розмірність дорівнює 1). Це було доведено М. Шішікурою 1991 року.

Самоподібні множини з незвичайними властивостями в математиці

Починаючи з кінця XIX століття, в математиці з'являються приклади самоподібних об'єктів з патологічними з точки зору класичного аналізу властивостями. До них можна віднести наступні:

множина Кантора — ніде не щільну незліченну досконалу множину. Модифікувавши процедуру, можна також отримати ніде не щільну множину позитивної довжини;

трикутник Серпінського («скатертина») і килим Серпінського — аналоги множини Кантора на площині;

губка Менгера — аналог множини Кантора в тривимірному просторі;

приклади Вейерштраса і Ван дер Вардена ніде не диференційованої неперервної функції;

крива Коха — неперервна крива, що не перетинається, нескінченної довжини, яка не має дотичній ні в одній точці;

крива Пеано — неперервна крива, що проходить через всі точки квадрата;

Типи самоподібності у фракталах

Точна самоподібність — це найсильніший тип самоподібності; фрактал виглядає однаково при різних збільшеннях. У фракталів, згенерованих з використанням ітераційних функцій, часто виявляється точна самоподібність.

Майже самоподібність — слабка форма самоподібності; фрактал виглядає приблизно (але не точно) самоподібним при різних збільшеннях. Майже самоподібні фрактали містять малі копії цілого фракталу у перекручених та вироджених формах. Фрактали, згенеровані з використанням рекурентних відношень, зазвичай є майже (але не точно) самоподібними.

Статистична самоподібність — це найслабкіша форма самоподібності; фрактал має чисельні або статистичні міри, що зберігаються при збільшенні. Найприйнятніші означення "фракталів" просто містять в собі деякий вид статистичної самоподібності (розмірність фракталу, саме по собі, є чисельною мірою, що зберігається при збільшенні). Ймовірнісні фрактали є прикладами фракталів, які є статистично, але не майже й не точно самоподібними.

 

Три поширені методи генерування фракталів

 

Ітераційні функції — будуються відповідно до фіксованого правила геометричних заміщень. Множина Кантора, килим Серпінського, трикутник Серпінського, крива Пєано, крива Коха, крива дракона, Т-Квадрат та губка Менгера є прикладами таких фракталів.

Рекурентні відношення — Фрактали, що визначаються рекурентним відношенням в кожній точці простору (такому як площина комплексних чисел). Прикладами фракталів цього типу є множина Мандельброта, палаючий корабель та фрактал Ляпунова.

Випадкові процеси — Фрактали, що генеруються з використанням стохастичних, а не детермінованих процесів, наприклад:фрактальні ландшафти, траєкторія Леві та броунівське дерево. Останній утворює так звані кластери дифузійних концентратів(en:diffusion-limited aggregation) та реакційних концентратів.

Об'єкти, що володіють фрактальними властивостями, в природі

У живій природі:

· Корали;

· Морські зірки і їжаки;

· Морські раковини;

· Квіти і рослини (броколі, капуста);

· Плоди (ананас);

· Крони дерев і листя рослин;

· Кровоносна система і бронхи людей і тварин;

У неживій природі:

· Межі географічних об'єктів (країн, областей, міст);

· Берегові лінії;

· Гірські хребти;

· Сніжинки;

· Хмари;

· Блискавки;

· Утворені на склі візерунки;

· Кристали;

· Сталактити, сталагміти, геліктити.

 

Дерева та папороті є фрактальними за своєю природою та можуть моделюватись на комп'ютерах із використанням рекурсивних алгоритмів. Таку рекурсивність ясно видно на таких прикладах: гілка дерева або фронд від папороті є мініатюрним відтворенням цілого; не ідентичне, але схоже за природою.

Поверхня гір може моделюватись на комп'ютері з використанням фракталів: починати з трикутника в тривимірному просторі та з'єднати центральні точки кожного ребра відрізками, отримуючи 4 трикутники. Центральні точки потім зсуваються догори або донизу на випадкову відстань у фіксованому діапазоні. Процедура повторюється зі зменшенням діапазону на кожній ітерації вдвічі. Рекурсивна природа алгоритму гарантує, що ціле є статистично подібним до кожної з деталей

Розділ ІІІ:Фрактал Мандельброта

Загальні відомості

Множина Мандельброта - це множина таких точок c на комплексній площині, для яких ітераційна послідовність zn + 1 = zn2 + c при z0 = 0 є обмеженою. Тобто, це безліч таких c, для яких існує таке дійсне R, що нерівність | zn | <R виконується при всіх натуральних n.

Множина Мандельброта є одним з найвідоміших фракталів, в тому числі за межами математики, завдяки своїм кольоровим візуалізаціям. Його фрагменти не строго подібні вихідній множині, але при багаторазовому збільшенні певні частини все більше схожі один на одного.

Розширене визначення.

Вищевказана послідовність може бути розкрита для кожної точки c на комплексної площині таким чином:

c = x + i⋅y

Z0 = 0

Z1 = Z20 + cx + iy

Z2 = Z21 + c (x + iy) 2 + x + iyx2 + 2ixy-y2 + x + iyx2-y2 + x + (2xy + y) i

Z3 = Z22 + c =...

і так далі.

Якщо переформулювати ці вирази у вигляді ітеративної послідовності значень координат комплексної площині x і y, т. Е. Замінивши zn на xn + i⋅yn, а c на p + i⋅q, ми отримаємо:

xn + 1 = xn2-yn2 + p

yn + 1 = 2xnyn + q

візуально, всередині множини Мандельброта можна виділити нескінченну кількість елементарних фігур, причому найбільша в центрі являє собою кардіоіду. Також є набір овалів, що стосуються кардіоїди, розмір яких поступово зменшується, прагнучи до нуля. Кожен з цих овалів має свій набір менших овалів, діаметр яких також прагне до нуля і т. Д. Цей процес триває нескінченно, утворюючи фрактал. Також важливо, що ці процеси розгалуження фігур не вичерпують повністю безліч Мандельброта: якщо розглянути з збільшенням додаткові «гілки», то в них можна побачити свої кардіоїди і круги, не пов'язані з головною фігурою. Найбільша фігура (видима при розгляданні основного безлічі) з них знаходиться в області від -1,78 до -1,75 на негативній осі дійсних значень.