Матриці обернені до даних. Умови їх існування.

Внаслідок того, що множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне, в цьому питанні слід розглядати ліві обернені матриці праві.

Означення. Матриця, що умовно позначається , називається лівою оберненою до матриці А, якщо вона задовольняє умову .

Означення. Матриця, що умовно позначається , називається правою оберненою до матриці А, якщо вона задовольняє умову .

Для з’ясування умов існування обернених матриць введемо поняття невироджених (неособливих) і вироджених (особливих) матриць.

Означення. Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю. В противному разі квадратна матриця називається виродженою.

Теорема 1. Жодна вироджена матриця не має ні лівої оберненої, ні правої оберненої матриці.

Доведення. Нехай задана матриця А, det A = 0. Треба довести, що не існує ні правої оберненої, ні лівої оберненої матриці. Припустимо, що існує хоча б одна з них. Нехай існує ліва обернена матриця. Тоді (з означення). Застосуємо теорему про визначник добутку матриць:

det E = det . det A,

1 = 0, отримали суперечність.

Таким чином, не існує , так само доводиться, що не існує .

Теорему доведено.

Теорема 2. Для будь-якої невиродженої матриці існує і ліва обернена, і права обернена, і вони рівні.

Доведення. Нехай задано матрицю А.

,

причому det A = d 0.

Треба довести, що існує ліва обернена, права обернена матриці, та = . З матриці А побудуємо матрицю , заміною кожного елемента a_ij його алгебраїчним доповненням А_ij і протранспонувавши отримаємо матрицю:

 

= .

 

Доведемо, що задовольняє дві умови:

1) А = Е;

2) А = Е.

Доведемо

1) Застосувавши правило множення, лему до теореми Крамера і наслідок з теореми Лапласа маємо:

А × = =

= .

 

Так само, безпосереднім множенням матриць доводиться друга рівність.

З першого пункта випливає = , а з другого пункту = .

.

Отже ми довели існування оберненої матриці та її обчислення:

= .

Вправа. Довести єдиність матриці (Доведення проводиться за схемою доведення єдиності протилежного вектора).

Операції додавання і множення на число.

Означення. Сумою матриць А і В, А=(), В=(), називається матриця D, елементи якої обчислюються за законом

D = ( + ).

Означення. Добутком матриці А на число k, називається матриця F, елементи якої обчислюються за законом

F = (k ).

Введені операції мають такі властивості:

1) А + В = В + А;

2) (А + В)+С = А+(В + С);

3) $ Q: А + Q = А + Q + А;

Q = .

4) " А $ (-А): А + (-А) = (-А) + А = 0.

Вона і снує, тому що є (-А) = (- ).

5) А = А;

6) k (l A) = (k l) A;

7) k (A + B) = kA + kB;

8) (k + l) A = kA + lA:

Перевірити самостійно.

Таким чином, множина всіх матриць є векторним простором, більш того, арифметичним, вимірності .

Розглянемо хоча б один базіс цього простору. Це так звані матриці .

= .

Таких матриць існує n².

 

, , …, ,

 

, , …,

 

Доведемо, що це базис. Доведемо, що це лінійно незалежні матриці. Для цього з’ясуємо, при яких k_ij виконується рівність

(*)

= 0.

, .

Отже рівність (*) виконується лише в нульовому випадку усіх k_ij, тому матриці лінійно залежні.

З того, що вимерність простору матриць дорівнює , випливає, що матриці утворюють базіс. Тоді будь-яка матриця А повинна бути лінійною комбінацією матриць . Знайдемо цю лінійну комбнацію.

Розглянемо довільну матрицю А. Доведемо, що

А = .

Введемо в розгляд допоміжну матрицю:

.

Доведемо, що цю матрицю можна подати у вигляді .

Насправді

Розглянемо тепер матрицю А. Її можна подати у вигляді

Застосуємо до кожного доданку попередню формулу

Вправа. Довести, що операція множення матриць і додавання матриць підпорядковується дистрибутивному закону:

А (В + С) = АВ + ВС.

 

Доведення.

Необхідність. Нехай матриця С є скалярною. Треба довести, що , " А. З того, що матриця С скалярна, вона має вигляд

С = .

Вище було доведено, що така матриця комутує з будь-якою матрицею А. Таким чином, необхідність доведена.

Достатність. Нехай деяка матриця С загального вигляду

С = ,

комутує з будь-якою матрицею А. Треба довести, що матриця С – скалярна матриця, тобто , , якщо i ¹ j.

З того, що для будь-якої матриці А, випливає .

 

(1)

 

.

(2)

Матриці (1), (2) за умовою теореми рівні, тому що на однакових місцях повинні знаходитись рівні елементи. Порівняємо елементи i-тих рядків ицх матриць.

0 = , 0 = , …, , 0 = , j = 1,2,…n.

Таким чином, ми одержали, що матриця С має діагональні елементи рівними, а елементи позадіагональні є нульовими, тобто матриця С – скалярна матриця.

 

Скалярні матриці.

Означення. Скалярною матрицею називається матриця вигляду

.

До класу скалярних матриць належить одинична матриця, а також нульова.

Позначимо k × Е = .

Доведемо, що кЕ комутує з будь-якою матрицею

(к Е) А = А (к Е), А.

Безпосереднім множенням матриць, переконуємося

1) (к Е) А = .

2) А (к Е) = .

 

Звідси випливає, що скалярна матриця комутує в добутку з будь-якою матрицею А. Насправді справедливе і обернене. А тому має місце така теорема.

Теорема. Для того, щоб матриця була скалярною, необхідно і достатньо, щоб вона комутувала з будь-якою матрицею.