Математические модели в принятии решений

Под моделью в широком смысле в науке принято понимать аналог, «заместитель» оригинала (фрагмент действительности), который при определенных условиях воспроизводит интересующие исследователя свойства оригинала. Можно предположить, что модель это упорядоченный набор предположений о реальном объекте.

Как подчеркивается в определении академика Н.Н. Моисеева[30]: «Под моделью будем понимать упрощенное, если угодно, упакованное знание, несущее вполне определенную, ограниченную информацию о предмете (явлении), отражающее те или иные его отдельные свойства. Модель можно рассматривать как специальную форму кодирования информации. В отличие от обычного кодирования, когда нам известна вся исходная информация, и мы лишь переводим ее на другой язык, модель, какой бы она ни использовала, кодирует и ту информацию, которую люди раньше не знали. Можно сказать, что модель содержит в себе потенциальное знание, которое человек, исследуя ее, может приобрести, сделать наглядным и использовать в своих практических нуждах. Для этих целей в рамках самих наук развиты специальные методы анализа. Именно этим и обусловлена предсказательная способность модельного описания».

В теории принятия решений наиболее применяемы следующие типы моделей:

– теоретические модели, опирающиеся на какую-то теорию (экономические, вероятностные, теоретико-игровые, модели исследования операций и другие);

– словесные (вербальные) модели типа сценария развития ситуаций;

– схематические модели типа «черный ящик» или «сетевая» модель, которые составляют часто основу других моделей и предусматривают рассмотрение только входных и выходных данных об объекте без рассмотрения внутреннего содержания;

– математические (алгоритмические) модели, которые в настоящее время являются основой для компьютерного моделирования и с помощью которых могут быть воплощены модели первого и второго типа.

Поэтому остановимся именно на этих моделях.

Согласно приведенному выше определению Н.Н. Моисеева построение математической модели обеспечивает существенное сжатие информации, но при этом какие-то грани изучаемого процесса отбрасываются как несущественные, а другие — как бы проявляются. Важно только уметь выявлять именно значимую информацию. В этом состоит одна из основных сложностей процесса моделирования.

Появление компьютеров сделало возможным использование математических моделей для решений проблемных задач. А разработка вычислительных методов теории принятия решений[31] стала основой для их реализации. В этом направлении было проведено много исследований. Группой специалистов под руководством академика Н.Н. Моисеева еще в 70-е гг. прошлого столетия, на базе вычислительного центра Академии Наук была разработана и реализована имитационная модель оценки последствий ядерной войны[32]. Полученные с использованием этой модели результаты потрясли всю научную общественность и политиков, заставив их задуматься о последствиях принимаемых ими решений. На основе другой известной модели Дж. Форрестора и Д. Медоуза, имитирующей мировую динамику, были сделаны выводы о кризисных ситуациях, которые ожидают мир в конце XX века. Работы Дж. Форрестора и Д. Медоуза оказались важны также тем, что привлекли общественное внимание к опасным процессам, происходящим в окружающем нас мире и к взаимосвязанности этих процессов[33].

Моделирование процесса принятия решения позволяет придать ему качественно новый уровень и внедрить компьютерные технологии в практику принятия решений. Применение моделей процесса принятия решений позволяет ЛПР проверить интуитивные соображения при принятии решений, обеспечить системность, адекватность, непротиворечивость, надежность и оптимальность решений. С другой стороны, модель позволяет ЛПР более полно реализовать знания, опыт и интуицию.

Конечно, надо понимать, что модель помогает найти рациональное решения только для модельного варианта, который, как правило, является упрощением реальной ситуации. Варианты решений, которые могут быть получены с помощью компьютерной модели, могут носить лишь рекомендательный характер, но именно модель способствует выработке реального решения. Если в процессе окончательного выбора решения обнаруживаются дополнительные факторы, влияющие на результат, то их проверяют на модели или корректируют модель надлежащим образом для учета этих факторов.

При принятии важных и ответственных решений целесообразно независимо применять несколько типов моделей, описывающих реальную ситуацию с разных точек зрения. Например, использование методов количественного прогноза должно быть дополнено методами экспертного прогнозирования. Разные модели позволяют повысить надежность получаемых с их помощью рекомендаций. Для сложного решения можно создать комплекс моделей, описывающих различные аспекты решения. На завершающем этапе принятия решения существенное влияние оказывает личность принимающего решение, его или их решительность, дальновидность, мастерство и искусство реализации решения.

Наибольший эффект при принятии ответственных решений дает интеграция знаний, опыта, интуиции и современных компьютерных технологий принятия решений.

Применение компьютерных моделей, основу которых составляют именно математические модели, предполагает создание базы данных для повторяющихся и типовых решений. Такие модели позволяют быстро и многократно варьировать условия принятия решения и проверять рекомендованные результаты. Иначе говоря, компьютерная модель решения позволяет довольно просто экспериментировать с моделью, применяемыми методами и процедурами решения и проверять запланированные результаты.

Наряду с требованиями соответствия модели объекту управления важно также, чтобы модель соответствовала профессиональным навыкам, системе ценностей и предпочтений ЛПР и обеспечивала определенный уровень доверия к результатам моделирования.

Качество модели определяется, с одной стороны, тем, насколько полно и точно удается отразить основные свойства ситуации, а с другой стороны, тем, насколько удобно можно работать, экспериментировать с моделью и получать результаты, вызывающие доверие. Последнее свойство модели требует адекватного анализа и соответствующего упрощения ситуации.

Анализ ситуации может приводить к необходимости использования вероятностной или детерминированной модели решения. Вероятностные модели учитывают возможное вероятностное распределение событий и условий, определяющих решения. Детерминированные модели, фиксирующие вероятность события и условия решений, позволяют учесть другие характеристики и элементы задачи принятия решения, недоступные вероятностным моделям решения. Поэтому важно для исследователя применять разные типы моделей. Следует учитывать тот факт, что как бы ни была хороша разработанная модель, она никогда не может учесть абсолютно все события и условия реальной ситуации принятия решения.

Моделирование состоит из двух взаимосвязанных этапов: формулирования модели и ее изучения. Методологической основой разработки и исследования моделей является системный анализ.

Системный подход

Системный анализ занимается не только изучением какого-либо объекта (явления, процесса), но, главным образом, исследованием связанной с ним проблемной ситуации, т. е. постановкой задачи.

Прежде, чем рассмотреть этот подход применительно к теории принятия решений, необходимо остановиться на основных понятиях и определениях[34].

Система — есть множество связанных между собой элементов, которое рассматривается как целое.

Элемент — неразложимый далее (в данной системе, при данном способе рассмотрения и анализа) компонент сложных объектов, явлений, процессов.

Структура — относительно устойчивая фиксация связей между элементами системы.

Целостность системы — это ее относительная независимость от среды и других аналогичных систем.

Эмерджентность — это несводимость (степень несводимости) свойств системы к свойствам элементов системы.

Все эти элементы взаимосвязаны, данные определения носят пояснительный характер и дают первое представление о концепции системного подхода.

Термин «система» предполагает взаимодействие составляющих элементов, причем система как целое обладает свойствами, отсутствующими у составных ее частей.

Система рассматривается как целое, определяемое одной или несколькими основными функциями, где под функцией понимается роль, назначение, «миссия» системы. По Акоффу, система состоит из двух или более существенных частей, т. е. частей, без которых она не может выполнять свои функции. Другими словами, система является целым, которое нельзя разделить на независимые части.

Конечно, наряду с явными функциями могут существовать неявные, латентные. Более того, один и тот же элемент может выполнять как полезные функции, так и дисфункции, негативно влияющие на ее функционирование.

Ключевую роль в системном анализе играет понятие «структура», которое связано с упорядоченностью отношений, связывающих элементы системы. Структуры часто носят иерархический характер, т. е. состоят из упорядоченных уровней. Проблема структуризации является одной из главных отличительных особенностей системных исследований. Подмножества элементов системы могут рассматриваться как подсистемы, состоящие в свою очередь из подсистем более низкого уровня. Однако следует помнить, что разбиение системы на подсистемы зависит от целей исследования.

Наличие структуры позволяет существенно сократить громадное число возможных комбинаций элементарных отношений, т. е. наличие структуры — это в некотором смысле потеря степени свободы.

Рассмотренные выше понятия характеризуют статическое состояние системы. Перейдем к динамике и введем некоторые определения.

Под поведением системы будем понимать ее функционирование во времени. Изменение структуры системы во времени можно рассматривать как эволюцию системы.

Цель системы — предпочтительное для нее состояние.

Целенаправленное поведение — стремление достичь цели.

Обратная связь — воздействие результатов функционирования системы на характер этого функционирования.

Если обратная связь усиливает эффект функционирования, то она называется положительной, если ослабляет — отрицательной. Положительная обратная связь может приводить к неустойчивым состояниям, тогда как отрицательная — к устойчивым [35].

С помощью отрицательных обратных связей органические системы поддерживают свою жизнедеятельность. Например, тяжелая физическая работа уменьшает количество кислорода в крови человека. Однако учащенное дыхание увеличивает приток кислорода к легким, что ведет к пополнению кислорода в крови.

В качестве примера положительной обратной связи рассмотрим проблему инфляционных ожиданий. Рост инфляционных ожиданий вынуждает людей делать больше покупок впрок, чем необходимо. Увеличение спроса приводит к росту цен и увеличивает инфляцию, что в свою очередь способствует повышению инфляционных ожиданий.

Одним из первых, кто осознал роль обратной связи в поведении систем живой и неживой природы, был Норберт Винер. Начальные идеи кибернетики (от греч. «искусство управления») были изложены в 1943 г. в статье «Поведение, целенаправленность и телеология», где впервые показано принципиальное единство ряда задач, в центре которых находятся проблемы связи и управления в природе и технике.

Телеологическое поведение (целенаправленное действие) требует отрицательной обратной связи, т. е. для достижения определенной цели «необходимы сигналы от нее, чтобы направить поведение».

Винер считал, что существование отрицательных обратных связей у живых существ является главной особенностью, отличающей живую природу от неживой. Технические системы обладают обратной связью по воле конструктора. За 15 лет до Н. Винера А.П. Анохин также утверждал, что наличие отрицательных обратных связей обеспечивает устойчивость организмов и создает у живых существ целеполагание — стремление к сохранению гомеостазиса. Еще ранее А.А. Богданов писал, что для развития организации любой природы необходимы отрицательные и положительные обратные связи.

Ценность системного подхода состоит в формировании и развитии научного мышления, поэтапного подхода к исследованию сложных проблем.

Рассматривая системный анализ как методологию не столько решения, сколько постановки проблем, выделим 11 основных этапов, следуя которым можно последовательно и системно анализировать конкретную проблему.

1. Формулировка основных целей и задач исследования.

2. Определение границ системы, отделение ее от внешней среды.

3. Составление списка элементов системы (подсистем, факторов, переменных и т. д.).

4. Выявление сути целостности системы.

5. Анализ взаимосвязей элементов системы.

6. Построение структуры системы.

7. Установление функций системы и ее подсистем.

8. Согласование целей системы и ее подсистем.

9. Установление границ системы и каждой подсистемы.

10. Анализ явлений эмерджентности.

11. Конструирование системной модели.

Естественно, что изложенные этапы не являются догмой, некоторые могут быть опущены, возможен возврат к предыдущим этапам. Кроме того, содержание каждого этапа допускает различные трактовки, большинство понятий строго не определено. Тем не менее, каждый исследователь должен помнить об основных вехах на пути от постановки задачи к построению модели. (Особенно полезно для студентов следование данной дисциплинирующей последовательности!)

Применительно к теории принятия решений существует ряд определений понятия «системный анализ», одно из самых известных принадлежит Э. Квейду: «В широком смысле любое аналитическое исследование, направленное на то, чтобы помочь руководителю, ответственному за принятие решений, в выборе предпочтительного курса действий, могло бы быть названо системным анализом»[36]. В другом определении, принадлежащем А. Энтховену: «Системный анализ является разумным подходом к принятию решений, точно определяемый как “количественный здравый смысл”»[37]. Эти определения достаточно широко определяют суть системного анализа для данной области.

Теория принятия решений использует общую схему системного подхода. В качестве вспомогательного средства сравнения альтернатив в ней применяются математические модели, описывающие поведение систем, включающих в себя как отдельных людей, так и коллективы. При этом предполагается, что люди ведут себя определенным рациональным образом, который может быть адекватно описан. Критерий сравнения альтернатив обычно рассматривается как единственный и очевидный. В этом случае модель отражает веру исследователя в то, что данная ситуация определяет именно это, а не другое поведение людей и что в таком плане описание приближается к объективному. Таким образом, системный анализ является методом, позволяющим рационально использовать субъективные суждения для решения слабоструктурированных проблем.

Особенность системного анализа состоит именно в подходе к аналитическому сопоставлению альтернатив. Отсутствие объективной информации не позволяет однозначно объединить параметры системы в единую модель оценки качества альтернатив. Эти параметры выступают отдельно как критерии оценки альтернатив. Проблема оценки становится многокритериальной. Первый, наиболее известный, вариант системного анализа в принятии решений связан с двухкритериальной оценкой альтернатив — с оценкой по критериям стоимости и эффективности. Появление метода эффективность-стоимость вызвано было необходимостью учета при анализе вариантов сложных решений факторов самой разной природы, и впервые он был применен для анализа военно-технических решений. Этот метод включает 3 этапа:

– построение модели эффективности;

– построение модели стоимости;

– синтез оценок стоимости и эффективности.

Особенность данного подхода состоит в том, что при синтезе эффективности и стоимости появляются субъективные суждения. Возможны два варианта задачи, смысл которых состоит в переводе одного критерия оценки альтернатив в ограничение. Этот подход позволяет понять бессмысленность требований типа «максимум эффективности при минимуме затрат» и занимает весомое место в исследовании операций и теории принятия решений.

Системный анализ можно определить как объединение общей схемы системного подхода и методов оценки и сравнения многокритериальных альтернатив на основе субъективных суждений.

Контрольные вопросы

1. Какие методы используются в теории принятия решений?

2. Определите роль рационального подхода в принятии решений?

3. Что такое модель, и какие типы моделей вы знаете?

4. Приведите простейшую модель конфликта.

5. Сформулируйте суть системного подхода.

6. Дайте определения основным понятиям, используемым в системном анализе.

7. Перечислите этапы исследований с помощью системного подхода.

8. Какова сущность системного подхода применительно к теории принятия решений?

Тема 4. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Основные понятия исследования операций

В области принятия решений разделяют два направления: нормативные методы принятия решений, предписывающие ЛПР, как следует принимать наилучшие решения; дескриптивные исследования, показывающие, как человек в действительности ведет себя в процессе принятия решений.

Первым направлением занимается теория исследования операций[38].

Под исследованием операций понимают применение математических, количественных методов обоснования решений во всех областях целенаправленной деятельности.

В исследовании операций под решением понимают какой-то выбор из ряда возможных, имеющихся у ЛПР. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными.

Оптимальным называется решение, являющееся по тем или иным признакам предпочтительнее других. Цель исследования операций — предварительное количественное обоснование оптимальных решений. Операцией называется всякое мероприятие, систематическое действие, направленное на достижение какой-то цели. Иногда удается указать одно единственное строго оптимальное решение, гораздо чаще просто выделить область целесообразных решений, в пределах которых может быть сделан окончательный выбор. Заметим, что само принятие решения выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ЛПР или группы лиц. Делая выбор, ЛПР или группа могут учитывать наряду с рекомендациями, вытекающими из математических расчетов, еще и другие соображения, которые не были учтены в моделях. Присутствие человека в принятии решений не отменяется даже при наличии автоматизированной системы управления, в основе которой заложен управляющий алгоритм, выбор которого также представляет собой решение.

Совокупность параметров, образующих решение, называют элементами решения. В качестве элементов решений могут быть числа, векторы, функции и т. д. Например, если составляется расписание занятий на семестр, то предполагается решение задачи оптимального распределения преподавателей по аудиториям. В этой формулировке элементами решения будут числа, показывающие какому преподавателю будет предоставлена какая аудитория и в какой интервал времени.

Кроме элементов решений, всегда имеются дисциплинирующие условия, которые заданы (фиксированы) с самого начала и не могут быть нарушены (например: количество аудиторий и преподавателей, возможности преподавателей проводить занятия по определенным интервалам времени и т. д.). В качестве условий могут выступать средства (материальные, технические, людские и т. д.), которыми мы вправе распоряжаться, или иные ограничения, налагаемые на решения. В своей совокупности решения формируют так называемое множество решений. При формулировке задачи исследования операций речь идет о том, чтобы выделить по какому-то признаку наиболее эффективные решения (либо одно решение). Чтобы сравнивать решения надо иметь какой-то количественный критерий (показатель эффективности), называемый в исследовании операций целевой функцией. Оптимальным (лучшим) считается то решение, которое в максимальной степени способствует достижению цели. Например, в задаче о расписании в качестве критерия может быть минимум «свободных окон».

В исследовании операций понятию «оптимальное решение» предъявляется требование — только то решение, оптимальность которого доказана строго математически, может определяться как оптимальное. Иначе, можно говорить только о целесообразном решении. В данном пособии требования к понятию «оптимальное решение» не столь строгие, поэтому понятия «оптимальное решение», «целесообразное решение» и «наилучшее решение» будем рассматривать как идентичные.

Выбор показателя эффективности часто труден. Какой показатель принять за показатель эффективности работы транспорта? Среднюю скорость передвижения пассажиров, среднее число перевезенных пассажиров или среднее количество километров, которые придется пройти пешком, так как транспорт не может доставить в нужное место?.

Для применения количественных методов исследования операций требуются модели. Необходимо соизмерять точность и подробность модели с той точностью, с которой нам надо знать решение, и с той информацией, которой мы располагаем. Если исходные данные известны не точно, то нет смысла входить в тонкости и строить точную модель. Когда есть возможность решать задачу, используя различные математические модели (спор моделей) и сверяя результаты, тогда можно повысить степень обоснованности решений и полученных на их основе рекомендаций.

Задачи исследования операций делят на две группы: прямые и обратные.

Прямые задачи отвечают на вопрос, что будет, если в заданных условиях мы примем какое-то решение и чему будет равно при данном решении значение показателя эффективности или нескольких показателей. Для решения такой задачи строится математическая модель, позволяющая выразить одни или несколько показателей через заданные условия и элементы решения.

Обратные задачи отвечают на вопрос: как выбрать решение для того, чтобы показатель эффективности обратился в максимум или минимум (в экстремум).

Прямые и обратные задачи взаимосвязаны — для решения обратной задачи надо уметь решать прямую задачу. Для одних типов операций прямая задача решается просто, для других — построение математических моделей и вычисление показателей само по себе не тривиально. Суть обратной задачи состоит в вычислении значения показателя эффективности при разных решениях и выбора из них того решения, при котором достигается экстремум. Если решений несколько, то можно обойтись «простым перебором», обладающим той общей особенностью, что оптимальное решение находится с помощью последовательных «попыток» или приближений, из которых каждое последующее приближает нас к искомому оптимальному. Однако, когда число возможных вариантов велико, поиск среди них «вслепую» простым перебором становится невозможен. В этих случаях применяют методы «направленного перебора». Содержательная постановка обратной задачи может включать наряду с известными факторами и неизвестные, неопределенные, что усложняет весь ход решения.