Визначення швидкості кулі за допомогою крутильного балістичного маятника

 

 

Мета роботи:

 

Обладнання:

використовуючи закони збереження в механіці, визначити швидкість кулі.

 

 

установка РМ-5.

 

 

Теоретичні відомості

 

 

Крутильно-балістичний маятник являє собою масивне тіло, закріплене на пружинних дротинах. Якщо тіло повернути на кут φ, то в дротинах виникне пружний момент сил, прямопропорційний величині цього кута:

 

M = - k j. (8.1)

 

 

l O

 

r

 

Рисунок 8.1

Знак мінус показує, що момент М протидіє закручуванню дротин, k — модуль кручення дротини. Якщо тіло відпустити, то воно почне здійснювати крутильні коливання. При цьому:

 

M = I e, (8.2)

 

де І — момент інерції маятника;

 

j

d

2

j

e = dt, (8.3) де ε – кутове прискоренню. 3 рівнянь (8.1), (8.2), (8.3) маємо:

d

2

Idt 2 = - k j. (8.4) Розділимо рівняння (8.4) на І та введемо позначення

I

k = w 2 (8.5)

 

і, перенісши всі його члени в ліву частину, дістанемо

 

j

d

2

dt 2 +w 0 j = 0. (8.6) Ми одержали диференціальне рівняння гармонічних

p

крутильних коливань, які здійснює крутильний маятник. ω0 — кругова частота крутильних коливань. Як відомо, між круговою частотою і періодом існує простий зв'язок, а саме:

 

w 0 = T. (8.7) Отже, враховуючи (8.5), одержимо з (8.7) формулу для

періоду крутильних коливань:

 

p

k

T = 2 I. (8.8)

 

Знаючи від чого залежить період коливань крутильного маятника, можна приступити до визначення швидкості кулі. Якщо вистрілити з пістолета, то куля влучить у мішень і застрягне в ній. При цьому маятник повернеться на кут φ (рис. 8.1).

Застосуємо закон збереження моменту імпульсу: відносно точки О (точка, в якій знаходиться центр мас крутильного маятника) до удару кулі момент імпульсу кулі

 

 

L = mvr, (8.9)

 

де m — маса кулі, v — швидкість кулі, r — віддаль від вісі обертання маятника до місця удару кулі в мішень. Момент імпульсу нерухомого крутильного маятника рівний нулю. Після удару кулі маятник разом з кулею набуде кутової швидкості ω (не плутати з ω0) і почне обертатись. При цьому момент імпульсу маятника рівний

 

L = I w, (8.10)

 

w

де І — момент інерції маятника і кулі, яка в ньому застряне. Але, так як момент інерції кулі набагато менший за момент інерції маятника, то ми можемо вважати, що в формулі (8.10) І – це момент інерції маятника. Отже, з закону збереження моменту імпульсу системи куля – крутильний маятник випливає:

mvr = I. (8.11)

 

Масу кулі m і віддаль r від вісі обертання до місця удару кулі в мішень можна виміряти безпосередньо. Отже, для визначення v потрібно ще знати І і ω. Момент інерції маятника І складається з моменту інерції стержня з мішенню і противагою І 0, і моментів інерції двох масивних циліндрів. В першому наближенні ці циліндри, які розташовані на віддалі R 1від вісі обертання можна розглядати як точкові маси. Тому момент інерції кожного з цих циліндрів буде рівний m 0 R 12, а момент інерції крутильного маятника

 

0 1

I = I 0 + 2 mR 2. (8.12) При цьому обидва циліндри розташовані на однаковій

віддалі R 1від осі обертання. Формула (8.11), з врахуванням (8.12), набирає вигляду:

 

0 1

mvr = (I 0 + 2 mR 2) w. (8.13)

 

w

j

Для визначення ω використовуємо закон збереження механічної енергії. Дійсно, кінетична енергія обертового руху маятника в момент удару Eк = I 22 переходить в потенціальну енергію пружної деформації дротини, яка рівна

k

2

Eп = 2, де φ 1 — максимальний кут повороту маятника після удару кулі. Отже, з закону збереження енергії

 

w

j

I

k

2 2

2 = 21. (8.14)

 

3 цього рівняння, з врахуванням (8.8), одержимо:

 

T

w = pj 1. (8.15)

 

 

У даному рівнянні індекс (1) відповідає тому факту, що масивні циліндри знаходяться на віддалі R 1 від вісі обертання. Період Т 1і кут відхилення φ 1можна визначити безпосередньо з досліду. Залишається виключити I 0з рівняння (8.13). Скористаємось для цього, виразом для періоду крутильних коливань. Коли масивні циліндри знаходяться на віддалі R 1від осі, то

 

p

k

T = 2 I 0 + 2 m 0 R 2, (8.16)

 

 

а коли тягарці розташовані на віддалі R 2від осі, то

 

p

k

T = 2 I 0 + 2 m 0 R 2. (8.17)

 

 

n

Розв'язавши знайдемо:

систему з двох рівнянь (8.16)

 

2 2

I =.

1 2 2 1

2 m 0(RT 2 - RT 2) 0 (T 2 - T 2) mr

і (8.17),

 

 

(8.18)

 

2 1

j

p

T (R -

m

Підставивши в рівняння (8.13) вирази (8.18) і (8.15), розв’яжемо його відносно v:

0 1 1 2 1

2 1

v = 4(T 2 - T 2) mrR 2). (8.19)

 

n

Період коливань визначається як час декількох коливань t, поділений на їх кількість n. Якщо для визначення Т 1і Т2 брати однакову кількість коливань n, то T = t 1, а

 

T 2= t 2. Визначимо

 

формулу:

 

кут φ 1в радіанах і одержимо

 

 

j

v =

.

2 1

1 2

p 2 m 0 1 t 1 n (R 2 - R 2) 45(t 2 - t 1) mr

 

робочу

 

(8.20)

 

 

Порядок виконання роботи

 

 

1. Натиснути на кнопку "сеть" і перевірити, чи всі індикатори висвічують "нуль"; і, чи горить лампочка фотодіода.

2. Визначити масу m 0, масивного циліндра і масу кулі m:

3. Закріпити циліндри на однакових віддалях від осі обертання (приблизно ці віддалі повинні дорівнювати половині віддалі від осі обертання до мішені). Виміряти відстань між їх серединами і розділити на 2. Це буде віддаль R 1.

 

4. Зробити постріл з пістолета і замітити, на який кут відхилиться маятник. Дослід повторити декілька разів і знайти середнє значення кута φ 1і відстані r від осі до місця удару кулі.

5. Закрутити маятник на певний кут, натиснути на кнопку "сброс" і відпустити маятник. Після появи на табло, що висвічує кількість коливань, цифри "9", натиснути кнопку "стоп". Секундомір зупиниться, коли маятник здійснить 10 коливань. Отже, n = 10 і при цьому висвітиться час цих коливань t.

6. Розсунути максимально циліндри, виміряти R 2та час десяти коливань t 2.

7. Обчислити швидкість кулі, абсолютну і відносну похибки.

 

Контрольні запитання

 

 

1. Що називається моментом інерції матеріальної точки і твердого тіла?

2. Що називаємо моментом імпульсу матеріальної точки відносно заданої точки простору?

3. Дати означення моменту імпульсу твердого тіла відносно заданої осі обертання і записати формулу для його визначення.

4. В чому полягає закон збереження моменту імпульсу?

5. Сформулювати закон збереження механічної енергії. Як цей закон застосовується в даній роботі?

6. Вивести формулу для обчислення похибок абсолютної і відносної.

 

Лабораторнаробота№9