Перехідні процеси в лінійних електричних колах

Приклад 1.Класичним методом визначити струми перехідного процесу (transient process) у всіх вітках кола (рисунок 2.29) і напруги на індуктивності і ємності при розмиканні ключа К. Параметри кола: R1=20_Ом, R2=38 Ом, R3=87 Ом, L=0,25 Г, С=100 мкФ, U=290 В.

Розв’язування. Вибираємо додатний напрямок струмів в вітках і складаємо рівняння за законами Кірхгофа для післякомутаційного стану кола:

(1)

 

 


З цієї системи рівнянь, вилучаємо всі невідомі, крім однієї, наприклад uc, отримаємо лінійне диференціальне рівняння (linear differential equation) з одним невідомим. Для цього виразимо невідомі i1, i2, i3 через uc. Струм i3 виражений через uc в останньому рівнянні системи. Із 3-го рівняння системи :

. (2)

Підставимо значення струмів i2, i3 в перше рівняння системи (1), отримаємо:

 

. (3)

Замінивши струми їх значеннями через напругу в другому рівнянні системи, отримаємо :

або

.

Після перетворень:

. (4)

Таким чином, знаходження напруги uC зводиться до розв’язування неоднорідного диференціального рівняння (non-homogeneous differential equation) другого порядку. Загальне розв’язування цього рівняння записується у вигляді двох складових (примусової і вільної): uC=uC пр+uC в .

Примусову складову визначають з розрахунку нового сталого режиму, тобто при розімкнутому ключі. В цьому режимі в колі протікає постійний струм, який не проходить через ємність, тому

,

Напруга на ємності в усталеному режимі дорівнює напрузі на опорах R2 i R3, тобто

.

Вільну складову записують в залежності від виду коренів характеристичного рівняння (characteristic equation):

 

 

або

 

Корені рівняння

Оскільки корені характеристичного рівняння – спряжені комплексні, то вільна складова

де ;

Спільний вираз для напруги на ємності:

uC = 250 + e-80t (A1sin200t + A2cos200t). (5)

Для визначення сталих інтегрування використаємо початкові умови. Відповідно до законів комутації (commutation laws)

uC(0+) = uC(0-); iL(0+) = iL(0-).

Тому знаходимо напругу на ємності і струм в індуктивності до комутації, тобто при замкненому ключі:

Підставимо значення uc(0+) i t = 0 в рівняння (5), отримаємо

190=250+А2 .

Звідси

А2= -60.

Для знаходження А1 використаємо другу початкову умову (starting condition) iL(0+), для чого виразимо струм iL через постійні інтегрування А1 та А2. Підставимо рівняння (5) в формулу (3), отримаємо:

 

Після підстановки числових значень і деяких перетворень

i1=2+e-80t(0,02A1cos200t+1,2sin200t).

Підставивши числові значення при маємо

5=2+0,02А1

Звідки А1=150.

Таким чином,

 

uc=[250+e-80t(150sin200t-60cos200t)] В.

Знаючи uc, струми в вітках визначають за виразами (1) – (3):

 

i1=[2+e-80t(1,2sin200t+3cos200t)] A ,

i2=[2+e-80t(1,2sin200t-0,48cos200t)] A ,

i3=3,48e-80tcos200t A .

Відомо, що

a sinwt + b coswt=Asin(wt+g),

де ,

tgg=b/a;

тому

uc=[250+162e-80tsin(200t-21° 50¢)] В ;

i1=[2+3,23e-80tsin(200t+68° 10¢)] A ;

i2=[2+1,29e-80tsin(200t+21° 50¢)] A ;

i3=3,48e-80tsin(200t+90) A .

Напруга на індуктивності

.

Приклад 2. Розрахувати перехідний процес в схемі 5.1 операторним методом.

Розв’язування. Запишемо ще раз систему рівнянь, складену за законами Кірхгофа:



 

Враховуючи, що i1(t)ºI1(s), i2(t)ºI2(s), i3(t)ºI3(s); uc(t)ºUc(s)

Перепишемо цю систему в операторній формі:

 

Замість диференціальних рівнянь отримали алгебраїчні. Розв’язуємо отриману систему відносно однієї невідомої, наприклад Uc(s):

 

 

де i1(0), uc(0) – початкові умови.

Після підстановки числових значень

 

Для знаходження оригіналу функції (primitive function) Uc(s) використовується формула розкладання. Тоді

 

y(s)=4,75×10-3s2 + 1,63s + 290;

H(s)=s(2,3×10-3s2 + 4×10-3s + 1,16).

Порівнюючи знаменник до нуля, знаходимо його корені:

S1 = 0; S2 = - 80 + j200; S3 = - 80 – j200.

Оскільки ми отримали три корені, то сума в формулі розкладу містить три складових (n=3):

Знайдемо числові значення чисельників:

 

y(s1)=4,75×10-3s12 + 1,63s1 + 290 = 290,

y(s2)=4,75×10-3s22 + 1,63s2 + 290 = j174,

y(s3)=4,75×10-3s32 + 1,63s3 + 290 = - j174.

Похідна знаменника

 

H¢(s)=(2,5×10-3s2 + 4×10-3s + 1,16) + s(5×10-3s + 4×10-3) ,

тому

H¢(s1) = 1,16,

H¢(s2) = - 2 – j0,8,

H¢(s3) = - 2+ j0,8.

Підставляючи отримані значення у вираз для uc(t) , маємо:

 

 

або

Замінимо показникові функції від уявного аргументу тригонометричними, тоді

 

uc(t)=250+81e-80t[cos(200t-111°50¢)+jsin(200t-111°50¢)+cos(200t-111°50¢)-

-jsin(200t-111°50¢)]=250+162e-80tcos(200t-111°50¢),

або

Інші шукані величини визначаються аналогічно.









Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su не принадлежат авторские права, размещенных материалов. Все права принадлежать их авторам. Обратная связь