Раздел 2. Аналитическая геометрия

 

Задания 21─30. Даны координаты вершин пирамиды А₁, А₂, А₃, А₄. Найти:

1) площадь грани А₁А₂А₃;

2) объем пирамиды;

3) уравнения прямой А₁А₂;

4) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты А₄D, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

6) длину высоты А₄D;

7) координаты точки пересечения высоты А₄D с плоскостью А₁А₂А₃.

 

21. А₁ (4; 2; 5), А₂ (0; 7; 2), А₃ (0; 2; 7), А₄ (1; 5; 0).

 

22. А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 4).

 

23. А₁ (4; 6; 5), А₂ (6; 9; 4), А₃ (2; 10; 10), А₄ (7; 5; 9).

 

24. А₁ (3; 5; 4), А₂ (8; 7; 4), А₃ (5; 10; 4), А₄ (4; 7; 8).

 

25. А₁ (10; 6; 6), А₂ (- 2; 8; 2), А₃ (6; 8; 9), А₄ (7; 10; 3).

 

26. А₁ (1; 8; 2), А₂ (5; 2; 6), А₃ (5; 7; 4), А₄ (4; 10; 9).

 

27. А₁ (6; 6; 5), А₂ (4; 9; 5), А₃ (4; 6; 11), А₄ (6; 9; 3).

 

28. А₁ (7; 2; 2), А₂ (5; 7; 7), А₃ (5; 3; 1), А₄ (2; 3; 7).

 

29. А₁ (8; 6; 4), А₂ (10; 5; 5), А₃ (5; 6; 8), А₄ (8; 10; 7).

 

30. А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8), А₄ (8; 4; 1).

 

31. Прямые 2 х + у – 1 = 0 и 4 х – у – 11 = 0 являются сторонами треугольника, а точка Р (1; 2) – точкой пересечения третьей стороны с высотой, опущенной на нее. Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертеж.

 

32. Прямая 5 х - 3 у + 4 = 0 является одной из сторон треугольника, а прямые 4 х - 3 у + 2 = 0 и 7 х + 2 у – 13 = 0 его высотами. Составить уравнения двух других сторон треугольника. Сделать чертеж.

 

33. Точки А (3; -1) и В (4; 0) являются вершинами треугольника, а точка D (2; 1) - точкой пересечения его медиан. Составить уравнение высоты, опущенной из третьей вершины. Сделать чертеж.

 

34. Прямые 3 х - 4 у + 17 = 0 и 4 х – у – 12 = 0 являются сторонами параллелограмма, а точка Р (2; 7) – точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмма. Сделать чертеж.

 

35. Прямые х - 2 у + 10 = 0 и 7 х + у - 5 = 0 являются сторонами треугольника, а точка D (1; 3) ─ точкой пересечения его медиан. Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертеж.

 

36. Прямые 5 х - 3 у + 14 = 0 и 5 х - 3 у – 20 = 0 являются сторонами ромба, а прямая х - 4 у – 4 = 0 – его диагональю. Составить уравнения двух других сторон ромба. Сделать чертеж.

 

37. На прямой 4 х + 3 у – 6 = 0 найти точку, равноудаленную от точек А (1; 2) и В (- 1; - 4). Сделать чертеж.

 

38. Найти координаты точки, симметричной точке А (5;2) относительно прямой х + 3 у – 1 = 0. Сделать чертеж.

 

39. Прямые х - 3 у + 6 = 0 и 3 х + у – 12 = 0 являются сторонами прямоугольника, а точка Р (7; 2) – точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон прямоугольника. Сделать чертеж.

 

40. Точки А (4;5) и С (2; - 1) являются двумя противоположными вершинами ромба, а прямая х – у + 1 = 0 – одной из его сторон. Составить уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

 

Раздел 3. Введение в математический анализ

Задания 41─50. Вычислить пределы.

 

41. 1.	2.
3.	4.
5.
42. 1.	2.
3.	4.
5.
43. 1.	2.
3.	4.
5.
44. 1.	2.
3.	4.
5.
45. 1.	2.
3.	4.
5.
46. 1.	2.
3.	4.
5.
47. 1.	2.
3.	4.
5.
48. 1.	2.
3.	4.
5.
49. 1.	2.
3.	4.
5.
50. 1.	2.
3.	4.
5.

 

Раздел 4. Дифференциальное исчисление

Функции одной переменной

Задания 51─60. Найти производные следующих функций:

51.
1.	2.
3.	4.

 

52.

1.	2.
3.	4.

53.

1.	2.
3.	4.

 

54.

1.	2.
3.	4.

 

55.

2.   3.	4.

56.

2.   3.	4.

 

57.

1.	2.
3.	4.

 

58.

1.
2.
3.	4.

59.

1.
2.
3.	4.

60.

1.
2.
3.	4.

 

Раздел 5. Функции нескольких переменных

Задания 61─70. Найти частные производные первого порядка и указанную производную второго порядка от функции:

 

61.
62.
63.
64. z =
65.
66.
67.
68.
69.
70.

Задания 71─80. Дана функция точка и вектор . Найти:

1) градиент функции в точке ;

2) производную функции в точке по направлению вектора .

 

71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.

Раздел 6. Неопределенный интеграл

Задания 81─90. Найти неопределенные интегралы. В пунктах 1, 2 выполнить проверку дифференцированием.

81.

 

1.	2.
3.	4.
5.

 

82.

1.	2.
3.	4.
5.

 

83.

1.	2.
3.	4.
5.

 

84.

1.	2.
3.	4.
5.

85.

1.	2.
3.	4.
5.

 

86.

1.	2.
3.	4.
5.

87.

1.	2.
3.	4.
5.

88.

1.	2.
3.	4.
5.

89.

1.	2.
3.	4.
5.

90.

1.	2.
3.	4.
5.

Раздел 7. Определенный интеграл

91. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

 

92. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси oy фигуры, ограниченной линиями

93. Найти длину кривой .

 

94. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

 

95. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями (одной полуволны),

у = 0.

96. Найти длину кривой

97. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .

 

98. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

 

99. Найти длину кривой .

100. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

 

Раздел 8. Дифференциальные уравнения

Задания 101─110. Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее условию .

101.

102.

103.

104.

105.

106.

107.

108.

109.

110.

Задания 111─120. Найти общее решение дифференциального уравнения.

 

111.

112.

113.

114.

115.

116.

117.

118.

119.

120.

 

Раздел 9. Кратные, криволинейные

и поверхностные интегралы

 

Задания 121–130. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

 

121.

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

Задания 131─140. Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость .

 

131.

132.

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

 

Раздел 10. Элементы теории поля

 

Задания 141─150. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки вдоль линии L от точки А до точки В.

 

141.

142. – отрезок прямой,

 

143. ,

дуга астроиды ,

 

144.

 

145. отрезок прямой,

146.

147. L – дуга одного витка винтовой линии

 

148. L – ломаная ACB,

.

 

149. L – дуга окружности .

 

150. L – дуга винтовой линии A – точка пересечения линии с плоскостью z = 0, В – точка пересечения линии с плоскостью z = 3.

 

Задания 151–160. Проверить, является ли векторное поле соленоидальным и потенциальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.

 

151.

152.

153.

154.

155.

156.

157.

158.

159.

160.

Раздел 11. Ряды

 

Задания 161–170. Записать общий член ряда и исследовать ряд на сходимость.

 

161.

 

162.

163.

 

164.

165.

 

166.

 

167.

 

168.

 

169.

 

170.

 

Задания 171–180. Найти область сходимости следующих рядов:

 

171.	172.
173.	174.
175.	176.
177.	178.
179.	180.