Импульс, з-н изменения импульса с-мы материальных точек.

Импульс, з-н изменения импульса с-мы материальных точек.

Закон 2 Ньютона. Изменение количества движения пропорционально при­ложенной движущей силе и происходит по направлению той пря­мой, по которой эта сила действует.

Второй закон Ньютона связывает ускорение тела с действую­щей на него силой:

(1.1)

Так как масса — величина постоянная, то уравнение (1.1) мож­но записать в форме (1.6)

Величина называется импульсом, или количеством дви­жения материальной точки. Используя определение импульса, второй закон Ньютона записываем в форме (1.7)

Изменение импульса материальной точки вызывается действием на нее силы. В уравнении (1.7) введено общепринятое в классиче­ской механике обозначение, когда полная производная по времени обозначается точкой над буквой.

Несколько тел, каждое из которых можно рассматривать как материальную точку, составляют систему материальных точек. Для каждой материальной точки можно записать уравнение вто­рого закона Ньютона

(1.13)

В уравнении (1.13) индексы дают номер материальной точки. Действующие на материальную точку силы разделены на внеш­ние и внутренние . Внешние силы — это силы, действующие со стороны тел, не входящих в систему материальных точек. Вну­тренние силы — это силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, составляющих систему материальных точек. Здесь — сила, действующая на материальную точку, индекс которой , со стороны материальной точки с номером .

Из уравнений (1.13) вытекают несколько важных законов. Если просуммируем их по всем материальным точкам системы, то по­лучим

(1.14)

 

Величина (1.15)

называется импульсом системы материальных точек. Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов отдельных материальных точек. В уравнении (1.14) двойная сумма для вну­тренних сил обращается в нуль. Для каждой пары материальных точек в нее входят силы, которые по третьему закону Ньютона (Закон 3. Действию всегда есть равное и противоположное про­тиводействие; иначе — взаимодействия двух тел друг с другом равны и направлены в противоположные стороны.) равны и противоположно направлены. Для каждой пары вектор­ная сумма этих сил обращается в нуль. Поэтому равна нулю и сумма для всех сил. В результате получим

(1.16)

Уравнение (1.16) выражает закон изменения импульса системы материальных точек. Изменение импульса системы материальных точек вызывается только внешними силами. Если на систему не действуют внешние силы, то импульс системы материальных то­чек сохраняется. Систему материальных точек, на которую не действуют внешние силы, называют изолированной, или замкну­той, системой материальных точек.

 

 

Принцип Гамильтона

Использование принципа Даламбера позволяет не учитывать силы реакции связей и дает возможность применять произвольные обобщенные координаты. Однако, получение уравнений в обобщенных координатах может представлять трудности из-за наличия в принципе Даламбера (2.13) скалярных произведений. С помощью преобразований координат уравнения (2.13) можно преобразовать к виду, содержащему только скалярные функции обобщенных координат. Мы укажем другой путь, когда вначале от принципа Даламбера переходят к интегральному вариационному принципу. Получение уравнений механики из вариационного принципа позволило получить много важных результатов. В дальнейшем вариационные принципы стали использовать и в других областях теоретической физики.

Рассмотрим случай, когда силы имеют потенциал. Тогда виртуальная работа сил запишется в форме (2.14)

В общем случае потенциальная энергия может зависеть от времени. Поскольку вариация вычисляется при фиксированном , это никак не сказывается на выводах. При использовании обобщенных координат потенциальная энергия в конечном счете является функцией обобщенных координат. Тогда вариация потенциальной энергии будет иметь вид

(2.15)

По аналогии с выражениями (1.12) частные производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам называют обобщенными силами:

(2.16)

Для того чтобы преобразовать слагаемые с ускорениями к вариации от скалярной функции, предварительно проинтегрируем уравнение (2.9) по времени: . (2.17)

В сумме, содержащей ускорения, рассмотрим одно слагаемое, например . Индекс и массу временно опустим. Интеграл от этого слагаемого вычислим по частям

(2.18)

Будем считать, что начальное в момент времени и конечное в момент времени положения системы материальных точек заданы. Поэтому для этих моментов времени равно нулю, и первое слагаемое в (2.18) обращается в нуль. Так как вариации координат рассматриваются для фиксированных моментов времени, то производную по времени и варьирование можно переставить местами. Второе слагаемое в (2.18) преобразуется к виду

(2.19)

Такие же преобразования можно произвести для всех координат всех материальных точек. Учтем еще выражение (2.14) виртуальной работы через потенциальную функцию. В результате для интеграла (2.17) получим

. (2.20) Разность кинетической и потенциальной энергии, которая входит в последний из интегралов в формуле (2.20), называется функцией Лагранжа и обозначается буквой . Функция Лагранжа зависит от координат и скоростей материальных точек. При переходе к обобщенным координатам она выражается через обобщенные координаты и обобщенные скорости:

(2.21)

Время может и не входить в функцию Лагранжа. Интеграл из (2.20) обозначается буквой и называется действием; (2.22)

После введения этих обозначений условие (2.20) принимает вид . (2.23)

Вариация действия равна нулю. Это означает, что действие имеет экстремум, принимает наибольшее или наименьшее значение, если в интеграл (2.22) в качестве зависимости подставить функции, описывающие движение механической системы. Поэтому условие экстремума действия можно использовать для отыскания закона движения системы материальных точек.

Теперь можно сформулировать интегральный принцип, называемый принципом Гамильтона: Движение механической системы за конечный промежуток вре­мени от до происходит таким образом, что действие имеет при этом экстремум.

Для консервативных систем принцип Гамильтона эквивалентен законам Ньютона. Поэтому он может считаться основным принципом механики, из которого выводятся все уравнения механики.. Это — вариационный принцип, так как зависимость обобщенных координат от времени находится из условия минимума интеграла действия. Одним из преимуществ применения принципа Гамильтона является то, что в него входят только скалярные функции, которые можно пересчитать к произвольным обобщенным координатам. Поэтому ур-ия, которые вытекают из вариационного принципа, оказываются сразу записанными в обобщенных координатах. Получение ур-ий механики из вариационного принципа так же позволило решить ряд фундаментальных вопро­сов классической механики.

 

 

8. Получение уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона.

Из принципа Гамильтона обычным методом вариационного исчисления можно получить дифференциальные уравнения. Наряду с зависимостью , описывающей истинное движение механической системы, рассмотрим пробные функции , отличающиеся от на бесконечно малую величину:

(3.1) Дифференцируя равенство (3.1) по времени, найдем (3.2) Откуда следует, что вариация скорости равна производной от вариации координаты: . (3.3).

Это уже было отмечено ранее, что дифференцирование по времени и варьирование можно переставлять. Вариации координат рассматриваются такими, что в моменты времени и . они равны нулю: (3.4)

Действие для пробных функций разложим в ряд в линейном приближении по , и : (3.5)

Интеграл от одного из слагаемых первой суммы в (3.5) вычислим по частям:

(3.6)

Согласно условию (3.4), на пределах интегрирования . Поэтому первое слагаемое в последнем равенстве обращается в нуль. Подставляя теперь результат из (3.6) в (3.5) и записывая вариацию действия, получим

(3.7)

Поскольку вариации координат произвольны, то нулю должны равняться выражения в скобках для каждого . В результате получается система дифференциальных уравнений, которые в механике называются уравнениями Лагранжа: (3.8) Уравнения Лагранжа - это система дифференциальных уравнений относительно неизвестных обобщенных координат . Их решение дает зависимость обобщенных координат от времени, ко­торая удовлетворяет принципу Гамильтона и, следовательно, опи­сывает истинное движение механической системы. Преимуществом уравнений Лагранжа по сравнению с векторными уравнениями второго закона Ньютона является то, что они получаются из одной скалярной функций - функции Лагранжа и сразу оказываются записанными в обобщенных координатах

Несмотря на то, что функция Лагранжа равна разности кине­тической и потенциальной энергии, в выборе функции Лагранжа имеется некоторый произвол. Две функции Лагранжа, отличаю­щиеся на полную производную по времени от произвольной функ­ции координат и времени, дают одни и те же уравнения движения. Покажем это. Пусть и отличаются на полную производную по времени от некоторой функции ; (3.9)

Тогда для разности действий, отвечающих этим функциям Лагранжа, получим:

Вследствие того, что вариация координат на пределах интегрирования и =0, вариации и равны. Поэтому онибудут обращаться в нуль одними и теми же зависимостями , то есть принцип Гамильтона с функцией Лагранжа дает тот же закон движения системы, что и принцип Гамильтона с функцией Лагранжа . Наличие этого произвола позволяет иногда упрощать функцию Лагранжа путем отбрасывания членов, которые можно объединить в выражение, представляющее полную производную по времени от функции координат и времени.

Ур-ия Лагранжа обобщаются на механические системы, в которых действуют непотенциальные силы. Выражение для; обо6щенной непотенциалыюй силы нужно добавить в правую часть уравнений Лагранжа. Они тогда принимают вид , где (3,10)

В частном случае, когда непотенциальные силы являются силами трения, пропорциональными первой степени скорости, они могyт быть получены из диссипативной функции Рэлея: ; (3.11) Коэффициенты могут зависеть от координат и характеризуют силы трения в механической системе. Для механических систем, в которых силы трения могут быть описаны диссипативной функ­цией Рэлея, уравнения Лагранжа имеют вид (3.12) Ур-ия (3.10) и (3.12) не могут быть получены на основе вариационного принципа. Они выводятся непосредственно из принципа Даламбера. В лагранжевом формализме можно включать в уравнения движения силы немеханической природы. Например, ур-ия движения заряда в электромагнитном поле получаются из фунции Лагранжа, которая содержит слагаемые, описывающие взаимодей­ствие заряда с полем: (3.13) где и — скалярный и векторный потенциалы электромагнит­ного поля, — скорость света в вакууме. Электромагнитные ве­личины записаны в гауссовой системе единиц. При замене функции Лагранжа классической механики на функ­цию Лагранжа специальной теории относительности ур-ия Лагранжа дают ур-ия движения механики спец. те­ории относительности.

 

 

Циклические координаты.

Для одной материальной точки производные от функции Лагранжа по равны проекциям импульса на декартовы оси

; ; (3.27)

В обобщенных координатах вводится понятие обобщенного импуль са. Обобщенный импульс, сопряженный координате определяется по формуле, аналогичной формулам (3.27): (3.28)

Если координаты не декартовы, то обобщенные импульсы больше не равны проекциям импульса. Их можно выразить через импуль­сы отдельных материальных точек, составляющих систему материальных точек. Рассмотрим функцию Лагранжа как сложную функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей:

Вычислим производные по обобщенным координатам как производные от сложной функции:

(3.29)

Для частных производных от векторов скорости из формулы (2.4) находим, что

(3.30)

В рез-те имеем следующую связь обобщенного импульса с импульсами отдельных материальных точек механической системы: (3.31)

Обобщенный импульс, сопряженный де­картовой координате, равен проекции импульса на декартову oсь. Обобщенный импульс, сопряженный угловой координате, равен проекции момента импульса на ось вращения. Чтобы убедиться в этом, выразим радиус-вектор материальной точки через сфери­ческие координаты:

(3.32)

Используя представление (3.32), легко проверить,

(3.33)

Подставляя выражение (3.33) в формулу (3.31), найдем для одной материальной точки , (3.34)

то есть обобщенный импульс , сопряженный угловой координате , равен проекции момента импульса на ось OZ, которая в дан­ном случае представляет ось вращения при изменении угла . По­скольку моменты импульса складываются, то это будет справед­ливо и для системы материальных точек.

Используя определение обобщенного импульса, уравнения Лагранжа можно записать в форме (3.35)

Возможны случаи, когда некоторые координаты не входят в функ­цию Лагранжа, но в ней присутствуют их производные по времени — обобщенные скорости. Такие координаты называются цикличе­скими координатами. Например, если в функции Лагранжа ма­териальной точки (массой , находящейся в потен­циальном поле : (3.14) потенциальная энергия не будет зависеть от координат х и у, то координаты х и у будут циклическими. Для циклической координаты правая часть уравнения (3.35) равна ну­лю и, следовательно, интеграл этого уравнения имеет вид

. (3.36)

Так как обобщенный импульс, сопряженный циклической коорди­нате, остается постоянным при движении механической системы, то говорят, что он сохраняется. Каждой циклической координате отвечает свой закон сохранения.

Наличие законов сохранения упрощает решение задач механи­ки. Уравнения Лагранжа — это дифференциальные уравнения второго порядка относительно неизвестных координат . Соот­ношения вида (3.36) являются дифференциальными уравнениями первого порядка относительно . Понижение порядка диффе­ренциальных уравнений облегчает их интегрирование. Поэтому выбор обобщенных координат, когда некоторые из них являются циклическими, является предпочтительным.

Обобщенная энергия

Найдем полную производную от функции Лагранжа по време­ни. Так как функция Лагранжа зависит от обобщенных координат и обобщенных скоростей, которые сами являются функциями вре­мени, то получим выражение

(3.37)

Воспользуемся формулой Лейбница для дифференцирования про­изведения двух функций и получим из нее следующее равенство:

С помощью этого равенств преобразуем выражение (3.37) и запи­шем его в форме

(3.38)

Сумма в правой части выражения (3.38) равна нулю вследствие выполнения уравнений Лагранжа (3.8). Выражение в скобках в левой части формулы (3.38), взятое с обратным знаком, называет­ся обобщенной энергией. Обозначим его буквой :

(3.39).

Равенство (3.38) дает полную производную от обобщенной энергии по времени

(3.40)

Если функция Лагранжа не зависит явно oт времени, то правая часть в формуле (3.40) равна нулю и обобщенная энергия сохра­няется при движении механической системы.

Для обычных механических систем при условии, что формулы преобразования к обобщенным координатам не содержат времени, функция Лагранжа дается формулой (3.26). Найдем в этом случае обобщенную энергию. Для обобщенных импульсов получим

(3.41)

Подставляя этот результат в формулу (3.39), найдем

(3.42)

то есть определение обобщенной энергии в этом случае совпадает с обычным определением механической энергии.

Если на механическую систему действую силы, не имеющие потенциала, то в правой части уравнений Лагранжа стоит уже не нуль. Поэтому сумма в правой части формулы (3.38) не равна нулю, и механическая энергия не будет сохраняться даже при от­сутствии явной зависимости от времени в функции Лагранжа. В частности, если непотенциальные силы являются силами трения, описываемыми диссипативной функцией Рэлея, то уменьшение ме­ханической энергии дается формулой (3.43)

Формула (3.43) получается из соотношения (3.38) при подстановке в него уравнения (3.12). Для механических систем, в которых силы трения могут быть описаны диссипативной функ­цией Рэлея, уравнения Лагранжа имеют вид (3.12)

 

Движение в центральном поле

Вследствие сферической симметрии поля сохраняется вектор момента импульса , определенный относительно центра поля. Так как , то векторы и перпендикулярны посто­янному вектору и, следовательно, всегда лежат в плоскости, перпендикулярной ему. Поэтому вся траектория лежит в этой плоскости и является плоской кривой. Направим ось OZ по век­тору . Тогда траектория будет лежать в плоскости XOY. Выберем в этой плоскости полярную систему координат и функцию Лагранжа запишем в форме:

(4.8)

Координата является циклической. Сопряженный ей обобщен­ный импульс сохраняется:

(4.9)

Согласно формуле (3.34) обобщенный импульс для одной материальной точки

, (3.34)

Этот обобщенный импульс равен проек­ции момента импульса материальной точки на ось OZ. Будем счи­тать, что постоянная М положительна, что соответствует выбору положительного направления оси OZ по положительному напра­влению вектора момента импульса. В этом случае всегда и, следовательно, материальная точка в центральном поле движется так, что угол монотонно растет.

Закон сохранения (4.9) часто формулируется как закон площа­дей. Рассмотрим два положения материальной точки на траекто­рии в два бесконечно близких момента времени, как показано на рис. 4.1. Из рисунка видно, что площадь бесконечно малого секто­ра, ограниченного двумя положениями радиуса-вектора и участ­ком траектории, равна

. (4.10)

Из формул (4.9) и (4.10) находим скорость изменения площади с течением времени. Эта величина называется секторной скоростью и в центральном поле

(4.11)

За равные промежутки времени радиус-вектор материальной точ­ки заметает одинаковые площади. Это утверждение, известное как закон площадей, является другой формулировкой закона сохране­ния момента импульса. Закон площадей выполняется для любого центрального поля.

Так как функция Лагранжа материальной точки в центральном поле не зависит явно от времени, то сохраняется энергия матери­альной точки. В полярных координатах выражение для энергии записывается в форме

(4.12)

Из выражения (4.9) найдем производную и подставим ее в фор­мулу (4.12). В результате получим

(4.13)

где введено понятие эффективной потенциальной энергии , равной

(4.14)

Формула (4.13) для энергии совпадает с формулой для энергии материальной точки, движущейся по радиусу и находящейся в по­тенциальном поле с эффективной потенциальной энергией . Из соотношения (4.13) находим, что

(4.15)

Разделяя в выражении (4.15) переменные и интегрируя его, полу­чим неявную зависимость :

(4.16)

Выражение (4.15) и интеграл (4.16) имеют смысл только тогда, когда подкоренное выражение не отрицательно, то есть когда выполняется неравенство ). Исследование этого неравен­ства позволяет, не вычисляя интеграла, определить области про­странства, в которых возможно движение материальной точки при заданных энергии и моменте импульса . Качественно такое исследование можно провести графическим путем, если построить график зависимости и на том же графике провести прямую . Пример такого построения приведен на рис.. На этом графике условия неравенства выполняются для значений радиуса в пределах . Следовательно, при обра­щении вокруг центра поля материальная точка будет то прибли­жаться к центру на расстояние , то удаляться от него на рассто­яние .

Найдем теперь уравнение траектории. Так как производные и известны, то исключим время путем деления одной производной на другую. В результате получим

(4.17)

Интегрируя выражение (4.17), находим уравнение траектории в полярных координатах:

(4.18)

Интеграл можно вычислить только после задания потенциаль­ной энергии . Если положить , то изменение знака происходит одновременно с измене­нием знака . Знак меняется в точке, где и где, следова­тельно, материальная точка находится на минимальном или максимальном удалении от центра поля. Точки минимального или максимального удаления материальной точки от центра поля на­зываются точками поворота. Таким образом при начало отсчета угла выбрано от прямой, проведенной от центра поля в точку поворота. Поскольку в этом случае одинаковым значени­ям , лежащим по разные стороны от точки поворота, отвечают одинаковые абсолютные значения угла , то траектория матери­альной точки симметрична относительно направления на точку поворота. Если при движении материальная точка уходит на бес­конечность, то траектория состоит из двух симметричных ветвей. При движении без ухода на бесконечность траектория получается многократным отражением участка кривой, расположенного ме­жду положениями и .

 

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Примеры возможных траекторий приведены на рис. 4.3 и рис. 4.4. Угол между положениями и на рис. 4.4 дается формулой

(4.19)

Если при сложении нескольких получится угол, кратный , то материальная точка возвратится на уже пройденный участок траектории и сама траектория будет замкнутой кривой. Условие замкнутости траектории записывается в форме

(4.20)

где — целые числа. Если это условие не выполняется, то траектория будет незамкнутой кривой, расположенной в кольце между окружностями с радиусами и .

Задача Кеплера

Рассмотрим важный случай центрального поля, когда потен­циальная энергия равна (4.21) Силу, действующую на материальную точку, найдем по формуле (4,22), где — единичный вектор, направленный по радиусу. Знак плюс относится к полю отталкивания, когда сила направлена от центра. Знак минус - полю при­тяжения. Для рассматриваемого потенциального поля сила обрат­но пропорциональна квадрату радиуса. Такую зависимость силы от расстояния имеют поле тяготения сферически симметричной массы и электрическое поле точечн. или сферически симметрич­н. заряда.

Ур-ие траектории получим, вычисляя интеграл (4.18). За­пишем его для поля притяжения, выбирая знак минус в (4.21). Положим также постоянную =0 и выберем знак плюс перед интегралом. Такой выбор постоянной и знака перед инте­гралом соответствует выбору оси ОХ в направлении на положение минимального удаления материальной точки от центра. Тогда ин­теграл имеет вид

(4.23) Интеграл (4.23) приводится к табличному интегралу путем заме­ны и выделением полного квадрата под знаком корня. Результат интегрирования можно записать в форме (4.24)

где введены две новые постоянные: параметр и эксцентриситет . Они равны:

; (4.25) Уравнение (4.24) задает в полярных координатах одно из кони­ческих сечений: гиперболу, параболу или эллипс. Начало поляр­ной системы координат совпадает с одним из фокусов гиперболы или эллипса или с фокусом параболы. Вид конического сечения зависит от величины эксцентриситета . При уравнение зада­ет гиперболу. В этом случае положительна энергия материальной точки: (4.26)

Материальная точка, движущаяся по гиперболе, может уйти на бесконечность и будет иметь там ненулевую скорость. При второе слагаемое в (4.26) обращается в 0 и энергия материаль­ной точки равна ее кинетической энергии . Если , то эксцентриситет и уравнение (4.24) задает пара­болу. Материальная точка по-прежнему может уйти на бесконеч­ность, но скорость ее на бесконечности =0. И наконец, при отрицательной энергии материальной точки ее эксцентри­ситет . Тогда уравнение (4.24) описывает эллипс. Движение материальной точки ограничено областью вблизи центра поля.

Если пренебречь взаимодействием планет между собой, то по­лученные для поля притяжения с результаты можно применить к описанию движения планет Солнечной системы. Так как масса Солнца >> массы планет Солнечной системы, то центр поля можно считать совпадающим с центром Солнца, а приведенную массу считать = массе планеты. Из з-на всемирного тяготения имеем . Выразим измеряе­мые астрономами величины ^— большую полуось орбиты и период обращения планеты — через энергию и момент импульса планеты. Из рис. 4.5 траектории планеты видно, что

; (4.27)

Размер большой полуоси эллипса не зависит от момента импульса материальной точки и определяется только ее энергией. Период обращения материальной точки вокруг центра найдем путем инте­грирования соотношения (4.11) закона площадей. За период обра­щения вокруг центра площадь, заметаемая радиусом-вектором ма­териальной точки, равна площади эллипса. Используя значения для и из (4.27), формулу для площади эллипса и закон площадей (4.11), получим

(4.28) Подставляя в (4.28) значения и из формул (4.27), найдем период обращения: (4.29)

Для планет Солнечной системы отношение . Lля них период обращения зависит только от величины большой полуоси орбиты. Эти рез-ты для движения материальной точки по эллипсу в центральном поле в приложении к движению планет Солнечной системы открыты Кеплером. За­коны Кеплера

Закон 1. Планета движется по эллипсу, в одном из фокусов ко­торого находится Солнце.

Закон 2. Площади, заметаемые радиусом-вектором планеты за одинаковые промежутки времени, равны.