Основные свойства определенного интеграла

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

БИЛЕТ11

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл , где непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с равенством . Если 1) 2) и непрерывны на , 3) при изменении z от α до β значения не выходят за пределы отрезка то (5) Доказательство. Пусть –первообразная для функции , то есть . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница (I) Покажем, что функция является первообразной для функции : =[по правилу дифференцирования сложной функции] = Тогда по формуле Ньютона–Лейбница (II) Сравнивая равенства (I) и (II), убеждаемся в справедливости формулы (5). Пример. при x =0 при x = ln 2 =

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид Пример.

БИЛЕТ12

12. Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий.

· Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным интервалом .

· Функция f(x) неограничена в области интегрирования.

Если интервал [a,b] конечный, и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает с значением определённого интеграла.

Несобственные интегралы I рода

Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:

1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.

2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:

1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.

2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Если функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры

 

 

 

БИЛЕТ13

Несобственный интеграл второго рода

Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

Несобственным интегралом второго рода назовём определенный интеграл

значение которого равняется левостороннему пределу

БИЛЕТ14

14. Признаки сходимости несобственных интегралов

Первая теорема сравнения

 

Если на то из сходимости следует сходимость,

Вторая теорема сравнения

 

Если то при интегралы и или оба сходятся, или оба расходятся.

При из сходимости следует сходимость

При из сходимости следует сходимость

Степенной признак

 

Если при то при интеграл сходится,

Признак Абеля

 

Если сходится, а g монотонна и ограничена на то сходится.

Признак Дирихле

 

Если f имеет ограниченную первообразную на а g монотонно стремится к нулю при сходится.

БИЛЕТ15