Операции над нечеткими числами

Целый раздел теории нечетких множеств – мягкие вычисления (нечеткая арифметика) - вводит набор операций над нечеткими числами. Эти операции вводятся через операции над функциями принадлежности на основе так называемого сегментного принципа.

Определим уровень принадлежности a как ординату функции принадлежности нечеткого числа. Тогда пересечение функции принадлежности с нечетким числом дает пару значений, которые принято называть границами интервала достоверности.

Зададимся фиксированным уровнем принадлежности a и определим соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам и : [a₁, a₂] и [b₁, b₂], соответственно. Тогда основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь, выражаются через операции с действительными числами - границами интервалов:

 

· операция "сложения":

 

[a₁, a₂] (+) [b₁, b₂] = [a₁ + b₁, a₂ + b₂], (2)

 

· операция "вычитания":

 

[a₁, a₂] (-) [b₁, b₂] = [a₁ - b₂, a₂ - b₁], (3)

 

· операция "умножения":

 

[a₁, a₂] (´) [b₁, b₂] = [a₁ ´ b₁, a₂ ´ b₂], (4)

 

· операция "деления":

 

[a₁, a₂] (/) [b₁, b₂] = [a₁ / b₂, a₂ / b₁], (5)

 

· операция "возведения в степень":

 

[a₁, a₂] (^) i = [a₁ⁱ, a₂ⁱ]. (6)

 

Из существа операций с трапезоидными числами можно сделать ряд важных утверждений (без доказательства):

· действительное число есть частный случай треугольного нечеткого числа;

· сумма треугольных чисел есть треугольное число;

· треугольное (трапезоидное) число, умноженное на действительное число, есть треугольное (трапезоидное) число;

· сумма трапезоидных чисел есть трапезоидное число;

· сумма треугольного и трапезоидного чисел есть трапезоидное число.

Анализируя свойства нелинейных операций с нечеткими числами (например, деления), исследователи приходят к выводу, что форма функций принадлежности результирующих нечетких чисел часто близка к треугольной. Это позволяет аппроксимировать результат, приводя его к треугольному виду. И, если приводимость налицо, тогда операции с треугольными числами сводятся к операциям с абсциссами вершин их функций принадлежности.

То есть, если мы вводим описание треугольного числа набором абсцисс вершин (a, b, c), то можно записать:

(a₁, b₁, c₁) + (a₂, b₂, c₂) º (a₁ + a₂, b₁ + b₂, c₁ + c₂) (7)

 

Это – самое распространенное правило мягких вычислений.

 

 

Примеры задач по нечетким множествам.

 

Вариант 1

Найдите сумму, разность, произведение, частное двух нечетких треугольных чисел A=(1,4,6), B=(3,6,9).

 

Вариант 2.

Решить уравнение (А-В)*х³ = С.

А = (4,7,9), В=(2,2,5,8), С=(2,4,7).

 

Вариант 3.

Найдите сумму, разность, произведение, частное треугольного числа A=(3,6,7) и трапезоидного числа B=(1,3,5,11).

 

Вариант 4.

Задать нечеткое множество соответствующее терму: «люди среднего возраста» и «не студенты». Построить график этой функции принадлежности.

 

Вариант 5.

Задать нечеткое множество соответствующее терму: «число очень близкое к 2» и «далекое от 5». Построить график этой функции принадлежности.

 

Вариант 6.

Решить уравнение (А+В)*х² = С.

А = (1,3,4), В=(2,2,5,8), С=(2,4,7).

 

Вариант 7.

Задать нечеткое множество соответствующее терму: «заработок близкий к 10 т.р.» и «заработок далекий от прожиточного минимума». Построить график этой функции принадлежности

 

Вариант 8.

Задать нечеткое множество соответствующее терму: «число достаточно близкое к 4» и «далекое от 10». Построить график этой функции принадлежности.

 

Метод анализа иерархий

 

Оценку вариантов решений методом анализа иерархий покажем на иллюстративном примере «Переправа через реку».

1. Требуется определить: оставить на реке паромную переправу или вместо нее построить мост или туннель.

2. Возможные решения оцениваются по трем критериям: экономическому, социальному, и экологическому. Каждый критерий оценивается по критериям низкого уровня.

3. Структурный граф процесса принятия решения с указанием уровня иерархий и оценками + и -, указывающими, способствует или препятствует данный фактор решению задачи, показан на рис.1 Возможные варианты решений определены в постановке задачи.

4. Значения критериев первого уровня показаны в табл. 1.а и 1.б.

 

Таблица 1.a

Критерий	Дуга	оценка
Экономический	AB1	Очень важно
Социальный	AB2	Важно
Социальный	AB2	Важно
Экологический	AB3	Имеют некоторое значение

 

Таблица 1.b

Критерий	Дуга	оценка	Критерий	Дуга
Экономический	AB1	Важнее чем	Социальный	AB2
Экономический	AB1	Существенно важнее чем	экологический	AB3
Экономический	AB1	Существенно важнее чем	экологический	AB3
Социальный	AB2	Важнее чем	экологический	AB3

 

Не будем обсуждать, каким образом получены значения «весов» критериев. Будем считать, что ЛПР (лицо, принимающее решения) определили их и ввел в систему поддержки принятия решений в соответствии со своими предпочтениями.

Таблица2.

A эквивалентно В	А и В одинаково важны
А несколько предпочтительней В	А важнее В
А существенно предпочтительнее В	А существенно важнее В
А очень сильно предпочтительнее В	А значительно важнее В
А несравненно предпочтительнее В	А несравненно важнее В
А и В одинаковы	А и В одинаковы
А слегка лучше В	А слегка хуже В
А лучше В	А хуже Б
А значительно лучше В	А несравненно хуже В
А несравненно лучше Б	А несравненно хуже в

 

Таблица 3.

Степень разрушения	Значения ЛП	mA (ui)
Отлично	Очень слабый
Хорошо	Слабый	0.25
удовлетворительно	Средний	0.5
Плохо	Сильный	0.75
Очень плохо	Очень сильный

 

Таблица 4.

Критерий	Дуга	оценка	Критерий	Дуга
доходы	В1С1	Одинаково важно	капиталовложения	В1С2
доходы	В1С1	Значительно важно	Экономия времени водителя	В1С3
доходы	В1С1	Несравненно важнее	Развитие торговли по месту	В1С4
капиталовложения	В1С2	Значительно важнее	Экономия времени водителя	В1С3
капиталовложения	В1С2	Несравненно важнее	Развитие торговли	В1С4
Экономия времени водителя	В1С3	Значительно важнее	Развитие торговли по месту	В1С4

 

Необходимо сопоставить предпочтения ЛПР на последнем уровне.

Обозначим все пути, в частности, дуги l_ij через p(l_ij). Для таблиц типа 10.1.a

p(l_ij) = (1)

для таблицы 1.a m_A (AB1)=1, m_A (AB2)=0.75, m_A (AB3)=0.25. Система поддержки принятия решений находит p(АВ1)=0.5, p(АВ2)=0.36, p(АВ3)=0.13.

Определение веса критерия, когда производится попарное сравнение весов (значимости) различных критериев, так ка это сделано в табл. 1.b, 5, 2. Сложность заключается в несогласованности оценок. Самым точным методом является нахождение главного собственного вектора матрицы, который после нормализации становится вектором приоритетов. Рассмотрим более простой метод. Представим количественные сравнения пар объектов матрицей А=(а_ij), (i,j =1,2,…..,n), где а_ij показывает оценку отношения между i-м и j-м объектами. Элементы матрицы обладают следующими свойствами: если а_ij=b, то а_ji=1/b, a_ii=1. Суммируем элементы каждой строки и нормализуем делением каждой суммы на сумму элементов. Сумма полученных результатов будет равна 1. Первый элемент результирующего вектора будет весом приоритета первого объекта, второй – второго и т.д. Так как это показано в таблице 6, при использовании табл. 1.b и значений лингвистических переменных табл.7.

 

Рис. 1

Таблица 5.

Критерии	Дуги	Знаки	Оценки
Доход от моста	C1D1	+	Хорошо
Доход от туннеля	C1D2	+	Отлично
Доход от парома	C1D3	+	Плохо
Капиталовложения в мост	C2D1	+ (-)	Плохо
Капиталовложения в туннель	C2D2	+ (-)	Очень плохо
Капиталовложения в паром	C2D3	+	Отлично
Экономия времени шофера от моста	C3D1	+	Отлично
Экономия времени шофера от переправы	C3D2	+	Хорошо
Экономия времени шофера от парома	C3D3	+	Очень плохо
Развитие торговли на мосту	C4D1	+	Отлично
Развитие торговли в туннеле	C4D2	+	Очень плохо
Развитие торговли на пароме	C4D3	+	Плохо
Новые рабочие места при строительстве моста	C5D1	+	Удовлетворительно
Новые рабочие места при строительстве туннеля	C5D2	+	Хорошо
Новые рабочие места при существующем пароме	C5D3	+	Очень хорошо
Раскол общины от строительства моста	C6D1	-	Сильно
Раскол общины от строительства туннеля	C6D2	-	Сильно
Раскол общины при существующем пароме	C6D3	-	Слабо
Изменение стиля жизни при стр-ве моста	C7D1	-	Сильно
Изменение стиля жизни при стр-ве туннеля	C7D2	-	Очень сильно
Изменение стиля при существующем пароме	C7D3	-	Очень слабо
Загрязнение воды от моста	C8D1	-	Сильно
Загрязнение воды от туннеля	C8D2	-	Средне
Загрязнение воды от парома	C8D3	-	Средне
Повышение загазованности при движении машин на мосту	C9D1	-	Сильно
Повышение загазованности при движении по туннелю	C9D2	-	Средне
Повышение загазованности при движении машин по парому	C9D3	-	Слабо

 

Таблица 6.

	AB1	AB2	AB3	S	Веса приоритетов p
AB1					0.53
AB2	½			3.5	0.31
AB3	1/3	½		1.83	0.15

 

Таблица 7.

Значения лингвистических переменных	mA (ui)
a эквивалентно b	a и b одинаково важны
a несколько предпочтительнее b	a важнее b
a существенно предпочтительнее b	a существенно важнее b
a очень сильно предпочтительнее b	a значительно важнее b
a несравненно предпочтительнее b	a несравненно важнее b

 

p(АВ1)=0.53, p(АВ2)=0.31, p(АВ3)=0.15.

 

Аналогично СППР находит веса приоритетов второго уровня. p(В1С1)=0.38, p(В1С2)=0.38, p(B1C3)=0.19; p(В1C4)=0.5,

p(B2C5)=0.61, p(В2C6)=0.19, p(В2C7)=0.20, p(В3C8)=0.8,

p(В3C9)=0.2.

 

Таблица 8.

Критерий	Дуга	Оценка	Критерий
Рабочие места	B2C6	Значительно важнее	Раскол общины
Рабочие места	B2C5	Важнее	Изменение стиля
Раскол общины	B2C6	Одинаково важно	Изменение стиля жизни

 

Таблица 9.

Критерий	Дуга	Оценка	Критерий
Загрязнение воды	B3C8	Значительно важнее	Повышение загазованности

 

Таблица 10.

	B1C1	B1C2	B1C3	B1C4	Веса приоритетов
B1C1					0.38
B1C2					0.38
B1C3	¼	¼			0.19
B1C4	1/5	1/5	¼		0.05

 

Таблица 11.

	B2C5	B2C6	B2C7	Веса приоритетов
B2C5				0.61
B2С6	¼			0.19
B2C7	½			0.20

 

Таблица 12.

	B3C8	B3C9	Веса приоритетов
B3C8			0.8
B3C9	¼		0.2

 

Веса приоритетов второго уровня в графе являются уточнением влияния соответствующих факторов на принятие решения. Но они представляют интерес только с учетом весов первого уровня. Для нахождения весов путей, состоящих из дуг превого и второго уровней надо умножить вес дуги первого уровня на веса примыкающих к ней дуг второго уровня. Т.о. вес пути из дуг первого и второго уровней:

p(l_1i, l_ij) = p(l_1i) ´ p(l_ij),

где l_{1i –} дуга первого уровня, l_ij – дуга второго уровня (i=1,….,n), (j=1,…..,m).

Аналогично рассчитываются веса дуг следующих уровней.

p(AB1C1)= p(AB1)´ p(B1C1) = 0.53´0.38=0.20

p(AB1C2)= p(AB1)´ p(B1C2) = 0.53´0.38=0.20

p(AB1C3)= p(AB1)´ p(B1C3) = 0.53´0.19=0.10

p(AB1C4)= p(AB1)´ p(B1C4) = 0.53´0.05=0.03

p(AB2C5)= p(AB2)´ p(B2C5) = 0.31´0.61=0.19

p(AB2C6)= p(AB2)´ p(B2C6) = 0.31´0.19=0.06

p(AB2C7)= p(AB2)´ p(B2C7) = 0.31´0.21=0.07

p(AB3C8)= p(AB3)´ p(B3C8) = 0.15´0.8=0.12

p(AB3C9)= p(AB3)´ p(B3C9) = 0.15´0.2=0.03

 

Оценка решений есть результат умножения матрицы весов дуг последнего уровня на вектор весов приоритетов вершин предпоследнего уровня графа.

 

= ,

 

где p(l_ij) – вес дуги, связывающей вершину i с вершиной последующего уровня j, p(l_1r, l_rj) –вес дуги, оканчивающейся в j-ой вершине предпоследнего уровня графа, фактически вес пути в графе, начинающийся с исходной вершины и кончающийся в j-ой вершине предпоследнего уровня. c(Dp) – вес p-ой конечной вершины (p-го варианта решения).

Если эксперту удалось свести задачу выбора лучшего решения к иерархической, то можно использовать описанный метод.

3.7 Задания для самостоятельного решения

Вариант 1

Отдел кадров сузил поиск будущего сотрудника до трех кандидатур: Сергей (S), Женя (J) и Михаил (M). Конечный отбор основан на трех критериях: собеседование (С), опыт работы (О) и рекомендации (Р). Отдел кадров использует матрицу А (приведенную ниже для сравнения трех критериев. После проведен собеседования с тремя претендентами, сбор данных относящихся к опыту их работы и рекомендациям. Построены матрицы А_с, А_о и А_р. Кого из трех кандидатов следует принять на работу? Оценить согласованность данных.

Ар	C	Ж	M
С		1/2
Ж			1/2
M

Ао	С	Ж	M
С		1/3
Ж			½
M	1/2

Ас	С	Ж	M
С
Ж	1/3		1/5
M	1/4

А	С	О	Р
С			1/4
О	1/2		1/5
Р

Вариант 2

Костя и Динара Печкины (К и Д) покупают новый дом. Рассматриваются три варианта А, В, С. Печкины согласовали два критерия для выбора дома: площадь зеленой лужайки (Л) и близость к месту работы (Б), а также разработали матрицы сравнений, приведенные ниже. Необходимо оценить три дома в порядке их приоритета и вычислить коэффициент согласованности каждой матрицы.

 

Ак	Л	Б
Л		1/3
Б

 

Ад	Л	Б
Л
Б	¼

 

 

Акл	А	В	С
А
В	½
С	1/3	½

 

A	К	Д
К
Д	½

 

Адл	А	В	С
А
В	¼
С	½	1/3

 

 

Акб	А	В	С
А			½
В	½		1/3
С

Адб	А	В	С
А		½
В
С	¼	1/3

Вариант 3

Найти веса распределения энергии для нескольких крупных потребителей в соответствии с их общим вкладом в различные цели общества.

Есть три крупных потребителя США: Бытовое потребление (С1), Транспорт (С2) и промышленность (С3). Они составляют низший уровень иерархии. Целями, по отношению к которым оцениваются потребителя, являются: вклад в развитие экономики, вклад в качество окружающей среды и вклад в национальную безопасность. Они составляют торой уровень. Матрицы попарных сравнений приведены ниже.

 

 

	Развитие экономики	Окружающая среда	Национальная безопасность
Развитие экономики
Окружающая среда	1/5		3/5
Национальная безопасность	1/3	5/3

 

 

Э	С1	С2	С3
С1
С2	1/3
С3	1/5	1/2

 

 

ОС	С1	С2	С3
С1
С2	1/2
С3	1/7	1/5

 

НБ	С1	С2	С3
С1
С2	1/2
С3	1/3	1/2

 

 

Вариант 4

На первом уровне иерархии: Общий вклад в развитие

На втором уровне – Железо (Ж), медь (М), фосфаты (Ф).

На третьем уровне: Величина ресурса (ВР), Стоимость добычи (СД), Риск (Р).

 

Ж	ВР	СД	Р
ВР
СД	1/3
Р	½	1/3

 

Ф	ВР	СД	Р
ВР
СД	1/3
Р	1/7	1/5

 

 

Общ. вклад	Ж	М	Ф
Ж
М	½
Ф	1/5	1/3

 

М	ВР	СД	Р
ВР
СД	1/3
Р	½	1/3

 

Определить веса элементов третьего уровня.

 

Вариант 5

На первом уровне иерархии: Влияние в мире

На втором уровне – Людские ресурсы (ЛР), Благосостояние (Б), Технология (Т), Военная мощь (ВМ).

На третьем уровне: США, СССР, Китай.

 

Влияние в мире	Людские ресурсы	Благосостояние	Технология	Военная мощь
Людские ресурсы		1/5	1/5
Благосостояние
Технология		1/3
Военная мощь			1/3

 

ЛР	США	СССР	Китай
США		1/3	1/7
СССР			1/3
Китай

 

 

Б	США	СССР	Китай
США
СССР	1/3
Китай	1/7	1/3

 

 

ВМ	США	СССР	Китай
США
СССР	1/3
Китай	1/5	1/5

 

 

Т	США	СССР	Китай
США
СССР	1/3		1/3
Китай	1/7

 

Вариант 6

 

Аттестация преподавателей в высшей школе.

Первый уровень – Аттестация.

Второй уровень – Исследовательская работа (ИР), Преподавание (П).

Третий уровень (Исследовательская работа) – Качество (К), Разнообразие (Р), Количество научных трудов (НТ), важность работы (ВР). Третий уровень (Преподавание) – Доходчивость (Д), Требовательность (Т), Правдивость (ПР).

 

П	Д	Т	ПР
Д
Т	1/5
ПР	1/7	1\2

 

 

А	ИР	П
ИР		1/3
П

 

 

ИР	К	Р	НТ	ВР
К
Р	1/5
НТ		1/3
ВР	1\5	1/5	1/3

Вариант 7

Переправа через реку

Первый уровень – Выгоды переправы через реку.

Второй уровень – Экономические (Э), Социальные (С), Окружающая среда (ОС).

Третьий уровень – относятся к экономическим: Время (В), Доход (Д), Торговля (Т).

К социальным: Безопасность (Б), Связи (СВ). К окружающей среде – комфорт (КО), Доступность (ДС).

Четвертый уровень – Мост (М), Туннель (ТУ), существующий паром (П).

 

Выгоды	Э	С	ОС
Э		1/3
С
ОС	1/3	1/3

 

 

Э	В	Д	Т
В		1/3
Д
Т	1/2	1/3

 

ОС	КО	ДС
КО		1/2
ДС

 

 

В	Мост	ТУ	П
Мост
ТУ
П	1/7	1/7

 

 

Б	Мост	ТУ	П
Мост
ТУ
П	1/5	1/5

 

 

Т	Мост	ТУ	П
Мост
ТУ	1\3
П	1/7	1/5

 

 

Д	Мост	ТУ	П
Мост			1/2
ТУ	1/2
П		1/3

СВ	Мост	ТУ	П
Мост
ТУ
П	1/7	1/7

С	Б	СВ
Б		1/3
СВ

КО	Мост	ТУ	П
Мост		1/2
ТУ
П	1/5	1/7

ДС	Мост	ТУ	П
Мост
ТУ
П	1/7	1/7

Вариант 8

Переправа через реку (2-я часть)

Первый уровень - издержки пересечения реки.

Второй уровень - Экономические (Э), Социальные (С), Окружающая среда (ОС).

Третий уровень - относятся к экономическим: Капиталовложения (К), Эксплуатация и текущий ремонт (ЭТР), Прекращение паромного бизнеса (ППБ).

К социальным: Изменение стиля жизни (ИСЖ), Раскол людей (РЛ). К окружающей среде – Загазованность (З), Загрязнение воды (ЗВ).

 

Издержки	Э	С	ОС
Э
С	1/5
ОС	1/7	1/3

 

С	ИСЖ	РЛ
ИСЖ		1/3
РЛ

 

Э	К	ЭТР
К		1/3
ЭТР

 

ОС	З	ЗВ
З		1/2
ЗВ

 

К	Мост	ТУ	П
Мост
ТУ
П	1/7	1/7

 

 

ЭТР	Мост	ТУ	П
Мост			1/3
ТУ	1/2
П		1/3

 

ИСЖ	Мост	ТУ	П
Мост
ТУ	1/3
П	1/7	1/5

 

 

РЛ	Мост	ТУ	П
Мост
ТУ
П	1/5	1/5

 

З	Мост	ТУ	П
Мост
ТУ
П	1/7	1/7

 

ЗВ	Мост	ТУ	П
Мост		1/2
ТУ
П	1/5	1/7

Вариант 9

Первый уровень - Качество жизни городского населения.

Второй уровень – Уровень жизни (УР), Условия жизни (УС).

Третий уровень – К уровню жизни относятся: Доходы населения (Дх), Социальное обеспечение (СО), Жилищные условия (Жу), Образование (Об), Здравоохранение (Зд); к Условиям жизни: Здравоохранение (Зд), Санитарные условия (Су), Условия для проведения досуга (Уд), Состояние транспорта (Тр), Экология (Эк), Психологическое состояние населения (Пх).

 

 

Какой из приведенных ниже факторов в наибольшей степени оказывает влияние на уровень жизни
Уровень жизни	Жилищные условия	Образование	Здравоохранение	Социальное обеспечение	Доходы населения
Жилищные условия
Образование	½
Здравоохранение	1/3	½
Социальное обеспечение	¼	1/3	½
Доходы населения	1/7	1/9	1/5	1/3

Какой из приведенных ниже факторов в наибольшей степени оказывает влияние на условия жизни
условия жизни	Санитарные условия	Психологическое состояние населения	Здравоохранение	Условия для проведения досуга	Экология	Состояние транспорта
Санитарные условия
Психологическое состояние населения	½
Здравоохранение	½	1\3
Условия для проведения досуга	1\4	¼	1/3
Экология	1/4	1/5	1/3	1/2
Состояние транспорта	1/5	1/8	1/4	1/3	1/2

Вариант 10

На первом уровне – благосостояние страны.

Второй уровень – Сильная экономика (Э), Благосостояние (Б), Национальная оборона (НО).

Третий уровень – Тяжелая промышленность (ТП), Легкая промышленность (ЛП), Сельское хозяйство (СХ).

 

Благосостояние	Э	Б	НО
Э
Б	1/3
НО	1/3	1/2

Б	ТП	ЛП	СХ
ТП		1/3
ЛП
СХ	1/3	1/4

Э	ТП	ЛП	СХ
ТП
ЛП	1/5
СХ	1/7	1/3

НО	ТП	ЛП	СХ
ТП
ЛП	1/3
СХ	1/5	1/7

Определить веса отраслей промышленности по влиянии. На благосостояние этой страны.

4. Оптимальный объем заказа

 

Основной вопрос управления запасами заключается в определении товарного запаса на складе, чтобы минимизировать издержки по управлению запасами и обеспечить достойный уровень обслуживания клиента? Он разделяется на две части:

Как сделать издержки управления запасами минимальными при заданном (постоянном или непостоянном, но известном) спросе?

Как оценить риск возникновения дефицита на складе с учетом случайных вариаций реального спроса? Сколько нужно платить за содержание необходимого резервного запаса для того, чтобы снизить риск возникновения дефицита до приемлемого уровня и обеспечить достойный уровень обслуживания клиентов?

Основная идея теории оптимального управления запасами состоит в том, чтобы разделить издержки на переменные и постоянные. Оказывается, что эти две группы издержек по-разному зависят от размера заказа и уровня запаса товара на складе.

Переменные издержки- издержки хранения. Данные издержки должны быть прямо пропорциональны количеству единиц хранимых запасов и стоимости единицы запаса. Основную часть этих издержек составляют упущенные возможности при альтернативном использовании капитала, «замороженного» в запасах. Каждая область бизнеса характеризуется своей требуемой нормой доходности. Капитал, вложенный в этот бизнес, в среднем (по стране, региону, городу) должен давать определенный процент дохода ежегодно. Капитал, вложенный в запасы, такого процента не дает. Следовательно, неполученный процент – это издержка хранения. Если товар приобретен в кредит, то за этот кредит нужно платить проценты, что опять-таки составляет издержки хранения. При цивилизованном ведении бизнеса, товар должен быть застрахован и подлежит налогообложению. Страховка и налог на запас также составляет определенный процент от стоимости товара и также входит в издержки хранения. Перечисленные издержки строго пропорциональны стоимости запасов. Поэтому их удобно задавать в расчете на единицу запаса в год.

Постоянные издержки - издержки по запуску новой партии продукции - (производство) или затраты на формирование и оформление заказа - (торговля). Эти издержки не зависят от величины предполагаемой партии продукции (заказа).