Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.

Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.

Определение. Линейным (векторным) пространством над полем Р называется множество V элементов произвольной природы, в котором заданы две операции: внутренняя – сложение, и внешняя – умножение на числа из Р, причем эти операции удовлетворяют следующим аксиомам.

1*. – коммутативность сложения.

2*. – ассоциативность сложения.

3*. существование нейтрального элемента).

4*. – существование противоположного элемента.

5*. .

6*. .

7*. .

8*. .

Если P = R, то линейное пространство называется действительным, если Р = С, то комплексным.

Простейшие следствия из аксиом.

Линейное пространство впредь будем обозначать буквой V.

1º. В линейном пространстве существует единственный нейтральный элемент.

► Предположим, что в некотором линейном пространстве есть два нейтральных элемента: и . Тогда

Итак, мы пришли к противоречию.◄

2º. В линейном пространстве, каждый элемент имеет единственный противоположный.

►Предположим, что некоторый элемент имеет два различных противоположных: и , т. е. . Получаем

–

опять пришли к противоречию.◄

3º.

► ◄

Замечание. При доказательстве следствий можно использовать либо аксиомы, либо уже доказанные следствия.

4º.

►

Таким образом, – противоположный к . Поэтому на основании 2-го следствия ◄

5º.

► ◄

6º. В линейном пространстве из равенства вытекает: либо , либо .

►а) – утверждение верно.

б) Тогда имеем:

◄

 

Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.

Определение. Система элементов

(3.1)

линейного пространства над полем Р называется линейно зависимой, если существуют числа из поля Р, не все равные 0, такие что

. (3.2)

Система (3.1) называется линейно независимой, если равенство (3.2) выполняется только в том случае, когда

, (3.3)

т. е. когда из равенства (3.2) вытекает (3.3).

 

Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.

 

Определение.Базисом линейного пространства V над полем Р называется упорядоченная система

(3.18)

элементов этого пространства, удовлетворяющая следующим условиям:

1) , такие, что

(3.19)

2) система (3.18) линейно независима.

Если система (3.18) удовлетворяет только одному первому условию, то она называется системой образующих линейного пространства V. Таким образом, базис линейного пространства – это его линейно независимая система образующих.

Числа в равенстве (3.19) называются координатами вектора в базисе (3.18), а само равенство (3.19) – разложением вектора по базису (3.18). Таким образом, координаты вектора в данном базисе – это коэффициенты в разложении этого вектора по базису.

 

Свойства координат векторов

 

1º. Если все координаты вектора в некотором базисе равны нулю, то этот вектор – нулевой.

►Доказательство очевидным образом вытекает из аксиом линейного пространства и следствий к ним: . ◄

2º. Все координаты нулевого вектора в любом из базисов равны нулю.

►Пусть

() – (3.22) базис линейного пространства ;

(3.23)

разложение нулевого вектора по базису (3.22). В силу линейной независимости (3.22) из (3.23) вытекает, что . ◄

3º. Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно.

►Пусть некоторый вектор в базисе (3.22) имеет два разных набора координат: и . Тогда

() =

= [аксиомы 1*, 2* и 6* из определения линейного пространства] =

= (3.24)

Равенство (3.24) – это разложение по базису (3.22) нулевого вектора, и поэтому все коэффициенты разложения равны нулю, следовательно, , что противоречит условию. ◄

4º. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

► Пусть заданы векторы своими координатами в базисе (3.22) и пусть Тогда

(3.25)

Равенство (3.25) – это разложение вектора по базису (3.22), следовательно, коэффициенты разложения – координаты вектора в базисе (3.22). В силу единственности координат вектора в данном базисе получаем: ◄

5º. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Свойство доказывается точно так же, как и предыдущее, это вы можете сделать самостоятельно.

Следствие. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же (с такими же коэффициентами) линейным комбинациям соответствующих координат слагаемых, т. е. если и то

 

Свойства матрицы перехода

1º. Матрица перехода от одного базиса к другому определяется однозначно.

►Вытекает из того, что она состоит из координатных столбцов векторов одного базиса в другом.◄

2º. Матрица перехода всегда невырождена.

►На основании матричного критерия линейной независимости.◄

3º. Если Т – невырожденная квадратная матрица n -го порядка и

– (3.46)

некоторый базис пространства , то в существует базис

(3.47)

такой, что Т – матрица перехода от (3.46) к (3.47).

►Пусть Положим (т. е. – вектор, чей координатный столбец в базисе (3.46) совпадает с i -м столбцом матрицы Т). Тогда (3.47) – линейно независимая система на основании матричного критерия, а значит, в является базисом. Из определения матрицы перехода вытекает, что Т – матрица перехода от (3.46) к (3.47).◄

4º. Матрица перехода от базиса к нему самому является единичной.

►Доказательство вытекает из равенства .◄

5º. Если Т – матрица перехода от базиса (3.46) к базису (3.47),а - матрица перехода от (3.47) к базису

, (3.48)

то матрицей перехода от (3.46) к (3.48) является матрица

►Действительно, , , и поэтому . Утверждение вытекает из определения матрицы перехода.◄

6º. Если Т – матрица перехода от (3.46) к (3.47), то матрицей перехода от (3.47) к (3.46) является

►(3.45) , и утверждение опять вытекает из определения матрицы перехода.◄

Замечание. По аналогии с равенством (3.44) естественно записать равенство , и поэтому элементы матрицы перехода от (3.47) к (3.46) естественно обозначать . Учитывая, что эта матрица есть не что иное, как получаем: Так как и то и

 

Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.

Определение. Линейным (векторным) пространством над полем Р называется множество V элементов произвольной природы, в котором заданы две операции: внутренняя – сложение, и внешняя – умножение на числа из Р, причем эти операции удовлетворяют следующим аксиомам.

1*. – коммутативность сложения.

2*. – ассоциативность сложения.

3*. существование нейтрального элемента).

4*. – существование противоположного элемента.

5*. .

6*. .

7*. .

8*. .

Если P = R, то линейное пространство называется действительным, если Р = С, то комплексным.