Распределение касательных напряжений по высоте различных сечений

A = hb прямоугольное

 

круговое

 

A = A^D-A^d

 

Главные напряжения при изгибе

Для плоского напряженного состояния главные напряжения вычисляются по формуле:

 

Положение площадок, по которым действуют главные напряжения вычисляются по формуле:

 

Т.к. напряжения τ и σ пропорциональны M и Q, то максимальные главные напряжения возникают в сечениях, где М и Q одновременно имеют максимальные значения

 

Расчет на прочность при изгибе

Подавляющим в большинстве случаев нормальные напряжения больше касательных, поэтому основная проверка на прочность – проверка по нормальным напряжениям.

1) Проверка прочности

основная формула при расчете на прочность при изгибе

 

Если материал не одинаково сопротивляется растяжению (сжатию) то, проверку прочности следует производить отдельно для каждой зоны

при растяжении

при сжатии

 

2) Подбор сечения

зная момент сопротивления и форму поперечного сечения можно определить его размеры

 

3) Определение нагрузки

Если в балке пролет незначителен, то следует провести дополнительную проверку по касательным иглавным напряжениям.

 

4) Проверка прочности по касательным напряжениям

 

5) Проверка прочности по главным напряжениям

Проверка по главным напряжениям делается в сечении, где Qy и Mz имеют одинаково большие значения

 

Дифференциальное уравнение упругой линии

Перемещение центра тяжести сечения в направлении перпендикулярном оси балки называется прогибом и обозначается υ_max

Изогнутая ось балки – это стрела прогиба, называется упругой линией

Углом поворота сечения (θ) называется угол на который поворачивается сечение относительно первоначального положения

 

Система координат принимается следующая: начало координат находится в крайнем левом сечении, ось иксов направлена вдоль оси стержня, ось у перпендикулярна ей.

Прогиб балки положителен, если перемещение происходит вверх вдоль оси стержня.

основное дифференциальное уравнение упругой линии при малых перемещениях

 

Метод непосредственного интегрирования. Граничные условия

Используя обе части уравнения, получим формулу для определения углов поворот сечения

Интегрируя еще раз получим формулу для определения прогибов

Где С и D –произвольные постоянные, определяемые из граничных условий:

υ_A = 0 υ_A = υ_B = 0

θ_A= 0 θ_A ≠ 0

θ_B ≠ 0

граничные условия: граничные условия:

при х = 0 υ_A = 0 при х = 0 υ_A = 0

при х = 0 θ_A= 0 при х = l υ_B = 0

 

Метод начальных параметров

Недостатком метода непосредственного интегрирования является необходимость определения большого количества произвольных постоянных.

Если балка имеет n-участков, то необходимо составить и решить систему 2n алгебраических уравнений.

В методе начальных параметров независимо от количества участков, следует определить 2 произвольные постоянные.

Е – модуль упругости

I_z – момент инерции относительно Оz

υ – прогиб в рассматриваемой точке

начальные параметры:

υ₀ – начальный прогиб

θ_о – начальный угол поворота

х – расстояние от начала балки до рассматриваемого сечения

 

Постоянные интегрирования имеют здесь простой смысл: это начальные (при x = 0) значения искомой функции и ее производные. Поэтому, метод интегрирования дифференциальных уравнений, основанный на формуле, и широко применяемый в строительной механике, называется методом начальных параметров.

Согласно метода начальных параметров, балка разбивается на участки. Подставив (12.38) в (12.39), получим функцию прогибов на I участке балки:

Метод конечных разностей

Прогибы простейших балок

 

 

С жесткой заделкой:

Слева – заделка; справа – сила, направленная вниз; прогиб – плавно переходит с 0 в заделке к силе.

 

Слева – заделка; на всем протяжении – равномерно-распределенная нагрузка; прогиб как с силой – плавный переход вниз.

 

Рациональные сечения балок

Рациональным называется сечение, имеющее наибольшую прочность и экономичность.

При изгибе наибольшие нормальные напряжения возникают в местах наиболее удаленных от оси z.

Чем ближе к Оz, тем нормальные напряжения меньше, а на самой оси они равны нулю

Так и с материалом: его наибольшее количество должно быть сосредоточено намного меньше.

Таким образом было получено двутавровое поперечное сечение, в котором служат для восприятия нормальных напряжений, а стенка служит для соединения полок и восприятия касательных напряжений, возникающих под действием поперечных сил.

 

Балка равного сопротивления

БРС называется балка поперечного сечения, у которой максимальные напряжения во всех сечениях одинаковы и равны допускаемым

 

Форма БРС определяется из формулы:

 

Сдвиг (срез). Основные понятия

Сдвиг (срез) – вид напряженно-деформированного состояния, при котором в поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор.

На сдвиг(срез) рассчитывают сварные болтовые соединения и т.д.

При сдвиге в сечении возникают касательные напряжения

Q – поперечная сила; А – площадь поперечного сечения