Уравнения динамики и динамические характеристики устойчивых и нейтральных объектов с запаздыванием

Автоматические регуляторы (АР). Определение

Автоматическим регулятором называется устройство, обеспечивающее в системах автоматического регулирования поддержание технологической величины объекта, характеризующей протекание в нем процесса около заданного значения путем воздействия на объект. Заданное значение может иметь постоянную величину (в системах стабилизации) или изменятся по определенной программе (в системах программного регулирования).

Структурная схема регулятора может быть пред­ставлена как совокупность двух элементов (рис1): элемен­та сравнения 1 и элемента 2, формирующего алгоритм (за­кон) регулирования.

Рис. 1. Структурная схема регулятора

На элемент сравнения 1 поступают два сигнала у и
yзд пропорциональные, соответственно, текущему и заданному значениям регулируемой величины. Сигнал у формируется измерительным преобразователем, а сигнал узд задатчиком или программным устройством.

Сигнал рассогласования ε = y-yзд

поступает в элемент 2, который вырабатывает выходной сигнал регулятора, направляемый на исполнительное устройство.

Классификация АР по наличию и виду подводимой энергии, регулируемой величине, характеру действия, характеру регулирующего воздействия, закону регулирования

По наличию подводимой энергии:

• АР прямого действия,

• АР непрямого действия.

У АР прямого действия для срабатывания регулирующего органа исполнительных устройств используется энергия технологического потока. У АР непрямого действия для этого используется энергия внешнего источника. АР прямого действия всегда просты по конструкции, но не обеспечивают высокого качества регулирования: регулируемая величина заметно отклоняется от заданного значения. АР непрямого действия позволяют обеспечивать высокое качество регулирования.

АР непрямого действия по виду подводимой энергии подразделяются на: Гидравлические, Электрические, Пневматические.

В гидравлических АР используется трансформаторное масло под давлением 0,6-0,8 МПа. Применяются гидравлические АР в тех случаях, когда необходимо создать большое усилие (например, в прессах).

Электрические АР - высокоточные и быстродействующие, позволяют передавать сигнал на большие расстояния. НО взрыво- и пожароопасны. Это ограничивает их применение в химической промышленности.

Пневматические АР используют сжатый воздух с давлением 0,14 МПа. Взрыво- и пожаробезопасны. Быстродействующи и устойчивы. Ограничение по расстоянию = 300м.

По виду регулируемой величины: АР температуры, АР давления, АР расхода, АР уровня, АР концентрации, АР влажности.

По характеру действия: АР с прямой характеристикой, АР с обратной характеристикой.

У первых - возрастание входного сигнала обусловливает увеличение выходной величины, а у вторых - наоборот.

По характеру регулирующего воздействия: Непрерывного действия, Прерывистого действия.

У АР непрерывного действия непрерывному изменению входной величины соответствует непрерывное изменение его выходной величины.

У АР прерывистого действия непрерывному изменению входной величины соответствует прерывистое изменение выходной величины. Такие АР делятся на позиционные и импульсные.

Регуляторы непрерывного действия различают по законам регулирования:

• Пропорциональные,

• Интегральные,

• Пропорционально-интегральные,

• Пропорционально-дифферециальные,

• Пропорционально-интегрально-дифференциальные.

 

Позиционные регуляторы. Их особенности

Позиционными (ПЗ) или релейными называют регуляторы, у которых при изменении на входе выходная величина может принимать только определенные, заранее известные значения. Переход от одного из этих значений к другому происходит очень быстро, практически мгновенно.

Особенностью таких АР является то, что они реагируют не на значение регулируемой величины, а на величину отклонения этой величины (на знак отклонения) от заданного значения.

Еще одной особенностью позиционного регулирования является то, что регулируемая величина совершает гармонические колебания.

Переходный процесс и критерии качества регулирования в системах с позиционными регуляторами

Изменение выходной величины системы во времени с момента нанесения воздействия до прихода ее в новое установившееся состояние называют переходным процессом, т.е. процессом перехода из одного установившегося состояния в другое. Качество позиционного регулирования оценивают по

• Амплитуде колебаний А,

• Периоду колебаний Тк,

• Частоте колебаний ω = 2π / Тк

 

Иногда происходит смещение колебаний, а за ним и смещение средней линии колебаний относительно заданного значения а0.

 

Преимущества и недостатки позиционных регуляторов, область применения

Преимущества:

• Просты по конструкции,

• Надежны в работе,

• Несложны в обслуживании и при настройке

 

Недостаток заключается в том, что в процессе происходят гармонические колебания регулируемой величины. Применяют ПЗ-регуляторы на инерционных объектах с малым запаздыванием.

 

Пропорциональные регуляторы

К П-регуляторам относятся те, у которых выходная величина в пределах зоны регулирования изменяется пропорционально изменению входной величины.

Уравнение динамики

u = k_pε + u⁰, где kp – коэффициент усиления регулятора, u⁰– выходная величина регулятора в начальный момент времени.

Параметр настройки

Параметром настройки П-регулятора является зона регулирования, или предел пропорциональности δ = k_p^-1∙100%, под которым понимают диапазон изменения входной величины регулятора, выраженный в процентах от максимального интервала, в пределах которого изменение входной величины приводит к изменению выходной величины регулятора от одного крайнего значения до другого.

Интегральные (И) регуляторы

К ним относятся те, у которых изменение выходной величины u пропорционально интегралу отклонения входной величины ε от заданного значения по времени.

Динамическая характеристика

Динамическая характеристика – зависимость выходной величины от времени при изменении входной величины.

Преимущества и недостатки

Главное достоинство И-регуляторов заключается в том, что они всегда приводят регулируемую величину к точно заданному значению. Недостатки заключаются в том, что И-регуляторы работают медленно и в процессе регулирования имеет место значительное отклонение регулируемой величины от заданного значения.

 

Параметры настройки

ПИ-регулятор имеет два параметра настройки. Пропорциональная составляющая настраивается с помощью предела пропорциональности δ, интегральная составляющая регулятора — посредством изменения времени интегрирования Ти. Воздействие входной величины ПИ-регулятора на выходную повышается с уменьшением предела пропорциональности δ и уменьшением времени интегрирования Ти.

Динамическая характеристика

Динамическая характеристика ПИ-регулятора представляет сумму пропорциональной и интегральной составляющих.

 

Параметры настройки

ПД-регулятор имеет два параметра настройки: коэффициент усиления регулятора kр и время дифференцирования Тд.

Динамическая характеристика

Из переходной характеристики видно, что изменение выходной величины происходит сразу же после изменения величины ε. С течением времени отклонение и уменьшается, и величина u становится постоянной и равной ип в соответствии со значением предела
пропорциональности П-составляющей регулятора.

На рис. приведена динамическая характеристика ПД-регулятора для случая, когда входная величина изменяется с постоянной скоростью. Для сравнения там же приведена аналогичная характеристика для П-регулятора. Выходные величины П- и ПД-регуляторов изменяются с одинаковой скоростью, равной k р∙dε/dt, но при ПД-регуляторе выходная величина всегда на Тд∙dε/dt больше, чем при П-регуляторе. По сравнению с u_п выходная величина u достигает тех же значений с опережением, равным Тд/ kр.

Пропорционально-интегрально-дифференциальные (ПИД) регуляторы. Уравнение динамики

Изменение выходной величины ПИД-регуляторов пропорционально отклонению регулируемой величины от заданного значения, интегралу и производной этого отклонения

где kp – коэффициент усиления регулятора; Ти – время интегрирования; Тд – время дифференцирования; u⁰– выходная величина регулятора в начальный момент времени.

Параметры настройки

ПИД - регулятор имеет три параметра настройки: kp – коэффициент усиления регулятора; Ти – время интегрирования; Тд– время дифференцирования, характеризующее степень влияния скорости изменения ε на u регулятора.

Динамическая характеристика

Исполнительные устройства

Исполнительные устройства – устройства, предназначенные для введения управляющего автоматического регулятора на объект регулирования. Любое исполнительное устройство состоит из:

• Привода – исполнительного механизма,

• Регулирующего органа.

Уравнения динамики и динамические характеристики устойчивых и нейтральных объектов с запаздыванием

 

 

8. Уравнения динамики и динамические характеристики объектов регулирования 1-го и 2-го порядка

В зависимости от вида дифференциального уравнения динамики реального объекта химической технологии целесообразно различать объекты первого, второго и высокого порядков.

Связь между структурой уравнения динамики объекта и его свойствами. Пример

По уравнению динамики можно определить динамические свойства объекта.

Поведение большинства объектов химической технологии по конкретному каналу, например каналу x-y, может быть аппроксимировано уравнением динамики видаТ∙(dy(t) / dt) + y(t) = k∙x∙(t-τ).

1.Наличие слагаемого «+ у» в левой части уравнения свидетельствует о том, что в объекте имеется внутренняя отрицательная обратная связь, он устойчив и обладает положительным самовыравниванием, величина которого обратна коэффициенту усиления. Отсутствие такого слагаемого указывает на отсутствие в объекте обратной связи; такой объект нейтрален. Если слагаемое «у» имеет отрицательный знак, то в объекте существет внутренняя положительная обратная связь и он неустойчив.

2. Емкостные свойства объекта регулирования определяются по величине To для устойчивых объектов или по величине  Tε для нейтральных объектов; Количество емкостей в объекте определяется порядком старшей производной. В нашем случае объект имеет одну емкость, величина которой определяется отношением Т/k.

3.Запаздывание определяют по наличию времени запаздывания τ в аргументе слагаемого правой части уравнения. Таким образом, рассматриваемый объект по каналу x-y является устойчивым одноемкостным объектом с запаздыванием.

4. Количественное значение степени самовыравнивания ρ для устойчивых объектов определяются величиной, обратной коэффициенту передачи объекта по соответствующему каналу;ρ=1/K

 

9. Аналитическое определение свойств ОР

Аналитический метод заключается в составлении математического описания объекта, при котором находят уравнения статики и динамики на основе теоретического анализа физических и химических процессов, протекающих в исследуемом объекте, и с учетом конструкции аппаратуры и характеристик перерабатываемых веществ. При выводе этих уравнений используются фундаментальные законы сохранения веществ и энергии, а также кинетические закономерности процессов химических превращений, переноса тепла и массы. Аналитический метод применяют при проектировании новых технологических объектов, физико-химические процессы которых достаточно хорошо изучены. Он позволяет прогнозировать работу объектов в статическом и динамическом режимах, однако сопряжен с трудностью решения и анализа составленных уравнений и требует проведения специальных исследований для определения численных значений коэффициентов этих уравнений. Кроме того, точность математического описания реальных объектов в большой степени зависит от введения упрощающих допущений.

Состав математической модели ОР

Полная математическая модель включает описание связей между основными переменными процесса в статическом режиме (статическая модель) и во времени при переходе из одного режима в другой (динамическая модель).

Модели статики и динамики

Статическая модель. Вначале анализируют физико-химические закономерности технологического процесса, его целевое назначение, основные уравнения, которыми можно описать этот процесс и его особенности. Затем выявляют входные (управляющие и возмущающие воздействия) и выходные (управляемые переменные) переменные процесса. Далее определяют связи между названными переменными и граничные условия протекания процесса. Статическая модель содержит уравнение, описывающее поведение объекта в статическом режиме, т.е. показывает взаимосвязь между входными и выходными величинами объекта управления: у = f(u, d), где u – управляющее воздействие; d – возмущающее воздействие. Это уравнение называется уравнением статики и является алгебраическим или дифференциальным уравнением, содержащим производные по какому-либо параметру, кроме времени (условие неизменности координат во времени). Динамическая модель. Построение динамической модели предполагает определение динамических характеристик процесса экспериментально, теоретически или сочетая оба способа. Динамическая модель содержит уравнения динамики у = f(u, d, τ), устанавливающие взаимосвязь между основными переменными процесса при изменении их во времени (т.е. описывающие поведение объекта в динамическом режиме), а также ограничения, накладываемые на переменные: ymin ≤ y ≤ ymax, umin ≤ u ≤ umax. Динамическая модель процесса может быть построена в виде передаточных функций, в виде обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциальных уравнений с частными производными, в виде конечно-разностных уравнений, в виде спектральных характеристик и т.д. Уравнение статики можно получить из уравнения динамики, если все входящие в него производные по времени приравнять к нулю.

Последовательность составления уравнений динамики ОР

1) Записываем уравнения теплового баланса, равновесия, материального баланса;

2) Выявляем входные и выходные величины объекта;

3) Переходим от абсолютных к приращенным величинам;

4) Проводим линеаризацию нелинейных зависимостей;

5) Приводим уравнение к стандартному виду.

10.Составление уравнения динамики и нахождение динамической характеристики гидравлического резервуара со свободным сливом жидкости

Рассмотрим гидравлический объект, жидкость из которого отводится самотеком через вентиль. Выходной величиной объекта является изменение уровня жидкости L. а входной - изменение потоков жидкости на входе Fпр и выходе Fр. Найдем уравнение динамики.

Материальный баланс объекта определяется равенством

Fпрdt=AdL+Fpdt, где Fпр – количество жидкости, поступившее в объект за время dt; dL – приращение уровня жидкости в аппарате; Fpdt – количество жидкости, выведенное из объекта за время dt; A=conts – площать горизонтального сечения аппарата.

Группируя слагаемые с выходными величинами в левой части, а слагаемые с входными величинами в правой части, получим: A dL/dt=Fпр-Fр Выходная величина объекта L влияет на входную величину Fр по нелинейному закону: Fр = αa ,где α – коэффициент расхода вентиля на линии отвода жидкости; а – площадь проходного сечения вентиля; g- ускорение свободного падения.

Линеанизируем зависимость по методу малых отклонений путем разложения ее в ряд Тейлора в окрестности точки а_о, L_o, пренебрегая малостями второго и более высокого порядков.

Разложение в ряд Тейлора зависимости Fр=f(α,L) по α и L. Взяв производные, получим:

 

11.Составление уравнения динамики и нахождение динамической характеристики гидравлического резервуара, жидкость из которого откачивается центробежным насосом

Рассмотрим резервуар (см. рис.II-1), из которого насосом откачивается жидкость, причем производительность F_p постоянна.

Для нахождения зависимости уровня жидкости в аппарате L от входных величин Fпр и Fр (в м3/с) составим уравнение материального баланса аппарата: Fпрdt = dV + Fрdt, где V – объем жидкости в аппарате, м3; t – время, с. Отсюда скорость изменения объема жидкости в аппарате: dV/dt =Fпр-Fр (1).

Скорость изменения уровня жидкости L, если площадь горизонтального сечения аппарата А (в м²) неизменна по высоте dL/dt =(Fпр - Fр)/A (2)

Таким образом, скорость изменения уровня в резервуаре пропорциональна разности потоков жидкости на входе и выходе. Уровень жидкости принимает постоянные значения во времени (скорость dL / dt = 0) только при отсутствии рассогласования потоков Fпр и Fр. Проинтегрируем уравнение (2) в пределах от 0 до t.

Следовательно, выходная величина объекта пропорциональна интегралу от изменения его входных величин. При ступенчатом изменении нагрузки объекта на величину ΔF уровень жидкости L изменяется по зависимости (1): L = (ΔF / A)∙t + L₀ (3).

Как следует из уравнения (3), скорость изменения выходной величины при ступенчатом возмущении ΔF постоянна и равна dL / dt = ΔF / A

При расчетах систем автоматизации уравнение динамики объекта представляют в относительных величинах. Предполагая, что Fпр является возмущением, а Fр – регулирующим воздействием (см. рис.II-1), имеем x = ΔL / L₀; u = ΔFр / F₀; z = ΔFпр / F0 где L₀ и F₀ – значения соответствующих величин при равновесном состоянии объекта. Запишем уравнение (2) в приращениях dΔL / dt = (ΔFпр - ΔFр) / A и введя относительные величины (L₀ / L₀)∙(A / F₀)∙(dΔL / dt) = (ΔFпр / F0) - (ΔFр / F0), получим уравнение динамики: (AL₀ / F₀)∙(dx / dt) = z – u (4)

Из уравнения (4) видно, что отношение AL₀ / F₀ имеет размерность времени. Его называют временем разгона объекта и обозначают через Тε. Заменяя коэффициент в левой части уравнения (4) через Тε, получим уравнение динамики нейтрального объекта первого порядка в общем виде Тε∙(dx / dt) = z – u (5) Интегрируя уравнение (5), найдем To dx/dt+x=kz-ku

В нашем случае u = 0. При единичном ступенчатом возмущении z = 1(t) изменение выходной величины x подчиняется зависимости: x=kz(1-e^-t/T)

 

12.Экспериментальное определение свойств ОР

Экспериментальный метод состоит в определении характеристик реального объекта путем постановки на нем специального эксперимента. Метод достаточно прост, обладает малой трудоемкостью, позволяет достаточно точно определить свойства конкретного объекта. Вместе с тем, он требует оснащения изучаемого объекта экспериментальной аппаратурой и проведения специальных исследований. При экспериментальном методе невозможно выявить функциональные связи между свойствами перерабатываемых и получаемых веществ, режимными показателями технологического процесса и конструктивными характеристиками объекта. Этот недостаток не позволяет распространить на другие однотипные объекты результаты, полученные экспериментальным методом.