Ряды Маклорена некоторых функций


Определение

Пусть — числовой ряд. Число называется -ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.

[править]Сходимость числовых рядов

Свойство 1. Если ряд

(1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

(1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

,

а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды

,

причём сумма каждого равна соответственно .

[править]Необходимый признак сходимости ряда

Ряд может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

3 Необходимый признак сходимости. Признак сходимости Даламбера

 

Определение: Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или комплексных) Числовым рядом называется выражение вида: . Сокращенно ряд обозначают следующим образом: . При этом числа называются членами ряда, - общим членом ряда.   Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд сходиться, то общий член ряда стремиться к нулю при , т.е. . Т.о. если , то ряд расходится. Признак Д’Аламбера [править] Материал из Википедии — свободной энциклопедии При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г. Если для числового ряда существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера то ряд расходится. [править]Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме Если существует предел то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если — расходится . Замечание. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда. 4 Признак сравнения. Радикальный признак Коши Признак сравнения [править] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.
Содержание [убрать] · 1 Формулировка · 2 Признак сравнения отношений o 2.1 Формулировка · 3 Предельный признак сравнения o 3.1 Формулировка · 4 Литература · 5 Ссылки

[править]Формулировка

Пусть даны два знакоположительных ряда: и . Тогда, если, начиная с некоторого места ( ), выполняется неравенство: , то из сходимости ряда следует сходимость . Или же, если ряд расходится, то расходится и .

п·о·р

Доказательство[показать]



[править]Признак сравнения отношений

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

[править]Формулировка

Если для членов строго положительных рядов и , начиная с некоторого места ( ), выполняется неравенство: , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

п·о·р

Доказательство[показать]

[править]Предельный признак сравнения

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

[править]Формулировка

Если и есть строго положительные ряды и , то при из сходимости следует сходимость , а при из расходимости следует расходимость .

Радикальный признак Коши

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Признак Коши.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.

 

Содержание [убрать] · 1 Предельная форма · 2 Доказательство · 3 Примеры · 4 См. также

[править]Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда , то если ряд сходится, если ряд расходится, если вопрос о сходимости ряда остается открытым.

 

[править]Доказательство

1. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже сходится.

2. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже расходится.

5 Знакочередующиеся ряды

Знакочередующийся ряд

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 24 августа 2011; проверки требуют 6 правок.

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

[править]Признак Лейбница

Основная статья: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда выполняются следующие условия: 1. (монотонное невозрастание {an} по абсолютной величине) 2. . Тогда этот ряд сходится.

Замечания:

Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения.  

Если, выполнены все условия, и ряд из модулей ( ) сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность существенна.

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.

Пример

. Ряд из модулей имеет вид — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

1. знакочередование выполнено

2.

3. .

Следовательно, так как все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условно.

[править]Оценка остатка ряда Лейбница

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена остатка ряда. Поскольку любой остаток ряда rnявляется также рядом Лейбница, то для него справедливо:

.

6 абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда

 

Абсолютная и условная сходимость Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно. Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Пример 1
 
Исследовать на сходимость ряд . Решение. Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.
Пример 2
 
Исследовать на сходимость ряд . Решение. Попробуем применить признак Лейбница: Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞. Поэтому данный ряд расходится .

7 понятие степенного ряда.Ряд Тейлора,Маклорена

Степенной ряд

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца .

Содержание [убрать] · 1 Пространство степенных рядов · 2 Сходимость степенных рядов o 2.1 Признаки сходимости o 2.2 См.также · 3 Вариации и обобщения

[править]Пространство степенных рядов

Сюда перенаправляется запрос «Формальный степенной ряд». На эту тему нужна отдельная статья.

 

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из обозначается . Пространство имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо ). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть

Тогда:

(при этом необходимо, чтобы соблюдалось )

[править]Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путем приписывания формальной переменной какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

[править]Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

§ Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге и равномерно по на любом компактном подмножествеэтого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при , он расходится при всех , таких что . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга (возможно, нулевой или бесконечный), что при ряд сходится абсолютно (и равномерно по на компактных подмножествах круга ), а при — расходится. Это значение называется радиусом сходимости ряда, а круг — кругом сходимости.

§ Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:

(По поводу определения верхнего предела см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть и — два степенных ряда с радиусами сходимости и . Тогда

Если у ряда свободный член нулевой, тогда

Вопрос о сходимости ряда в точках границы круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

§ Признак Д’Аламбера: Если при и выполнено неравенство

тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности абсолютно и равномерно по .

§ Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда положительны и последовательность монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности , кроме, быть может, точки .

§ Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он сходится равномерно по на отрезке, соединяющем точки 0 и .

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра является предметом изучения теории аналитических функций.

Ряд Тейлора

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а такжеНьютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Содержание [убрать] · 1 Определение · 2 Связанные определения · 3 Свойства o 3.1 Формула Тейлора o 3.2 Различные формы остаточного члена · 4 Ряды Маклорена некоторых функций · 5 Формула Тейлора для функции двух переменных · 6 См. также · 7 Литература

[править]Определение

Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

[править]Связанные определения

§ В случае, если , этот ряд также называется рядом Макло́рена.

[править]Свойства

§ Если есть аналитическая функция в любой точке a, то её ряд Тейлора в любой точке области определения сходится к в некоторой окрестности .

§ Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности . Например, Коши предложил такой пример:

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке равны нулю.

[править]Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции вокрестности некоторой точки.

Теорема:

§ Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки , § Пусть § Пусть — произвольное положительное число, тогда: точка при или при :


Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

[править]Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

В интегральной форме:

Ослабим предположения:

§ Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки

§ И производную в самой точке , тогда:

— остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной фо

Задача Коши

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла)дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при , а решение отыскивается при .

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

2. Если решение существует, то какова область его существования?

3. Является ли решение единственным?

4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений . Точка задаёт начальные условия.

Содержание [убрать] · 1 Различные постановки задачи Коши · 2 Теоремы о разрешимости задачи Коши для ОДУ · 3 См. также · 4 Литература

[править]Различные постановки задачи Коши

§ ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной

§ Система ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных (нормальная система -го порядка)

§ ОДУ -го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Тандартная модель

Комплексное число можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел . Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

§

§

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица — а мнимая единица — На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.

Определение

Пусть — числовой ряд. Число называется -ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.

[править]Сходимость числовых рядов

Свойство 1. Если ряд

(1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

(1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

,

а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды

,

причём сумма каждого равна соответственно .

[править]Необходимый признак сходимости ряда

Ряд может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

3 Необходимый признак сходимости. Признак сходимости Даламбера

 

Определение: Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или комплексных) Числовым рядом называется выражение вида: . Сокращенно ряд обозначают следующим образом: . При этом числа называются членами ряда, - общим членом ряда.   Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд сходиться, то общий член ряда стремиться к нулю при , т.е. . Т.о. если , то ряд расходится. Признак Д’Аламбера [править] Материал из Википедии — свободной энциклопедии При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г. Если для числового ряда существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера то ряд расходится. [править]Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме Если существует предел то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если — расходится . Замечание. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда. 4 Признак сравнения. Радикальный признак Коши Признак сравнения [править] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.
Содержание [убрать] · 1 Формулировка · 2 Признак сравнения отношений o 2.1 Формулировка · 3 Предельный признак сравнения o 3.1 Формулировка · 4 Литература · 5 Ссылки

[править]Формулировка

Пусть даны два знакоположительных ряда: и . Тогда, если, начиная с некоторого места ( ), выполняется неравенство: , то из сходимости ряда следует сходимость . Или же, если ряд расходится, то расходится и .

п·о·р

Доказательство[показать]

[править]Признак сравнения отношений

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

[править]Формулировка

Если для членов строго положительных рядов и , начиная с некоторого места ( ), выполняется неравенство: , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

п·о·р

Доказательство[показать]

[править]Предельный признак сравнения

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

[править]Формулировка

Если и есть строго положительные ряды и , то при из сходимости следует сходимость , а при из расходимости следует расходимость .

Радикальный признак Коши

[править]









Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su не принадлежат авторские права, размещенных материалов. Все права принадлежать их авторам. Обратная связь