Метод переходных интенсивностей

 

Экспоненциальное распределение с удовлетворительной точностью описывает функционирование систем и их элементов на участке нормальной эксплуатации. Экспоненциальное распределение описывает процессы в системах без предыстории, поскольку изменение вероятности их нахождения в том или ином состоянии за интервал зависит только от длительности временного интервала. Так снижение вероятности работоспособного состояния d P_o (t) = -λ* e^-λt dt= λ*P_o (t) dt, а вероятности состояния восстановления dP₁ (t) = -μ* e^-μt * dt= μ *P₁ (t) dt. Если система может находиться только в двух состояниях – восстановление и работы, то снижение вероятности одного состояния приводит к соответствующему увеличению вероятности другого состояния, поскольку для любого момента времени dP₁ (t)+ dP_o (t)=1. Таким образом, вероятности нахождения систем в момент t+dt в каждом из состояний связаны с соответствующими вероятностями:

P₀(t+Dt)=P₀(t)-lP₀ (t)d t +mP₁ (t) d t

P₁(t+Dt)=P₁(t)- m P₁ (t)d t + l P₀ (t) d t (8.8)

Сопоставляя (8.5) и (8.8) определим, что (1- λ* dt) =p₁₁; λ* dt=p₁₂ ;(1- μ * dt) =p₂₂; μ * dt=p₂₁; Теперь можно составить матрицу переходов (8.7).

Так как [P_i (t+dt)- P_i (t)] /dt= dP_i (t) /dt, то вероятность нахождения системы с непрерывным временем в каждом из состояний определяется следующей системой дифференциальных уравнений первого порядка, называемой системой Колмогорова-Чепмена:

P₀(t)/dt=- lP₀ (t)+ mP₁ (t);

P₁(t)/dt=lP₀ (t)- mP₁ (t); (8.9)

 

В общем случае число дифференциальных уравнений определяется числом возможных состояний системы, которое (как и для систем с дискретным временем) должно быть ограничено.

При записи дифференциальных уравнений предварительно составляется перечень возможных состояний системы и соответствующий ему ориентированный граф состояний, подобный представленному на рисунке 8.1. Каждая из вершин соответствует одному из состояний системы, а ориентация ребер определяется направлением перехода. Так, граф состояний рассмотренный выше системы с двумя состояниями обычно изображается в виде, представленном на рисунке 8.3,а.

 

а) б)

Рисунок 8.3 Граф состояния восстанавливаемой системы

Для произвольной вершины i (рисунок 8.3,б), в которую система может прийти из m вершин и из которой переходит в одну из n вершин:

_{m n}

dP_i (t) /dt =Σ Λ_ji dP_j (t) - P_i (t) Σ Λ_iz (8.10)

^{j=1 z=1}

Проверкой правильности составления системы дифференциальных уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений. При анализе надежности восстанавливаемых систем с непрерывным временем возникают две группы задач. Первая связана с определением функций и коэффициентов готовности и простоя, параметра потока отказов, вторая – с расчетом вероятности безотказной работы и средней наработки до отказа. При решении задач первой группы состояния. В которых система восстанавливается после отказа, являются отражающими, то есть после завершения восстановления система возвращается в одно из работоспособных состояний. При решении второй группы задач состояния восстановления системы являются поглощающими и интенсивности выхода из этих состояний исключаются.

Поскольку функция готовности К_Г(t) определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени t, то:

где j и z – работоспособные и неработоспособные состояния системы.

Функция простоя:

 

Для определения коэффициента готовности k_Г может быть применено несколько приемов. Один из них основан на непосредственном расчете предела при t→∞. Второй использует предельную теорему, согласно которой , где р = переменная преобразования Лапласа; - изображение по Лапласу функции Коэффициент готовности можно рассчитать по системе дифференциальных уравнений путем приравнивания нулю dP_i (t)/ dt = 0 и решения системы алгебраических уравнений относительно всех работоспособных состояний системы. Так, для системы (8.9) алгебраические уравнения для расчета k_Г имеют вид:

-λ *P_o + μ *P₁ =0; P_o + P₁=1; откуда k_Г = P_o= μ/(μ + λ)

Очевидно, что аналогом коэффициента готовности непрерывных систем для систем с дискретным временем является предельная вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии, определяемая системой алгебраических уравнений (8.9). Поток отказов и ведущая функция восстанавливаемой системы:

 

 

Средняя наработка между отказами на интервале t:

При стационарном процессе восстановления, когда t→∞
ω(t) = где P_j = lim P_j(t) - финальная вероятность j-го работоспособного состояния. Средняя наработка на отказ τ= k_г/ ω.

Для рассматриваемой выше системы с двумя состояниями:

ω(t) = λ *P_o(t)= λ *K_г(t)

 

t→∞ ω = λ *P_o= λ *K_г; τ_ср = 1/ λ; (8.13)

При решении второй группы задач в системе дифференциальных уравнений исключаются члены, содержащие в качестве сомножителей интенсивности выхода из поглощающего состояния. В этом случае вероятность безотказной работы , где - все работоспособные состояния системы. Среднее время безотказной работы рассчитывается как τ_ср(t) = ∫ P₀ (t) dt.

Используем рассмотренный метод анализа для оценки показателей надежности более сложных восстанавливаемых систем, в частности включающих n последовательно соединенных нерезервированных элементов, каждый из которых характеризуется интенсивностями отказов l_i и m_I восстановления. Рассмотрим простой вариант задачи, при котором после отказа любого из элементов система отключается. Структурная схема такой системы представлена на рисунке 5.1, а граф состояния на рисунке 8.4.

 

Рисунок 8.4 – Граф состояния системы n последовательно соединенных элементов

Во всех состояниях, кроме нулевого, система отключена и производится восстановление соответствующего элемента. Надежность системы в любой момент времени характеризуется следующими дифференциальными уравнениями:

Функция готовности с преобразованием Лапласа:

 

Лекция 9

 

Цель лекции: Обучение основных практических методов оценки надежности по результатам испытаний.