Классическое определение вероятности

Вероятность события численно характеризует степень возможности его появления в рассматриваемом опыте.

Пусть производится опыт с n равнозначными исходами, образующими полную группу несовместных событий. Такие исходы называются элементарными исходами (событиями), случаями, шансами. Случай, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным (или благоприятствующим) ему.

Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев.

p(A)=m/n

Такое определение вероятности называется классическим определение вероятности.

Из классического определения следуют свойства вероятности:

· 0≤p(A)≤1

· p(Ø)=0,

· p(Ω)=1,

· p(Ā)=1-p(A)

· p(A+B)= p(A)+ p(B), если AB=Ø

Геометрическое определение вероятности

Обобщением понятия "классической вероятности" на случай опытов с бесконечным (вообще говоря, несчетным) числом исходов является понятие "геометрической вероятности". К этому понятию приводят задачи на подсчет вероятности попадания точки в некую область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т.д.).

Пусть пространство элементарных событий Ω представляет собой некоторую область плоскости. Тогда в качестве событий могут рассматриваться области А, содержащиеся в Ω.

Вероятность попадания в область А точки, наудачу выбранной из области Ω, называется геометрической вероятностью события А и находится по формуле:

p(A)=S(Ω)/S(Ω),

где S(A) и S(Ω) площади областей А и Ω соответственно.

Случай, когда Ω представляет собой отрезок или трехмерную область, рассматривается аналогично.

 

4. Действия над событиями. Алгебра Буля.

Действия над случайными событиями и отношения между ними определяются по аналогии с действиями и отношениями в теории множеств.

Обозначаем А, если — элементарный исход события А; А В, если событие А влечет за собой В; А, В

Равенство (эквивалентность) событий: А = В, если А В и В А.

О: Суммой событий A и В называется их теоретико-множественное объединение, т.е. событие, состоящее из элементарных событий или В.

Произведением АВ (А В) событий А и В называется их теоретико-множественное пересечение, т.е. событие, состоящее из элементарных событий: А и В. Разностью событий Аи В называется их теоретико-множественная разность, т.е. событие, состоящее из элементарных событий но В. Противоположным событием для события A называется теоретико-множественное дополнение А до т.е. происходит тогда, когда А не происходит.

 

Примеры:

1. А— выигрыш по займу 1; В — выигрыш по займу 2. Тогда А В — выигрыш хотя бы по одному из займов (в частности, сразу по двум).

2. А — прохождение I тура на конкурсе, В — прохождение II тура. Тогда АВ — успешное прохождение I и II туров.

3. Бросают монету. А — выпадение герба, — выпадение решки.

Множество случайных событий А и образуют булеву алгебру — алгебру событий, связанных с заданным экспериментом.

О: События А и В называются несовместными, если наступление А исключает наступление В, т.е. АВ= В этом случае используют А В = А+ В.

Таким образом А, — несовместные события.

О: Множество (система) событий

называется полной группой событий S, если

 

5. Теорема для сложения вероятностей для совместных событий. Теорема для сложения вероятностей не совместных событий.

Теорема. Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. p (A + B)= p (A)+ p (B)− p (AB)

Доказательство:

A + B = AB + AB + AB (сумма несовместных пар)

Тогда p (A + B)= p (AB)+ p (AB)+ p (AB)

Событие A = AB + AB,

Событие B = AB + AB

p (A + B)= p (A)− p (AB)+ p (B)− p (AB)+ p (AB)= p (A)+ p (B)− p (AB)

 

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

 

Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ — число исходов, благоприятствующих событию A; m₂— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁ + m₂. Следовательно,

Р (A + В) = (m₁ + m₂) / n = m₁ / n + m₂ / n.

 

Приняв во внимание, что m₁ / n = Р (А) и m₂ / n = Р (В), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

 

6. Условная вероятность. Пример. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий. Независимые события. Теорема умножения для независимых величин.

Условная вероятность

Пример Игральная кость подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трёх очков. Какова вероятность того, что выпало чётное число очков?

Зная, что выпало более трёх очков, мы можем сузить множество всех возможных элементарных исходов до трёх одинаково вероятных исходов: , из которых событию благоприятствуют ровно два: . Поэтому .

Посмотрим на вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек: . Слова «известно, что выпало более трёх очков» означают, что в эксперименте произошло событие . Слова «какова при этом вероятность того, что выпало чётное число очков?» означают, что нас интересует, в какой доле случаев при осуществлении происходит и . Вероятность события , вычисленную в предположении, что о результате эксперимента уже что-то известно (событие произошло), мы будем обозначать через .

Мы хотим найти, какую часть составляют исходы, благоприятствующие внутри (т.е. одновременно и ), среди исходов, благоприятствующих .

Мы пришли к выражению, которое можно считать определением условной вероятности.