Приближенное решение систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

Приближенное решение систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

¦₁ (x₁, x₂ ... x_n ) =0;

¦₂ (x₁, x₂... x_n ) =0;

........

¦_n (x₁, x₂ ... x_n) =0;

также осуществляется в два этапа: отделение корней и уточнение корней с помощью метода последовательных приближений (методом Ньютона или методом итераций). Однако при уточнении корней, систем уравнений в форме x_õ = j(x₁, x₂ ... x_n ) представление их и анализ сходимости процесса итераций более трудоемки и сложны. Изменение формы исходного уравнения при этом неоднозначно поэтому необходимо тщательно проанализировать различные варианты преобразованных уравнений с целью получения пригодной для итерации формы.

В заключении необходимо отметить, что допустимую погрешность e определения корня уравнения в итерационном процессе нельзя задавать слишком малой, т.к. ошибки округления в ЭВМ не позволяют получить более точного приближения.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ.

Для функции, заданной в каждом варианте, необходимо найти двумя различными приближенными методами наименьший по модулю отличный от нуля корень уравнения с относительной погрешностью не более e=0,001. Три шага приближения по каждому из методов выполнить вручную с помощью микрокалькулятора и изобразить графически.

1) 1/ (1+x² ) - 1,5x =0

2) 0,1x² - x ln(x)=0

3) x³-1,473x²-5,738x+6,763 =0

4) tg²x -1,5x =0

5) e^-x - 1,5x =0

6) 1/(1+x⁴ ) - 1,5x² =0

7) ln (2+x) - 5,5x³ =0

8) x³ - 10 - 1,5 =0

9) - 2,5x⁵ =0

10) 1-x² - 0,4e^x =0

11) sin2x - 2x² =0

12) 2x - e ^{-x/ 10} =0

13) e^{- 0,3x} =0,7x

14) x³ - 3x -1 =0

15) sin x – x cos x =0

16) x³ + 2x² – 10,2x =0

17) x= tg x

18) x⁴- 2,5x² +x =0

19) 1/ (1+x² ) - 2,5x² =0

20) x³ +3x +1 =0

21) 1,5cos x =2x²

22) 4x³ - 12,3x² - x + 16,2 =0

23) ln (1,5x + 3,2) =4,3x

24) 2,5x³ +1,2x² =3,2

25) 1,2e ^-x = cos x

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ.

1. Исследовать заданную функцию, найти интервал, в котором находится требуемый корень уравнения, проверить применимость различных численных методов и выбрать метод решения.

2. Разработать алгоритм решения задачи двумя выбранными методами, представив его структуру в виде блок - схемы и дав его неформальное описание.

3. Составить и отладить программу решения задачи.

4. Вычислить три шага приближения вручную и построить график приближения.

5. Составить программу решения задачи с помощью одной из стандартных подпрограмм.

6. Решить задачу на ЭВМ по разработанным программам.

7. Проанализировать результаты расчетов.

8. Ответить на контрольные вопросы.

При отладке программы следует прежде всего отладить используемую подпрограмму вычисления функции. Для этого нужно подготовить и решить соответствующий набор тестов.

Отладку численного решения уравнения целесообразно сначала провести на уравнении с заранее известным решением.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1.Чем определяется существование предела достижимой точности приближенного вычисления корней, одинаков ли этот предел для различных методов?

2.Каким образом можно предусмотреть выход из итерационного процесса, если заданная точность не достигается?

3.Какое влияние на конечный результат вычисления корня уравнения в итерационном процессе оказывает ошибка, допущенная на промежуточном шаге данного процесса?