Застосування законів збереження до руху тіл у центральному гравітаційному полі

До таких рухів належать рухи планет Сонячної системи. При цьо­му Сонце і планети вважають матеріальними точками.

Розглянемо рух у центральному полі тяжіння. Якщо матеріальна точка масою т рухається у центральному полі, створеному точковою масою М як джерелом поля, то її повна енергія

(6.37)

Модуль моменту імпульсу матеріальної точки масою т відносно центра поля

(6.38)

З означення центрального поля випливає, що сила, яка діє на ру­хому матеріальну точку, завжди проходить через центр поля. При цьому плече сили відносно центра поля дорівнює нулю (М = 0).

Отже, момент імпульсу матеріальної точки т є величиною сталою (2.48), тобто

де (о — кутова швидкість. Повну швидкість v руху тіла можна роз­класти на радіальну v_p і азимутальну г_а = то складові (рис. 6.9). Тоді

(6.39) З урахуванням (6.39) рівняння (6.37) набуває вигляду

(6.40)

Оскільки у рівнянні (6.40) тільки перший член залежить від швид­кості, то функція

(6.41)

є потенціальною енергією.

Знайдемо умови, при яких траєкторія руху тіла стане еліптичною, тобто коли рух тіла бу_де обмежений у деякій області простору. Такий рух називають фіщтним. Для розв'язання цієї задачі застосуємо графічний метод. На рис. 6.10 штриховою лінією зобразимо графіки функцій

Суцільною лінією покажемо графік функції U(r) як результат до­давання ординат функцій і/, (г) і U₂ (r).

З рис. 6.10 видно, що для г < г₀ функція U (r) додатна і при г 0 асимптотично наближається до + °°. Для значень г> г₀ функція U (r) від'ємна і при г вона асимптотично наближається до нуля.

Оскільки величина mv? /2 завжди додатна, то межі області, в якій може перебувати тіло, визначаються умовою U (г) < Е. Проведемо на рис. 6.10 пряму U= Е = const для випадків, коли Е> 0 і Е < 0. У першому випадку ділянки кривої U (г), що знаходяться над прямою, не можуть бути досягнуті тілом з енергією Е. У другому випадку пря­ма перетинає криву U (г) у двох точках А і В. їм відповідають відстані від центра поля г₂ і г₃. Вони і визначають межі області, в якій ру­хається тіло у центральному гравітаційному полі. У цьому разі рух тіла буде обмеженим, тобто фінітним. Траєкторія руху при цьому буде ці \\ _и,_г) еліптичною. Якщо Е > 0, то пряма перетинає криву U(г) тільки в одній точці, якій відповідає відстань r_v Якщо ж тіло рухається справа наліво, то на відстані г, його напрям руху зміниться на протилежний. Рух тіла буде необмеженим, тобто інфінітним, а траєкторія — гіперболічною. Якщо Е = 0, рух тіла також буде необмеженим, а траєкторія — параболічною.

Космічні швидкості

Закони руху тіл у центральному полі дають можливість розрахо­вувати траєкторії руху космічних апаратів та створювати штучні су­путники Землі чи інших планет Сонячної системи.

У попередньому параграфі зазначалося, що величина, а точніше знак повної енергії космічного апарата, що рухається тільки під дією

центральних сил тяжіння, визначає характер його руху і форму траєкторії.

Розглянемо рух космічного апарата в системі відліку, початок ко­ординат якої суміщений з центром Землі. У полі земного тяжіння по­вна енергія космічного апарата

(6.42)

де т і М — маси відповідно космічного апарата і Землі; R — відстань апарата від центра Землі. Залежно від співвідношення між кінетичною і потенціальною енергіями на даній відстані від центра Землі апарат рухатиметься по замкненій кривій (Е < 0) або по незамкненій кривій віддалятиметься від Землі у нескінченність (Е > 0). Повну енергію апарата на фіксованій висоті над Зем­лею можна змінювати за рахунок його кінетичної енергії. Тому саме швидкість космічного апарата на цій висоті визна­чає характер руху і форму його геоцен­тричної (відносно Землі) траєкторії.

Космічні апарати виводять у кос­мічний простір за допомогою багато­ступінчастих ракет у вертикальному напрямі із спеціальної стартової площад­ки. Останній ступінь ракети відділяється на великій висоті, де опір повітря незнач­ний. Ділянка траєкторії СА (рис. 6.11), на якій космічний апарат рухається під дією сили тяги ракети, називається актив­ ною ділянкою. У точці А на висоті h над Землею космічний апарат набуває швидкості , напрямленої паралельно горизонту. Далі відбувається вільний політ апарата тільки під дією центральної сили тяжіння Землі (пасивна ділянка траєкторії).

Вияснимо, як змінюватиметься траєкторія вільного польоту космічного апарата у безповітряному просторі залежно від початкової швидкості в точці А.

Рівняння траєкторії апарата можна знайти як рівняння траєкторії тіла, кинутого горизонтально. При цьому необхідно врахувати за­лежність прискорення вільного падіння від висоти над поверхнею землі:

(6.43)

Точний розрахунок показує, що ця траєкторія — це дуга еліпса, фокус якого збігається з центром Землі. При малих значеннях початкової швидкості еліпс перетинає поверхню Землі у точці В (див. рис. 6.11), тобто апарат падає на Землю. Із збільшенням швидкості еліпс все більше розтягується, наближаючись за формою до кола, а дальність польоту по дузі еліпса зростає. Якщо надати апарату досить великої швидкості v = v_x, то траєкторія перетвориться в коло (кри­ва /), тобто апарат не впаде на Землю, а рухатиметься навколо неї, перетворившись у штучний супутник Землі.

Першою космічною швидкістю v_l називають таку горизонтально напрямлену мінімальну швидкість, з якою космічний апарат може ру­хатися навколо Землі по коловій орбіті, тобто може стати штучним супутником Землі.

На супутник, що рухається по колу радіуса R₃ + h, діє сила тяжіння Землі, яка є доцентровою силою і надає йому нормального прискорення v]/(R₃ + /і). За другим законом Ньютона

Звідси знаходимо

(6.44)

Якщо висота над Землею мала порівняно з радіусом Землі (h «R₃)> то поблизу поверхні Землі

(6.45)

 

Взявши Л₃ = 6,37-10⁶ м і g = 9,81 м/с², із виразу (6.45) дістанемо v, = 7912 м/с «8 км/с.

Підставивши у вираз (6.42) значення швидкості із (6.44), неважко переконатися, що повна енергія космічного апарата, який рухається з першою космічною швидкістю, від'ємна і дорівнює половині його по­тенціальної енергії взаємодії з Землею.

При v > v, траєкторія супутника стає знову еліптичною і чим більша швидкість, тим більші осі еліпса (криві 2 на рис. 6.11), і су­путник віддаляється від Землі на великі відстані. Швидкості, з якими супутник рухається навколо Землі по замкнутих траєкторіях, назива­ють еліптичними.

Будь-якої еліптичної швидкості недостатньо для того, щоб космічний апарат міг вийти із сфери земного тяжіння. Необхідна для цього швидкість повинна задовольняти умову, при якій повна енергія апарата дорівнює нулю і його рух стає необмеженим. При Е = 0 із (6.42) маємо

(6.46)

Якщо то При цьому траєкторія має

форму параболи (незамкнена крива 3), рухаючись по якій космічний апарат віддаляється від Землі у нескінченність.

Другою космічною швидкістю v₂ називають таку найменшу швидкість, яку необхідно надати космічному апарату, щоб його орбіта в полі тяжіння Землі стала параболічною і він міг назавжди покинути Землю.

Швидкість v₂ називають ще параболічною, або критичною, оскільки для заданої висоти над Землею вона відповідає єдиній пара­болічній траєкторії, яка відмежовує замкнені траєкторії супутників Землі від незамкнених траєкторій. Якщо початкова швидкість v > v₂, то повна енергія космічного апарата Е > 0, він рухається по одній із гіперболічних траєкторій (незамкнені криві 4) і також назавжди за­лишає Землю.

Таким чином, якщо висота над поверхнею Землі, з якої почи­нається вільний політ, мала порівняно з радіусом Землі, то:

1) при v < v_t космічний апарат падає на Землю;

2) при tr, < v < v₂ апарат стає супутником Землі;

3) при у > v₂ апарат відлітає у світовий простір.

Космічному апарату поблизу Землі можна надати і такої швид­кості, щоб він вийшов за межі Сонячної системи. Цю швидкість на­зивають третьою космічною. Апарат покине Сонячну систему, якщо поблизу Землі йому надати другу геліоцентричну (відносно Сонця) космічну швидкість. Враховуючи швидкість Землі відносно Сонця і напрям запуску космічного апарата, можна показати, що третя космічна швидкість знаходиться в межах від 16,7 до 73 км/с (див. приклад 6.5).

Надання тілам великих космічних швидкостей є складним технічним завданням; їх можна досягнути за допомогою реактивних двигунів, встановлених на космічному кораблі. Початок теоретичного вирішення цього завдання поклав російський вчений К. Е. Ціолков-ський, який вивів формулу (2.35), що дає змогу розраховувати швидкість ракет. У 1925 р. українській інженер Ю. В. Кондратюк (1897 — 1942) у книзі "Завоювання міжпланетних просторів" запро­понував реальний проект широкої програми освоєння космосу: від ідеї багатоступінчастої ракети, формули навантаження, способу досягнен­ня поверхні великих небесних тіл за допомогою відокремленого від космічного корабля невеликого посадочно-злітного модуля, типів траєкторій — до приземлення за допомогою парашутів та конструкції крісла, що дає змогу витримувати значні перевантаження. Перша

космічна швидкість була досягнута при запуску першого штучного су­путника Землі у 1957 р. під керівництвом видатного українського вче­ного С. П. Корольова (1906 — 1966).

Після історичного польоту Ю.О. Гагаріна у 1961 р. починається бурхливий розвиток космонавтики. У США в 1969 р. був запущений до Місяця космічний корабель "Аполло-9" і за визнанням одного із керівників програми Дж. Хубольта політ і висадку на Місяць перших у світі астронавтів здійснено за "трасою Кондратюка". Іменем Ю. Кон­дратюка названо кратер на Місяці.

Польоти людини навколо Землі і на Місяць та космічних станцій до інших планет Сонячної системи збагатили науку і дали можливість вивчити ближній космічний простір.

У механіці вивчають сили тяжіння, або гравітаційні сили, сили пружності і сили тертя. Гравітаційна сила є проявом закону всесвітнього тяжіння, який сформулював Ньютон: гравітаційне притягання існує між усіма тілами; будь-які два тіла, розміри яких можна знехтувати, притягуються одне до одного з силою, що прямо пропорційна масам цих тіл і обернено пропорційна квадрату відстані між ним (мал. 1):

де G – коефіцієнт пропорційності, що називається гравітаційною сталою і

дорівнює 6,6720*10^-11H*м²/кг²

 

 

			m2

 

Закон всесвітнього тяжіння виконується для точкових тіл, коли їхні лінійні розміри набагато менші від відстані між ними, а також для однорідних куль, наприклад система Земля – Місяць, або однорідна куля і точкове тіло, наприклад обертання штучного супутника (ШСЗ) навколо Землі (мал. 2):

		ШСЗ

 

 

Земля

R

Мал.2.

R+h

 

Між усіма тілами у природі існує гравітаційна взаємодія, проявом якої є сила тяжіння. За певних умов ця сила може виконувати роботу.

Робота сили тяжіння, яка діє на нерухоме тіло в системі відліку, зв’язаній із Землею, дорівнює нулю.

Робота сили тяжіння визначається положенням точок на початку та в кінці руху і не залежить від форми траєкторії.

Робота сили тяжіння під час руху тілі по замкнутій траєкторії дорівнює нулю.

Коли робота сили не залежить від форми траєкторії, а визначається початковим і кінцевим положенням тіла, користуються поняттям потенціальної енергії. Якщо записати формулу для роботи сил тяжіння у формі A=mgh₀-mgh, то побачимо, що робота визначається зміною величини mgh. Ця фізична величина називається: потенціальною енергією тіла, на яке діє сила при тяжіння: En = mgh.

Збільшення потенціальної енергії тіла, на яке діє сила тяжіння, відбувається у разі виконання від’ємної роботи.

З давніх-давен проблеми тертя цікавили людство. Досліджував його, зокрема, видатний художник і вчений епохи відродження Леонардо да Вінчі. Тертя, коли тіла взаємодіють своїми поверхнями, називають зовнішнім. Внутрішнім вважають тертя, що виникає під час руху рідин і газів.

Сила тертя – це сила, що виникає у площині дотику поверхонь двох тіл, які притиснуті одне до одного, і протидіє їх взаємному переміщенню.

Наприклад, двигун автомобіля обертає ведучі колеса. Тертя по землі перешкоджає цьому обертанню, штовхаючи колесо вперед (таким чином, виникає сила тяги автомобіля).

ü Задачі.

ü Самостійно розв’язати задачі:

ü Питання самоконтролю:

1. Спостереження за рухом планет. Геоцентрична та геліоцентрична система світу.

2. Закони Кеплера.

3. Перигелій, афелій, математичний запис третього закона Ньютона.

4. Доцентрові прискорення планет. Закон всесвітнього тяжіння.

5. Сили тяжіння. Характеристики сил тяжіння.

6. Поняття гравітаційної сталої.

7. Гравітаційні та інертні маси.

8. Поле тяжіння. Лінії напруженості поля тяжіння.

9. Принцип суперпозиції(накладання) силових полів.

10. Робота сил поля тяжіння. Потенціал.

11. Застосування законів збереження до руху тіл у центральному гравітаційному полі.

12. Космічні швидкості.

Література:

Посібник №1. Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За ред. І.М. Кучерука. - [2-е вид., випр.] - К.: Техніка, 2006. - 532 с. - Т.1: Механіка. Молекулярна фізика і термодинаміка

Посібник №2. Кучерук Ї.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За пр. І.М. Кучерука. – [2-е вид., ипр..] — К.: Техніка, 2006. – 452 с. – Т.2: Електрика і магнетизм.

Посібник № 3. Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За ред. І.М. Кучерука. - [2-е вид., зипр.] -К.: Техніка, 2006. - 518 с. - Т.З: Оптика. Квантова фізика.

Посібник №4. П.П. Чолпан Основи фізики: навч. Посібник: - К. Вища шк., 1995.- 488 с.: іл.

Посібник №5. І.П. Гаркуша, І.Т. Горбачук, В.П. Курінний та ін.; за заг. ред. І.П. Гаркуші./Загальний курс фізики: Зб. Задач./ К.Техніка,2003.-560с.

Л1. Том1.Частина 1, розділ 6, §6.1-6.7,с.123-142

Л5. Том1,Розділ 6, §6.2, с. 125

Самостійна робота №9