Моменти розподілу. Характеристики форми розподілу

Середнє арифметичне і дисперсія варіаційного ряду є частинними випадками більш загального поняття – моментів статичного розподілу.

Ø Початковим моментом k-го порядку називається величина , яка визначається за формулами:

 

Очевидно, що , тобто середнє арифметичне є початковим моментом 1-го порядку.

Ø Центральним моментом k-го порядку називається величина

 

Очевидно, що , , тобто центральний момент 1-го порядку дорівнює 0, а 2-го – є дисперсією статистичного розподілу.

Ø Коефіцієнтом асиметрії статистичного розподілу називається величина

. (2.19)

Якщо , то розподіл має симетричну форму, тобто варіанти рівновіддалені від мають однакову частоту. При () говорять про додатну (правосторонню) або від’ємну (лівосторонню) асиметрію.

Ø Ексцесом статистичного розподілу називається величина

. (2.20)

Ексцес є показником «крутості» статистичного розподілу у порівнянні з нормальним розподілом. Зауважимо, що ексцес нормально розподіленої випадкової величини дорівнює 0. Якщо (), то полігон варіаційного ряду має більш круту вершину у порівнянні з нормальною кривою.

При розв’язанні практичних задач часто потрібно знайти значення при якому функція розподілу випадкової величини приймає задане значення, тобто потрібно розв’язати рівняння Розв’язок такого рівняння у теорії ймовірностей називається квантилем. Для тих розподілів, для яких у Mathcad представлені вбудовані функції щільності розподілу і функції розподілу, визначені також і функції обчислення квантилів (розділ 1.4).

Приклад 2.1. Розглянемо алгоритм первинної обробки статистичних даних.

Статистична модель. Вибірка одержана із генеральної сукупності, розподіленої за нормальним законом

Побудуємо варіаційний ряд для даної вибірки, визначимо її числові характеристики, знайдемо частотний розподіл для згрупованого варіаційного ряду, також побудуємо гістограму частот.

Для демонстрації алгоритму візьмемо вибірку, згенеровану у вигляді масиву випадкових чисел, розподілених за нормальним законом з параметрами . Вибірку одержимо за допомогою функції Mathcad у вигляді оператора , де об’єм вибірки.

Алгоритм реалізації моделі

● задаємо початкові дані моделі і генеруємо вибірку ;

● утворюємо простий варіаційний ряд шляхом сортування вибірки за зростанням (функція );

● знаходимо мінімальне і максимальне значення варіаційного ряду, визначаємо розмах вибірки знаходимо довжину інтервалів групування варіаційного ряду для заданої кількості інтервалів (функції

● визначаємо масив границь інтервалів групування варіаційного ряду ;

● за допомогою функції знаходимо масив частотного розподілу варіаційного ряду ;

● визначаємо числові характеристики варіаційного ряду: середнє значення дисперсію середнє квадратичне відхилення медіану , моду , коефіцієнт асиметрії ексцес (функції Mathcad

● будуємо гістограму частот і графік щільності теоретичного розподілу;

● визначаємо емпіричну функцію розподілу і будуємо її графік.

Алгоритм у Mathcad

Початкові дані

Моделювання вибірки об’єму із генеральної сукупності розподіленої за нормальним законом з параметрами і одержання варіаційного ряду

Фрагмент варіаційного ряду

Визначення розмаху вибірки

Задання кількості інтервалів групування і визначення довжини інтервалів групування

Визначення масиву границь інтервалів групування

Визначення масиву частотного розподілу варіаційного ряду

Числові характеристики:середнє арифметичне, дисперсія, середнє квадратичне відхилення емпіричного розподілу

Медіана

Модальний інтервал ( номер модального інтервалу) і мода

Коефіцієнт асиметрії

Ексцес

Щільність нормального розподілу з параметрами

Середини інтервалів

Емпірична функція розподілу

Рис.2.1. Гістограма частот і графік щільності нормального розподілу

Рис. 2.2. Графіки емпіричної і теоретичної функцій розподілу F i G

і значення функції розподілу у точці (відмічено знаком +).

Теоретична функція розподілу з параметрами

Значення теоретичної функції розподілу у точці Ме

◄