Тема 4. Расчет статически неопределимых систем

Общие указания

Статически неопределимыми называются системы, силовые факторы в элементах которых определить невозможно при помощи только уравнений статики. В таких системах связей больше, чем необходимо для равновесия. Таким образом, некоторые связи оказываются лишними, а усилие в них – лишними неизвестными. По количеству лишних связей или лишних неизвестных усилий устанавливают степень статической неопределимости системы.

Для выявления степени статической неопределимости рам удобно применить формулу

 

Л = 2Ш + С_оп – 3Д,

 

а для неразрезных балок

 

Л = С_оп – 3.

 

Установив степень статической неопределимости, можно выбирать основную систему, которая получается из заданной путем освобождения ее от лишних связей (Л). Полученная при этом система должна быть геометрически неизменяемой и статически определимой.

Рассмотрим схему расчета статически неопределимых систем методом сил, где в качестве основных неизвестных выбирают усилия лишних связей.

Определение лишних неизвестных производят из канонических уравнений, где лишними неизвестными являются силы, представляющие собой реакции отброшенных связей. Число уравнений равно числу отброшенных связей.

 

1 Для один раз статистически неопределимой системы канонические уравнения имеют вид:

х_і+Δ_іF=0 или δ₁₁∙ x₁ + Δ _1F = 0.

2 Для двух раз статистически неопределимой системы канонические уравнения имеют вид:

.

Использование основной системы уравнений значительно упрощает решение статически неопределимой задачи. Уравнения метода сил носят стандартный каноничный характер, потому что записываются шаблонно для любой системы. Индивидуальность системы отображается в коэффициентах канонического уравнения и характере лишних неизвестных . Характер

 

 

нагрузки или внешнее действие определяются грузовыми коэффициентами , коэффициентом - перемещение в основной системе от сил .

Для определения коэффициентов канонических уравнений и используют интеграл Мора, применяя при этом правило Верещагина или формулу Симпсона. Полученные коэффициенты подставляют в каноническое уравнение метода сил и, решая его, определяют лишние неизвестные x_i.

При подсчете окончательных усилий (M, Q, N) в статически неопределимых системах найденные значения лишних неизвестных следует рассматривать как внешние усилия, прибавленные к основной системе. После того, как лишние неизвестные найдены, решение сводится к расчету основной статически определимой системы на действие внешней нагрузки и ²лишних² неизвестных.

Используя принцип суперпозиций, усилие М можно найти по формуле

 

 

Пример 5

Расчет статически неопределимой балки.

Для заданной схемы балки (рис. 14) построить эпюры Q и M методом сил.

1 Определяем количество лишних связей:

 

Л = С_оп – 3 = 4 – 3 = 1,

 

то есть система имеет одну лишнюю связь.

2 Выбираем основную систему, удалив одну связь на опоре В, и заменяем ее неизвестным х₁ (рис. 14,а).

3 Строим единичную эпюру от для основной системы (рис. 12,б, 12,в).

0≤ x ≤ 8 м

 

МХ = 1 x	x = 0, МХ = 0,
x = 8 м, МХ = 8 м.

 

4 Строим грузовую эпюру от действия внешней нагрузки для основной системы (рис. 14,г, 14,д).

 

0≤ x₁ ≤ 4 м

 

	x1 = 0, МХ1 = 0,
x1 = 2 м, МХ1 = - 4 кНм,
x1 = 4 м, МХ1 = -16 кНм.

 

 

4≤ x ₂ ≤12 м

М_X2= - 2∙4 (x₂ –2),

x₂ = 4м, М_X2 = -16 кНм,

x₂ = 12м, М_Х2 =-80 кНм.

 

5 Составляем каноническое уравнение, определяем его коэффициенты и неизвестную реакцию х₁.

 

 

 

 

 

 

 

х₁ = 11 кН.

 

6 Строим исправленную эпюру (рис. 14,ж).

 

7 Строим результирующую эпюру М (рис.14,з), используя зависимость

 

 

8 Для построения эпюры Q прикладываем к балке внешнюю нагрузку и найденную неизвестную реакцию х₁ = 11 кН (рис. 14,к, 14,л).

 

0 ≤ х₃ ≤ 4 м

Qy = 2 x3	x3 = 0, Qy = 0,
x3 = 4 м, Qy = 8 кН.

 

4 ≤ х₄ ≤ 12 м

Q_y = + 2 ∙ 4 – 11 = – 3 кН.

Пример 6. Расчет статически неопределимой рамы.

Для заданной статически неопределимой рамы (рис. 15,а) по методу сил построить эпюры M, Q, N.

Расчет выполняем в той же последовательности, что и в примере 5.

1 Степень статической неопределимости:

Л = 2Ш + С_оп – 3Д = 2 ∙ 0 + 4 – 3 ∙ 1 = 1,

то есть система имеет одну лишнюю связь.

2 Выбираем основную систему, удалив одну связь (рис. 15,б).

3 Строим единичную эпюру и грузовую эпюру M_F для основной системы (рис. 16,а, 16,б, 17,а, 17,б).

 

Рисунок 15

 

Рисунок 16

 

0 ≤ х ≤ 6 м

= 1 ∙ x	x = 0, = 0,
x = 6 м, = 6 м.

 

0 ≤ у₁≤ 4 м

= + 1 ∙ 6 = 6 м.

 

0 ≤ х₁ ≤ 6 м

	x1 = 0, МF = 0,
x1 = 6 м, МF = - 36 кНм,
x1 = 3 м, МF = - 9 кНм.

 

0 ≤ у₂ ≤ 2 м

	y1 = 0, МF = 0,
y1 = 2 м, МF = + 10 кНм,

 

0 ≤ у₃ ≤ 4 м

	y3 = 0, МF = - 26 кНм,
y1 = 4 м, МF = - 6 кНм.

 

 

Рисунок 17

 

4 Составляем каноническое уравнение, определяем коэффициенты , и неизвестное :

;

.

.

 

; x₁ = 2,6 кН.

5 Строим результирующую эпюру моментов, используя зависимость (рис. 18).

Рисунок 18

 

6 Строим эпюры Q и N (рис. 20). Для этого к основной системе прикладываем внешнюю нагрузку и полученное усилие x₁ = 2,6 кН (рис. 19).

0 ≤ у₁ ≤ 4 м

Q = 0, N = - 2,6 кН.

 

0 ≤ у₂ ≤ 2 м

Q = - 5 кН, N = 0 кН.

 

0 ≤ у₃ ≤ 4 м

Q = - 5 кН, N = – 12+ 2,6 = -9,4 кН.

 

0 ≤ х₁ ≤ 6 м

Q = –2,6+2∙x1	x1 = 0, Q = –2,6 кН,
x1 = 6 м, Q = 9,4 кН,

N = 0

 

Рисунок 20

 

7 Проверка результирующих эпюр из условий равновесия.

Эпюра М Эпюры Q и N

 

Узел 1 Узел 1

 

 

∑M₁ = + 36 – 10 – 26 =0. ∑X = + 5 – 5 =0,

∑Y = + 9.4 – 9.4 =0.

Узел 2 М = 0. Узел 2

 

 

∑Y = + 2.6 – 2.6 =0.

 

 

Расчетно-графическое задание №5