Определение перемещений в статически определимых системах

Для заданных схем балок и рам (рис 5.1 и 5.2) с размерами и нагрузками приведенными в таблице 8, которые отвечают шифру студента по формуле Мора или по правилу Верещагина О.М., необходимо:

- построить изогнутую ось балки и вычислить угол поворота на консоли;

- для схемы ломаного бруса (рамы) определить линейное перемещение поперечного сечения А и угол поворота поперечного сечения В.

 

Таблица 8

Номер строки	Нагрузки и размеры
F1, (кН)	F2, (кН)	М,(кНм)	q, (кН/м)	а, (м)	b, (м)	с, (м)
				2

 

 

Рисунок 5.1

 

Рисунок 5.2

Пример. Для заданной схемы балки (рис. 5.3) построить изогнутую ось балки и определить угол поворота в точке D, EI_z - const.

1 Строим эпюру моментов от действия внешней нагрузки М_F.

SM _A = 0,

R_B×10 + 8 - 15×12 - 2×2×11 = 0,

R_B = 21,6 кH.

SM _B = 0,

R_A×10 - 8 + 15×2 + 2×2×1 = 0,

R_A = - 2,6 кH.

SY = 0,

-2,6 + 21,6 -2×2 - 15 = 0.

 

0≤ x ₁ ≤10 м

M_F=-8-2,6×x₁,

x₁=0, M_F=-8 кНм,

x₁=5м, M_F=-21 кНм,

x₁=10м, M_F=-34 кНм.

 

0≤ x ₂ ≤2 м

M_F=-15х₂-2x₂(х₂/2) =-15х₂- ,

x₂=0, M_F= 0,

x₂=1м, M_F=-16 кНм,

x₂=2м, M_F=-34 кНм.

2 Построение линии прогибов. Для этого определяем перемещения в вертикальном направлении для характерных точек С и D.

а) в точке С прикладываем силу F = 1 рис. 5.3(а). От действия этой силы строим эпюру .

R_A = R_B = 0,5.

 

0≤ x ₃ ≤5 м

= 0,5x₃

Рисунок 5.3 x₃=0, = 0, x₃=5м, =2,5 м.

 

 

Определяем перемещение в точке С путем перемножения эпюры M_F и на одноименных участках по правилу Верещагина с использованием таблицы 1.

б) в точке D прикладываем силу F=1 см. рис. 5.3(б). От действия этой силы строим эпюру .

SМ_В = 0, ,

 

0≤ x ₄ ≤10 м 0≤ x ₅ ≤2 м

= -0,2 x₄, = -1 x₅,

x₄ = 0, = 0, x₅ = 0, = 0,

x₄ = 10 м, = -2 м, x₅ = 2 м, = -2 м.

Перемножая эпюры M_F и определяем перемещение в точке С.

 

Для построения изогнутой оси балки проводим линию, параллельную оси балки и в выбранном масштабе откладываем полученные значения перемещений в точках С и D. Необходимо помнить, если перемещение со знаком минус, то оно откладывается в направлении, противоположном единичной силе, а на опорах А и В вертикальные перемещения равняются нулю. Соединив плавной кривой полученные четыре точки получим изогнутую ось балки или линию изгиба см. рис. 5.3(в).

 

3 Вычисляем угол поворота в точке D. Для этого прикладываем единичный момент М = 1 в этой точке и строим эпюру см. рис. 5.3(г).

SМ_В = 0, - ,

 

0≤ x ₆ ≤10 м 0≤ x ₇ ≤2 м

= -0,1 x₆, = -1.

x₆ = 0, = 0,

x₆ = 10, = -1,

 

Перемножив эпюры M_F и , определяем угол поворота сечения в точке D.

Знак «плюс» указывает на то, что поворот сечения в точке D осуществляется по часовой стрелке, то есть в направлении единичного момента.

 

Пример. Для заданной схемы рамы (рис.5.4) определить линейное перемещение поперечного сечения А и угол поворота поперечного сечения В.

 

Последовательность решения этой задачи такая же, как и в предыдущем примере.

1 Определяем опорные реакции и строим эпюру от внешней нагрузки M_F (рис.5.5).

∑X=0,

- H_c - 70·5 = 0, H_c = - 350 кН.

 

∑ М _c =0,

-R_B·5+70·5·2,5+70·3,6·1,8 = 0, R_В = 266 кН.

 

Рисунок 5.4 ∑Y=0,

-R_C-70·3,6-266 = 0, R_C = 518 кН.

0≤x ₁ ≤3,6м

x1=0, MF=0, x1=3,6 MF=-454 кНм.

M_F=-70· ,

 

0≤x ₂ ≤5м

	x2=0, MF=0, x2=5 MF=-1330 кНм.

M_F=-266·x₂,

 

 

0≤ y ₁ ≤5 м

y1=0, MF= 0, y1=5м, MF=-876 кНм. y1=2,5м, MF=-656 кНм.

M_F= + 350×y₁ - 70×(),

Рисунок 5.5

 

2 Вычисляем линейное вертикальное перемещение в точке А (рис.5.6).

Для этого в точке А прикладываем вертикально силу F = 1 и от ее действия строим эпюру . Полученную эпюру умножаем на эпюру M_F на одноименных элементах.

SM _C = 0,

R_B×5 - 1×3,6 = 0, R_B = 0,72.

 

SY = 0,

-R_C + 0,7 + 1 = 0, R_C = 1,72.

0≤ x ₁ ≤3,6 м

= 1×х₁,

x₁=0, = 0,

x₁=3,6м, =3,6 м.

0≤ x ₂ ≤5 м

=0,72×х₂,

x₂=0, = 0,

x₂=5м, =3,6 м.

Рисунок 5.6

Знак ²минус² указывает на то, что перемещение сечения в точке А происходит в направлении, противоположном единичной силе.

 

3 Определяем угол поворота поперечного сечения в точке В. Для этого в точке В прикладываем момент М = 1 и строим эпюру (рис. 5.7). Для определения угла поворота сечения перемножаем эпюры M_F и .

SM _C = 0,

R_B×5 - 1 = 0, R_B = 0,2.

S M _В = 0,

Н_C×5 - 0,2×5 + 1 = 0, Н_C = 0.

0≤ x ₁ ≤5 м

= +1 – 0,2×х₁, x₁=0, = +1,

x₁=5м, = 0 м.

 

То есть поворот сечения на опоре В происходит по часовой стрелке.

 

 

Рисунок 5.7

 

 

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 9

Определение перемещений

Для заданной схемы рамы (рис. 5.8) найти вертикальное перемещение сечения А - V_а и угол поворота сечения В - Ө_в от действия равномерно распределенной нагрузки с интенсивностью - g и сосредоточенной силой

F = .

Данные берем из таблицы 9.

Таблица 9

Номер строки	Исходные данные
ℓ(м)	α	g (кН/м)
	4,0	1,4
	3,9	1,3
	3,8	1,2
	3,6	1,1
	3,4	1,0
	3,2	0,9
	3,0	0,8
	2,8	0,6
	2,6	1,4
	2,4	1,2

Рисунок 5.8

Пример. Для заданной рамы (рис. 5.9) вычислить вертикальное перемещение сечения А-V_а и угол поворота сечения В - Ө_в .

1. Строим эпюру от внешней нагрузки М _F (рис 5.10)

0 ≤ x₁ ≤ 2,9м

М_F=-52 = = -26 х₁²

 

0 ≤ y₁ ≤ 2,9м

М _F = -62 y₁

Рисунок 5.9

0 ≤ x₂ ≤ 2,4м

М_F =62·2,9-

x₂ = 0 М _F = -38,8 кН·м

x₂ = 2,4м М _F = -550,5 кН·м

2. Вычисляем вертикальное пере-мещение в точке А-V_а.

Для этого в точке А прикладываем вертикально силу F = 1 и от ее действия строим эпюру (рис. 5.11). Полученную эпюру

умножаем на эпюру М_F на

Рисунок 5.10 одноименных элементах.

Рисунок 5.11

0 ≤ Х₁ ≤ 2,4м

 

= +1· x₁

 

При перемножении эпюр используем правило Верещагина.

Знак „минус” указывает на то, что перемещение сечения в точке А происходит в направлении противоположном единичной силе.

3 Определяем угол поворота поперечного сечения в точке В. Для этого в точке В прикладываем момент М = 1 и строим эпюру (рис. 5.12).

Для определения угла поворота сечения - Ө_в, перемножаем эпюры М _F (рис. 5.10) и по правилу Верещагина.

 

 

Рисунок 5.12

0 ≤ Х₂ ≤ 5,3м

__

М_В = +1

То есть поворот сечения в точке В происходит по часовой стрелке.