Построить изогнутую ось балки с использованием уравнения метода начальных параметров

Для схемы балки из расчетно-графического задания № 6 (рис. 3.7), с размерами и нагрузками, которые следует взять соответственно собственному шифру из таблицы 6 необходимо во всех характерных сечениях определить прогибы и построить изогнутую ось балки.

Пример. Для заданной балки (рис. 4.2) построить изогнутую ось.

 

1 Выбираем начало координат в т. В.

2 Разбиваем балку на участки (рис.4.2).

3 Составляем уравнение прогибов для каждого участка методом начальных параметров.

Определяем начальные параметры:

V₀ = 0, Ө₀ =?, М₀ = 0, Q₀ = -1,2 кН

0 ≤ Х₁ ≤ 2,6м

ЕI_zV₁ = ЕI_zӨ₀·х₁ – 1,2

2,6 ≤ Х₂ ≤ 5,1м

5,1 ≤ Х₃ ≤ 7,9м

Рисунок 4.2

4 Находим Θ₀ из условия опирания на опоре А, то есть при х₂ = 5,1м → → ЕI_zV₂ = 0

0= ЕI_хΘ₀·5,1 – 1,2

ЕI_хΘ₀ = +10,3 рад.

Знак «плюс»указывает на то, что поворот сечения на опоре В происходит по часовой стрелке (рис. 4.1)

5 Определяем прогибы в характерных точках и строим изогнутую ось балки.

При х₁ = 2,6м

ЕI_zV₁ = 10,3·2,6-1,2 = +23,28, V₁ = + (м)

При х₃ = 7,9м

V3 = (м).

Для построения изогнутой оси балки проводим линию параллельную оси балки и в выбранном масштабе откладываем полученные значения прогибов в характерных точках

С – V₁ = (м); D - V₃ = (м), при этом используем правило знаков указанное на рис. 4.1.

На опорах А и В вертикальные перемещения равняются нулю. Соединив плавной кривой отложенные четыре точки получим изогнутую ось балки (рис. 4.2) или линию прогибов.

При расчетах перемещений величину жесткости при изгибе ЕI_z оставить в буквенном виде.

 

ТЕМА 5. Определение перемещений в статически определимых системах

 

Одной из основных задач при расчете стержневых систем является определение перемещений отдельных точек системы. Если известны перемещения ряда точек, можно представить деформацию всей конструкции в целом и установить ее пригодность к эксплуатации.

Формула Мора является универсальной для определения перемещений в стержневых системах

.

Для определения перемещений по формуле Мора необходимо определить величину изгибающего момента М для двух состояний системы: от действия внешней нагрузки и от действия единичного фактора . Указанные величины, как правило, изменяются по длине каждого стержня.

Следует отметить, что единичные факторы прибавляются к системе в том направлении, в котором определяется перемещение. Таким образом, для определения линейного перемещения в точке, в которой определяется перемещение, прикладывается единичная сила, а если необходимо определить угол поворота сечения, то прикладывается момент, который равняется единице.

Если после подсчетов получим результат со знаком ²минус², это будет означать, что предположение о направлении перемещения является ошибочным. Действительное перемещение в этом случае осуществляется в направлении, противоположном действию единичной силы или момента.

Алгоритм определения перемещений по методу Мора заключается в следующем:

1 Строят вспомогательную систему, которую нагружают единичными обобщенными силами в точке, где необходимо определить перемещение.

2 Для каждого участка системы составляют выражения силового фактора МF и вспомогательного .

3 Вычисляют интегралы Мора по каждому участку, складывая их, получают искомое перемещение.

Учитывая, что МF и изменяются по длине каждого стержня, целесообразно построить эпюры от нагрузки МF и от единичной силы .

Вычисление интеграла Мора существенно упрощается, если одна из эпюр (в действительном состоянии или единичном) прямолинейна.

В этом случае перемещения можно определить по правилу О.М. Верещагина

В случае прямолинейной и криволинейной эпюры, берется площадь криволинейной эпюры, а ордината - на прямолинейной под центром тяжести криволинейной. Если эпюра М_F имеет сложный вид, то ее можно разделить на простые фигуры, для которых несложно определить площадь и положение центра тяжести. При этом каждую из площадей умножают на ординату единичной эпюры под центром тяжести соответствующей площади. В тех случаях, когда обе эпюры прямолинейные, можно перемножать площадь любой из них на ординату другой.

При вычислении перемещений по правилу Верещагина можно пользоваться готовыми формулами для некоторых наиболее типичных видов эпюр моментов, что часто встречается на практике. В таблице 7 приведено несколько таких типов эпюр и результаты подсчетов по правилу Верещагина.

Для построения изогнутой оси балки в характерных точках определяют вертикальные перемещения, откладывают их, в принятом масштабе, от оси балки. Соединяя полученные точки плавной кривой получают изогнутую ось балки.

При подсчетах перемещений величину жесткости при изгибе EI_z необходимо оставить в буквенном виде, потому что в исходных данных размеры поперечного сечения не предоставлены.

 

 

Таблица 7

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 8