Когерентные состояния электромагнитного поля

Помимо введенных ранее энергетических, координатных и импульсных состояний электромагнитного поля, важную роль играют также когерентные состояния , определяемые равенством

, (2.67)

где –– произвольное комплексное число, которое будем называть параметром когерентного состояния. Определение (2.67) можно переписать в эквивалентной форме через бра-вектор и оператор рождения фотона:

. (2.68)

Здесь и далее будем опускать индекс моды . Когерентные состояния обладают непрерывным спектром, их собственные векторы образуют полный набор, но не ортогональны друг к другу. Можно показать, что модуль их скалярного произведения равен

. (2.69)

Физический смысл действительной и мнимой части параметра легко установить, если выразить оператор уничтожения фотона в определении (2.67) через операторы безразмерной обобщенной координаты и импульса по формуле (2.47) и затем умножить полученное выражение слева на бра-вектор . В результате имеем

, (2.70)

. (2.71)

Вычислим теперь среднее по когерентному состоянию от оператора числа фотонов . Пользуясь формулами (2.67) и (2.68), легко находим

. (2.72)

Пользуясь полнотой системы собственных векторов энергетических состояний, разложим по ним собственный вектор когерентного состояния. В соответствии с общей формулой (2.16) имеем

. (2.73)

Задача состоит в определении коэффициентом разложения . Для этого воспользуемся соотношением

, (2.74)

которое легко получить из определения оператора рождения фотона (2.18), подействовав им раз на вакуумное состояние поля . Из формулы (2.34) следует выражение для бра-вектора состояния , получающееся взятием эрмитовского сопряжения от обеих частей равенства (2.74). С учетом этого для коэффициента разложения находим

. (2.75)

При записи второго равенства в (2.75) был использован тот факт, что вектор когерентного состояния по определению (2.67) является собственным вектором оператора . Осталось определить величину . Это можно сделать, воспользовавшись условием полноты:

. (2.76)

В формуле (2.76) использовано равенство (2.39) для вероятности обнаружить фотонов в когерентном состоянии . Физический смысл (2.76) очевиден: полная вероятность обнаружить любое число фотонов в когерентном состоянии равняется единице. Подставляя (2.75) в формулу (2.76), находим для искомой величины выражение

. (2.77)

При записи правой части равенства (2.77) опущен несущественный для нашего изложения фазовый множитель.

Итак, разложение (2.73) имеет следующий вид:

. (2.78)

Отсюда, в частности, следует выражение для вероятности :

. (2.79)

Таким образом, вероятность обнаружения заданного числа фотонов в когерентном состоянии дается распределением Пуассона (2.79). Оно может быть переписано через среднее число фотонов, задаваемое формулой (2.72), в виде

. (2.80)

Как известно, дисперсия случайной величины, описываемой распределением Пуассона, равняется среднему значению этой величины, так что в нашем случае .

Рассмотрим теперь временную эволюцию когерентного состояния свободного электромагнитного поля. Воспользуемся для этого равенством (2.36), подставив в его правую часть полученное разложение когерентного состояния по энергетическим состояниям (2.78). Тогда с учетом равенства (2.37) находим

(2.81)

Итак, свободная эволюция электромагнитного поля во времени не изменяет характера когерентного состояния, а приводит лишь к временной эволюции параметра состояния . Другими словами, с течением времени продолжает выполняться равенство (2.67) с заменой . Этим свойством когерентные и энергетические состояния отличаются от координатных и импульсных. Действительно, можно показать, что последние типы состояний нарушаются временной эволюцией поля, т.е. перестают удовлетворять своему определению (2.52), (2.53).

Чтобы выяснить другое важнейшее характеристическое свойство когерентного состояния, установим явное выражение для его собственного вектора в координатном и импульсном представлении, т.е. найдем функции и . Для этого используем явный вид оператора уничтожения фотона в координатном представлении, следующий из формул (2.47), (2.42) –– (2.43) и (2.51): . Тогда уравнение (2.67) сводится к следующему:

. (2.82)

Решение данного уравнения может быть представлено в виде

, (2.83)

где . При записи правой части равенства (2.83) было использовано выражение (2.70). Аналогично (2.83) можно получить следующее выражение для собственного вектора когерентного состояния поля в импульсном представлении:

, . (2.84)

Для вероятностей обнаружить фиксированное значение обобщенной (безразмерной) координаты и фиксированное значение обобщенного (безразмерного) импульса в когерентном состоянии электромагнитного поля из (2.83) –– (2.84) имеем

, (2.85)

. (2.86)

Итак, в когерентном состоянии электромагнитного поля вероятность обнаружить заданное значение обобщенной координаты и импульса описывается распределением Гаусса, которое для безразмерных величин обладает дисперсией , т.е. и . Отсюда следует, что произведение квантово-механических неопределенностей обобщенной координаты и обобщенного импульса в когерентном состоянии поля равно

, (2.87)

т.е. согласно неравенству (2.60) достигает своей наименьшей величины. Это и есть характеристическое свойство когерентного состояния. Из него, в частности, следует, что когерентное состояние поля наиболее близко к классическому электромагнитному полю, для которого все квантово-механические неопределенности по определению равны нулю. Отметим, что лазерное электромагнитное поле лучше всего аппроксимируется когерентным состоянием.

Определим теперь энергетические состояния поля в координатном представлении, т.е. явный вид векторов . Для этого удобно начать с определения собственного вектора вакуумного состояния электромагнитного поля . Воспользуемся уравнением (2.29), которое в случае одной моды поля имеет вид

, (2.88)

где

(2.89)

–– гамильтониан поля в координатном представлении, явный вид которого следует из формул (2.42) –– (2.43), (2.51) и (2.61). Из равенств (2.88) –– (2.89) вытекает уравнение на собственный вектор энергетического состояния поля :

. (2.90)

Легко проверить, что для уравнение (2.90) имеет следующее решение:

. (2.91)

Множитель перед экспонентой в правой части (2.91) определяется из условия нормировки собственного вектора. Обратим внимание на то, что вакуумное энергетическое состояние (2.91) совпадает с когерентным состоянием поля (2.83), если параметр когерентного состояния равен нулю: . Действительно, тогда среднее значение обобщенной координаты тоже равно нулю: , и правая часть равенства (2.83) совпадает с правой частью (2.91), если положить .

Зная вакуумный вектор (2.91), можно получить все остальные векторы энергетических состояний поля, если воспользоваться равенством (2.74) и выражением для оператора рождения фотона в координатном представлении: . В результате имеем для энергетического состояния поля в координатном представлении равенство

, (2.92)

где символ обозначает оператор , примененный раз к стоящей справа от него функции.

Интересно проследить временную эволюцию когерентного состояния свободного электромагнитного поля в координатном и импульсном представлениях. Для этого достаточно воспользоваться равенствами (2.81), (2.83) –– (2.84) и (2.70) –– (2.71). Из (2.70) –– (2.71) и (2.81) следует временная зависимость средних значений обобщенной координаты и обобщенного импульса в когерентном состоянии:

, (2.93)

, (2.94)

где –– величина параметра когерентного состояния поля в начальный момент времени. С учетом (2.81) из (2.83) –– (2.84) получаем

, (2.95)

, (2.96)

где зависящие от времени средние значения координат и импульсов поля даются равенствами (2.93) –– (2.94).

Интересно изобразить возможные состояния электромагнитного поля на фазовой плоскости . На этой плоскости координатные состояния поля изобразятся вертикальными прямыми с абсциссой, равной заданному значению обобщенной координаты и полностью неопределенным импульсом. Аналогично импульсные состояния будут представлены горизонтальными прямыми с фиксированным значением импульса и полностью неопределенной координатой. Энергетическим состояниям (Фоковским) будут соответствовать окружности с центром в начале координат и радиусом, равным . В соответствии с формулами (2.83) –– (2.84) когерентные состояния поля на плоскости представляются кругами с радиусом . Центры этих кругов располагаются на окружности с центром в начале координат и радиусом, равным . Существуют еще фазовые состояния электромагнитного поля, в которых фиксирована фаза поля и полностью не определена его энергия. Эти состояния изобразятся лучами, исходящими из начала координат. Заметим, что в энергетических состояниях поля, наоборот, фиксирована энергия и полностью не определена фаза. Это является отражением того факта, что фаза и энергия поля (так же, как координата и импульс) являются сопряженными параметрами, связанными соотношением неопределенности типа (2.60). Наконец, вакуумное состояние поля будет представлено на фазовой плоскости кругом радиуса с центром в начале координат. Как отмечалось выше, это последнее состояние одновременно является энергетическим с числом фотонов, равным нулю, и когерентным с нулевым параметром .

В последнее время обсуждается возможность реализации так называемых сжатых состояний поля. В них квантовые флуктуации обобщенной координаты или обобщенного импульса могут быть меньше своих вакуумных значений (равных для безразмерных величин и ).

Лекция 8 Сжатые состояния электромагнитного поля

СЖАТОЕ СОСТОЯНИЕ электромагнитного поля - состояние поля, при котором дисперсии флуктуации канонически сопряжённых компонент поля не равны. Возможны классические и квантовые С. с. В первом случае оказываются неравными дисперсии квадратур классических флуктуации; для квантового С. с. дисперсия любой одной канонически сопряжённой компоненты меньше дисперсии в когерентном состоянии. Понятие С. с. возникло в процессе изучения (1960-70-е гг.) статистических характеристик излучения (долазерные эксперименты по корреляциям интенсивности), детального исследования необычных свойств лазерного света. Различают С. с. квадратурносжатые и состояния с подавленными флуктуациями числа фотонов или фазы.

Для когерентного состояния поля характерно пуассоновское распределение фотонов с дисперсией

В поле с меньшей дисперсией квантовые флуктуации интенсивности подавлены, статистика фотоотсчётов сглажена во времени. В этом случае распределение фотонов более узкое, чем пуассоновское, и такое поле называется с у б п у а с с о н о в с к и м. Уровень шума детектирования излучения с субпуассоновской статистикой фотонов оказывается ниже уровня дробового шума. Поэтому использование электромагнитных полей с субпуассоновской статистикой представляет интерес для высокочувствительных и высокоточных измерений, в оптической связи и спектроскопии.

Схематичное представление С. с. на фазовой плоскости дано на рис. 1. Векторами обозначены средние амплитуды, пунктиром - область неопределённости когеренткого состояния, эллипсами - области неопределённости С. с. При соответствующей ориентации эллипса сжатия относительно регулярной составляющей поля возможно подавление как амплитудных (рис. 1,б), так и фазовых (рис. 1,в) флуктуации.

Рис. 1. Схематичное представление сжатых состояний электромагнитного поля на фазовой плоскости: а - произвольная ориентация эллипса сжатия; б - подавлены амплитудные флуктуации; в - подавлены фазовые флуктуации.

В квантовой оптике напряжённость одномодового электрического поля описывается оператором

Где и - операторы квадратур:

ω- частота, k - волновое число, z -направление распространения излучения, С = const, а и а⁺ - операторы уничтожения и рождения фотона. Операторы квадратур удовлетворяют коммутационным соотношению , а их дисперсии , - соотношению неопределённостей

, - вектор состояния поля, - квантовомеханич. усреднение. В когерентном и вакуумном состояниях В квантовом С. с. флуктуации одной из квадратур, напр., , тогда как или наоборот.

В случае классической флуктуации операторы а, а⁺ заменяются комплексными амплитудами А, А*, при этом квадратуры

При классическом сжатии

Поля в С. с. являются периодически нестационарными, в чём легко убедиться, используя классическое описание. Полагая квадратуры некоррелированными, для средней интенсивности поля имеем:

Методы получения сжатых состояний основываются на нелинейных радиофизических и оптических процессах. В оптике С. с. могут возникать в трёх- и четырёхчастотных параметрическом взаимодействиях, при генерации высших гармоник, в эффектах самовоздействия, комбинационном рассеянии, многофотонных процессах и т. п. Возможно также непосредственное создание высокостабильных лазерных источников излучения, в которых подавление квантовых флуктуации осуществляется либо депрессией шумов накачки, либо введением отрицательной обратной связи.

Преобразование вакуумного или когерентного состояния, которому соответствуют операторы а и а⁺, в сжатое (соответственно операторы b и b +)описывается операторным уравнением в представлении Гейзенберга:

где и v - постоянные, удовлетворяющие соотношению . Тогда дисперсии флуктуации квадратурных компонент

Преобразование вакуумного состояния в сжатое иначе можно записать как:

где - вектор вакуумного состояния, а - операторы смещения и сжатия:

и - в общем случае комплексные числа.

Состояние принято называть вакуумным С. с. ( = 0).

С. с. возникает, например, при вырожденном параметрическом взаимодействии. В поле интенсивной классической накачки параметрическое усиление слабого сигнала описывается уравнением для операторов в представлении Гейзенберга:

где - комплексный коэффициент, зависящий от нелинейных свойств среды и амплитуды накачки. Решение (5) имеет вид:

где , а операторы а₀ и - параметры на входе нелинейной среды.

Операторы квадратур преобразуются следующим образом:

Аналогичные соотношения получаются и при полностью классическом описании параметрического усиления (с заменой операторов комплексными амплитудами). Согласно (7), дисперсии квадратур при

а при

Поведение квадратур, т. о., существенно зависит от фазы накачки . Фазовая селективность рассматриваемого параметрического процесса - важнейшая его особенность, исследованная в радиодиапазоне в начале 1960-х гг. Тогда же были продемонстрированы возможности управления статистическими характеристиками электромагнитных полей, снижения уровня фазовых флуктуации, улучшения характеристик систем выделения сигнала из шума. Действительно, при соответствующей ориентации эллипса сжатия на фазовой плоскости, регулируемой выбором фазы накачки, подавление флуктуации квадратуры приводит к снижению фазовых флуктуации. Это просто показать на примере классического С. с. Пусть напряжённость поля (эллипс ориентирован вдоль оси X)

или

где

Флуктуации фазы связаны с флуктуациями квадратуры Y. Подавление флуктуации приводит к изменению функции распределения фазы . В связи с этим основной метод исследования С. с. в радиодиапазоне состоит в измерении распределения .

К возникновению С. с. приводит также эффект с а м о в о з д е и с т в и я. При распространении излучения в среде с кубичной нелинейностью появляется фазовая добавка, пропорц. числу фотонов (эффект фазовой самомодуляции света). Для одномодового излучения этот эффект описывается ур-нием

где коэф. определяется кубичной нелинейностью среды. В случае исходного когерентного состояния с амплитудой , где - собств. значение оператора , и оптим. фазы сигнала , удовлетворяющей соотношению , , минимальная дисперсия квадратуры

При этом дисперсия второй квадратуры максимальна:

При нелинейном оптическом преобразовании (11) статистика фотонов не меняется: . Однако интерференция поля, находящегося в когерентном состоянии, с полем, преобразованным согласно (11), позволяет получить излучение с субпуассоновской статистикой.

Для регистрации С. с. оптического излучения обычно используется балансное гомодинное детектирование (рис. 2). Сжатый свет, которому соответствуют операторы , смешивается с мощным когерентным излучением гетеродина (операторы ). Операторы уничтожения, описывающие излучение в каждом из каналов (индексы «1» и «2») после смешения, имеют вид:

Рис. 2. Схема балансного гомодинного фотодетектирования: 1 и 2 - фотоприёмники в каналах.

Для фотоприёмников с единичным квантовым выходом оператор разностного фототока равен

Приближённая часть выражения соответствует излучению гетеродина в случае, когда его можно описывать классически: . Подбором фазы гетеродина можно добиться того, чтобы разностный фототок определялся лишь одной из квадратур регистрируемого поля, напр.

а его дисперсия - дисперсией этой квадратуры:

Если на входе гетеродина излучение в С. с. отсутствует, то дисперсия определяется вакуумными флуктуациями и уровень дробового шума описывается формулой Шоттки. При подаче на смеситель излучения в С. с. уменьшается дробовой шум детектирования. Др. способ исследования С. с. базируется на регистрации усиленной квадратуры компоненты. При сильном сжатии классич. и многомодовые квантовые С. с. обладают фазосопряжённым спектром, т. е. фазы фурье-компонент поля, расположенных симметрично относительно ср. частоты, комплексно сопряжены (равны по абсолютной величине, но имеют разные знаки). Это свойство приводит к тому, что при удвоении частоты широкополосного спектра С. с. в спектре второй гармоники формируется очень узкий пик. Квантовая трактовка этого явления - смешение коррелированных пар фотонов, рождаемых при параметрической люминесценции.

Рис. 3. Схема эксперимента по генерации сжатых состояний: задающий лазер генерирует излучение на длине волны = 1,06 мкм (сплошные линии) и на = 0,53мкм (штриховая линия); перемещением одного из плоских зеркал вносится фазовая задержка ; П - поляризатор; 3 - зеркало; Ф - фотодиод; АС - анализатор спектра; ПГС - параметрический генератор света.

Ярким подтверждением существования квантовых С. с. явился эксперимент, схема которого приведена на рис. 3. Здесь реализовано коллинеарное трёхфотонное параметрическое взаимодействие в оптическом резонаторе в допороговом режиме. Излучение накачки ( 0,53 мкм), представляющее собой вторую гармонику задающего лазера на гранате с неодимом, поступает в резонатор, где генерируется С. с. на = 1,06 мкм. Одновременно излучение задающего лазера с =1,06 мкм отщепляется от основного пучка и смешивается с излучением в С. с. в схеме балансного гомодинного детектирования. Основной результат эксперимента, заключающийся в появлении провалов под уровнем дробового шума, представлен на рис. 4, где изображена зависимость напряжения шума фототока от фазы гетеродина. Глубина провалов составляет прибл. 50%.

Рис. 4. Зависимость напряжения шумов разностного фототока от фазы гетеродина: а - область квантовой неопределённости; б - результат эксперимента. Пунктирными линиями показан уровень дробового шума и соответствующее ему вакуумное состояние (его область квантовой неопределённости).

Основными причинами, препятствующими достижению глубокого сжатия, кроме техн. шумов являются любые потери излучения (в т. ч. и вследствие неединичного квантового выхода фотоприёмников), а также многомодовость реальных световых пучков, ограниченных как в пространстве, так и во времени. Деструктивная роль потерь объясняется их вероятностным характером: из пучка с нек-рой вероятностью осуществляется изъятие априорно неизвестных фотонов, и их поток, первоначально определённым образом упорядоченный, приобретает случайный характер, что и снижает глубину сжатия, В многомодовом излучении каждая мода может быть «сжата» по-своему, т. е. иметь разл. эффективность и ориентацию эллипса сжатия на фазовой плоскости. Поскольку при регистрации происходит аддитивное сложение мод, в результирующей картине возникает «размазывание» сжатия. Тем не менее, возможно появление С. с. в сверхкоротких импульсах, спектр сжатия которых широкополосный. Это выгодно отличается от генерации С. с. в резонаторах, где сжатие проявляется лишь до диапазона МГц.

Эффективное формирование импульсов сжатого света возможно в процессе параметрического усиления в поле импульсной накачки, а также в оптических солитонах за счёт фазовой самомодуляции, необходимой для их формирования.

С. с. эл--магн. поля достигается также подавлением квантовых флуктуации в лазерах, при этом, как правило, генерируется свет с субпуассоновской статистикой фотонов, являющийся частным случаем С. с. Между интенсивностью генерируемого излучения и накачкой устанавливают отрицат. обратную связь. Здесь необходимо применение методов квантовых невозмущающих измерений интенсивности, чтобы не разрушить актом измерения субпуассоновского состояния. Возможны, напр., два варианта реализации таких измерений. Первый предполагает использование среды с кубичной нелинейностью, в которой при распространении генерируемого излучения осуществляется фазовая самомодуляция. Возникающий нелинейный фазовый набег регистрируется при прохождении той же среды слабым пробным пучком с последующим его гетеродинированием. В результате фазовая модуляция пробного пучка переходит в амплитудную, которая и используется в линии отрицательной обратной связи лазерной накачки. Второй вариант заключается в управлении накачкой невырожденного параметрич. генератора. При этом используется жёсткая взаимная корреляция фотонов в сигнальной и холостой волнах: они рождаются только одновременно. Фототок детектора, регистрирующего холостую волну, поступает в линию отрицат. обратной связи, регулирующей мощность накачки, тем самым стабилизируя амплитуду сигнальной волны. Последнее и приводит к возникновению в ней субпуассоновской статистики фотонов.

Генерировать субпуассоновский свет можно также стабилизируя квантовые флуктуации тока накачки полупроводникового лазера. Достичь субпуассоновской статистики электрич. сигнала (электронов) сравнительно несложно, напр. с помощью эффекта Кулона в электронно-лучевой трубке. При высокой эффективности преобразования заряженных частиц тока накачки в испускаемые фотоны (неединичная эффективность эквивалентна потерям) субпуассоновское состояние накачки переходит в генерируемый свет, т. е. из радиодиапазона в оптический. Можно использовать и обратный фотоэффект Франка - Герца, однако эффективность преобразования при этом оказывается ниже.

Подавление шума, связанного с созданием инверсной населённости в лазере, достигается также применением мощной импульсной периодической накачки, которая переводит все электроны на верхний уровень рабочего перехода. При этом также создаются необходимые предпосылки для генерации субпуассоновского света.

До сих пор обсуждалось формирование С. с. Электромагнитного поля во времени. В общем случае можно говорить о пространственно-временном сжатии, характеризующем области пространственных и временных частот, в которых квантовые флуктуации подавлены. Наглядным является пример пространственного сжатия при вырожденном параметрическом усилении когерентных волн с неколлинеарной геометрией взаимодействия. Сжатие в сигнальной и холостой волнах в отдельности отсутствует, но оно возникает при их интерференции с разностью фаз, кратной . В частности, максимальное сжатие проявляется в интерференционных максимумах. Число интерференц. полос на единицу длины определяет пространственную частоту сжатия. При параметрическом взаимодействии пучков с конечной апертурой пространственный спектр сжатия, очевидно, более сложный.

Лекция 9 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С АТОМАМИ

3.1. Полуклассическая теория Бора

Исследование взаимодействия электромагнитного излучения с атомами началось с регистрации спектров атома водорода. В результате обобщения экспериментальных данных в 1885 году было получено простое соотношение, с высокой степенью точности описывающее измеренные к тому времени значения длин волн атома водорода (формула Бальмера):

, (3.1)

где и –– целые числа (, –– постоянная Ридберга. В зависимости от величины целого числа m водородный спектр разделяется на несколько спектральных серий. Так, значению соответствует серия Лаймана (обозначение серии ), длины волн которой лежат в ультрафиолетовой области. Если , то говорят о серии Бальмера (), относящейся к видимому излучению. Наконец, если , то формула (3.1) описывает серию Пашена, лежащую в инфракрасном диапазоне, в котором лежат также серия Брэкета () и серия Пфунда (). Спектральные диапазоны серий Лаймана и Бальмера не пересекаются с другими, спектральные диапазоны серий Пашена, Брэкета и Пфунда имеют пересечение.

Формула Бальмера (3.1) стала важным экспериментальным основанием для построения теории атома водорода и установления основных закономерностей взаимодействия электромагнитного излучения с атомами.

Создание соответствующей теории, однако, натолкнулось на непреодолимые в рамках классической физики трудности. После проведения Резерфордом своих знаменитых опытов по рассеянию альфа-частиц (1911 г.) в теории атома господствовала планетарная модель. Согласно этой модели атом состоит из тяжелого положительно заряженного ядра, расположенного в центре, и отрицательно заряженных электронов, вращающихся вокруг ядра. Классическая электродинамика предсказывала, что в таком случае ускоренно двигающиеся электроны должны излучать электромагнитные волны, терять энергию и, в конечном счете, упасть на ядро. Таким образом, классическая физика не только была не в состоянии объяснить экспериментальную формулу (3.1), но и само существование стабильных атомов с ее точки зрения оказывалось невозможным.

Чтобы преодолеть указанные трудности, Н. Бор в 1913 году построил свою теорию атома водорода (атом Бора), основываясь на трех сформулированных им постулатах.

1. Электроны в атомах находятся в особых, стационарных состояниях , соответствующих круговым орбитам, параметры которых определяются условием квантования момента количества движения:

. (3.2)

2. В стационарных состояниях атомные электроны не излучают.

3. Излучение и поглощение электромагнитных волн происходит в результате перехода атомного электрона из одного стационарного состояния (с энергией ) в другое стационарное состояние (с энергией ). Круговая частота излучения (в случае ) равна

. (3.3)

Стоит отметить, что в условие квантования момента количества движения (3.2) вошла постоянная Планка, использовавшаяся впервые М.Планком для квантования энергии радиационного осциллятора при объяснении излучения АЧТ.