Лекция 7 2.2. Координатные и импульсные состояния поля

Определим операторы безразмерных координат и импульсов электромагнитного поля с помощью операторов уничтожения и рождения фотонов в соответствии с формулами:

, (2.40)

. (2.41)

Операторы размерных координат и импульсов удобно представить в виде

, (2.42)

. (2.43)

Заметим, что, поскольку операторы уничтожения и рождения фотонов являются эрмитовски-сопряженными, операторы обобщенной координаты и импульса являются самосопряженными (эрмитовыми), как это следует из их определения (2.40) –– (2.43). Известно, что собственные значения эрмитовых операторов являются действительными числами, а их собственные функции взаимно ортогональны. С другой стороны, наблюдаемым физическим величинам в квантовой механике как раз соответствуют эрмитовы операторы. Так что в отличие от неэрмитовых операторов уничтожения и рождения фотонов операторам обобщенной координаты и обобщенного импульса электромагнитного поля должны соответствовать наблюдаемые характеристики поля. Действительно, если рассматривать разложение электромагнитного поля не на бегущие волны, как это представлено выражением (2.1), а на стоячие волны, то напряженности электрического и магнитного поля пространственных гармоник могут быть выражены через обобщенные координаты и импульсы:

, (2.44)

. (2.45)

В формулах (2.44), (2.45) для простоты приведены скалярные напряженности поля, –– объем квантования.

Размерность обобщенных координат и импульсов поля не совпадает с размерностью координаты и импульса вещественного осциллятора с отличной от нуля массой. В гауссовой системе единиц для соответствующих размерностей имеем:

; . (2.46)

Пользуясь формулами (2.40) –– (2.41), имеем следующие выражения для операторов уничтожения и рождения фотонов через операторы безразмерных обобщенных координат и импульсов:

, (2.47)

. (2.48)

Из этих формул видна эрмитовская сопряженность операторов и .

Из определений (2.40) –– (2.41) и коммутационных соотношений (2.20) –– (2.21) следует выражение для коммутаторов операторов и (для одной моды поля):

. (2.49)

Отсюда с учетом (2.42) –– (2.43) коммутатор размерных обобщенной координаты и импульса равен

. (2.50)

Явный вид операторов обобщенной координаты и импульса зависит от конкретного представления вектора состояния квантовой системы, т.е. от того, какая из величин выбрана в качестве аргумента (независимой переменной) при явной записи вектора состояния. Так, в случае - представления операторы обобщенной координаты и импульса электромагнитного поля имеют вид

, . (2.51)

Введем в рассмотрение координатные и импульсные состояния электромагнитного поля. Эти состояния являются собственными векторами соответственно оператора координаты и оператора импульса, т.е. удовлетворяют следующим уравнениям:

, (2.52)

. (2.53)

Координатные и импульсные состояния электромагнитного поля образуют полный набор ортогональных базисных функций, по которым может быть разложен произвольный вектор состояния электромагнитного поля. В отличие от энергетических состояний, принадлежащих (в случае электромагнитного поля) дискретному спектру, собственные значения координатных и импульсных состояний пробегают непрерывный ряд числовых значений и соответствующие собственные векторы образуют непрерывный спектр.

Явный вид координатного вектора-состояния электромагнитного поля в -представлении сводится к дельта-функции от обобщенной координаты . Импульсный вектор состояния в координатном представлении может быть найден из (2.53) с учетом (2.51), соответствующее выражение имеет вид

. (2.54)

Поясним обозначение данного вектора состояния (левая часть равенства (2.54)). Буква под знаком кет-вектора (правые угловые скобки) обозначают тип состояния (импульсное), а буква под знаком бра-вектора (левые угловые скобки) означают, что данный вектор состояния записан в координатном представлении. Иными словами, аргументом функции, определяющей вектор состояния, является обобщенная координата. Знаменатель в правой части этого равенства найден из условия нормировки импульсного вектора состояния:

. (2.55)

Заметим, что в правой части равенства (2.55) стоит дельта-функция, в отличие от символа Кроннекера в случае нормировки энергетических состояний (2.15). Это обстоятельство связано с непрерывным спектром импульсных состояний.

Вероятность обнаружить значение обобщенной координаты, равное , в импульсном состоянии дается формулой

, (2.56)

подставляя в которую явный вид вектора импульсного состояния (2.54), находим

, (2.57)

т.е. соответствующая вероятность равномерно «размазана» по всему спектру возможных значений обобщенной координаты. Другим словами, в импульсном состоянии, когда значение обобщенного импульса фиксировано, значение обобщенной координаты полностью неопределено. Точно так же в координатном состоянии значение обобщенного импульса полностью неопределено, а вероятность дается правой частью равенства (2.57). Эти обстоятельства являются отражением общего квантово-механического принципа неопределенности Гейзенберга, который может быть представлен следующим неравенством:

, (2.58)

где и –– квантово-механические неопределенности физических величин и , которым соответствуют операторы и . –– действительное неотрицательное число, связанное с коммутатором рассматриваемых величин согласно равенству

. (2.59)

Из выражений (2.58) –– (2.59) следует, что если коммутатор операторов двух физических величин равен нулю, то соответствующие величины могут быть одновременно определены сколь угодно точно. Если же этот коммутатор отличен от нуля, то чем точнее будет определена одна из величин, тем менее точно будет определена другая величина. В частности, для обобщенной координаты и импульса условие (2.58) дает

. (2.60)

При записи (2.60) было использовано значение коммутатора (2.50). Постоянная Планка явно выделена в формулах (2.58) ––(2.59), чтобы обозначить масштаб квантово-механической неопределенности.

Выразим гамильтониан электромагнитного поля через операторы обобщенных координат и импульсов. С этой целью подставим в формулу (2.26) правые части равенств (2.47) ––

(2.48), в результате получим

. (2.61)

При выводе этой формулы было использовано коммутационное соотношение (2.49), в результате чего исчезло слагаемое ½, стоящее в круглых скобках правых частей равенства (2.26). Переходя в формуле (2.61) к размерным операторам обобщенных координат и импульсов, окончательно находим

. (2.62)

Полученное выражение представляет гамильтониан электромагнитного поля в виде суммы гамильтонианов радиационных осцилляторов, соответствующих различным модам поля. Если в формуле (2.62) перейти от операторных величин к обычным (с -числовым) функциям, то получим классическую функцию Гамильтона электромагнитного поля в виде

. (2.63)

Функция Гамильтона (2.63) описывает набор гармонических осцилляторов с равной единице массой. Уравнения Гамильтона с функцией (2.63) дают

, (2.64)

. (2.65)

Точка над символами обобщенных координат и импульсов в левых частях формул (2.64) –– (2.65) обозначает дифференцирование по времени. Равенство (2.64) представляет собой уравнение движения гармонического осциллятора, а формула (2.65) является выражением для обобщенного импульса осциллятора с массой, равной единице.

Отметим, что уравнения (2.64) –– (2.65) справедливы также в операторном виде, если ввести зависящие от времени (гейзенберговские) операторы обобщенных координат и импульсов по формулам:

, . (2.66)