Граничні умови для потенціалу електричного поля

Вище було показано, що вектор зв'язаний з потенціалом поля . Розглянемо поведінку потенціалу поля на границі поділу двох середовищ. Згадаємо співвідношення, яке поєднує та (1.20):

,

і відносно пласкої границі уявимо, що:

.

Тоді:

. (1.34)

Виберемо напрямок координатних осей таким чином, щоб вісь лежала в поверхні поділу середовищ, а вісь співпадала з напрямком нормалі до граничної поверхні (рис. 1.9). Тоді, згідно з граничними умовами (1.31) і (1.33), запишемо:

.

За аналогією з виразом (1.34):

.

Отже, як видно з наведеного рисунку, на границі розподілу двох

 

середовищ при :

.

З одержаної рівності на основі граничних умов для тангенційних складових вектора , вираженого через відповідні значення , одержуємо співвідношення:

, (1.35)

яке свідчить про те, що потенціал на границі поділу середовищ

стрибка не зазнає. Для нормальних складових через відповідні значення потенціалу :

(1.36)

Отже, одержані співвідношення (1.31) – (1.36) описують поведінку електростатичного поля при переході з одного середовища в інше. Практичний інтерес представляє частковий випадок, коли одне з середовищ – провідник.

 

1.9.4. Граничні умови на поверхні ідеального провідника

 

Як відомо, провідник відрізняється від діелектрика наявністю вільних електронів - негативних зарядів. Ідеальний провідник – це таке середовище, в якому кількість вільних зарядів в одиниці об’єму нескінченно велика. При внесенні ідеального провідника в електростатичне поле в провіднику відбувається перерозподіл зарядів. Негативні заряди накопичуються на тому боці його поверхні, в який входять силові лінії зовнішнього поля, а позитивні заряди індукуються на протилежній. При цьому усередині провідника утворюється електричне поле, в якому силові лінії напрямлені назустріч по відношенню до зовнішнього. Перерозподіл зарядів буде продовжуватись до тих пір, поки внутрішнє поле не компенсує зовнішнє в межах об'єму провідника.

Отже, ідеальний провідник – це такий провідник, який має достатню кількість вільних зарядів для компенсації зовнішнього поля в межах всього об'єму провідника. Таким чином, результуюче поле усередині ідеального провідника дорівнює нулю.

В загальному вигляді граничні умови для тангенційних складових:

.

Однак, оскільки усередині ідеального провідника поля немає то

.

Для нормальних складових вектора в загальному вигляді:

,

але при умові ідеальності провідника другий доданок дорівнює нулю, тому

,

звідси:

.

Одержані співвідношення виражають граничні умови на поверхні ідеального провідника: силові лінії електростатичного поля завжди напрямлені по нормалі до поверхні ідеального провідника.

Як ілюстрацію розглянемо електричне поле усередині циліндричного конденсатора. Нехай провідник поміщений в порожнину провідника (рис. 1.10). Поле усередині порожнини визначається тільки наявними там електричними зарядами і напрямлене завжди по нормалі до поверхні провідників, причому заряди накопичуються на їх поверхнях. Сумарне значення зарядів відповідно з рівністю Гауса–Остроградського:

,

де – площина замкненої поверхні усередині провід-ника ; і – заряди тіл і відповідно. Однак, оскільки усередині провідника поля немає, то , звідки . Очевидно, що збільшення заряду призведе до росту напруженості і потенціалу електричного поля.

Ємність конденсатора визначимо як модуль відношення заряду до різниці потенціалів між тілами і :

.

В загальному випадку електрична ємність провідника – це відношення заряду на його поверхні до потенціалу.

Тіло, яке здатне накопичувати заряди, характеризується також енергією, що визначається його електростатичним полем.