Еквіпотенціальні поверхні. Градієнт потенціалу

Оскільки електростатичне поле характеризується скалярною безперервною функцією – потенціалом, то в просторі завжди можна виділити геометричне місце точок з рівними потенціалами. В тривимірному просторі така сукупність точок являє собою поверхню, яку прийнято називати еквіпотенційною. Тому електростатичне поле може бути зображено безліччю еквіпотен­ціальних поверхонь. Щоб з’ясувати положення цих поверхонь, а також їх орієнтацію відносно силових ліній , запроваджуємо поняття градієнта потенціалу – важливу характеристику поля, яка визначає зв'язок між та . Як відомо з математики, в загальному випадку градієнт – це вектор, який характеризує просторову швидкість зміни скалярної величини і напрямлений в бік її збільшення. Тому градієнт потенціалу електростатичного поля – це вектор, за модулем рівний швидкості зміни потенціалу і напрямлений в бік його найшвидшого зростання. Тепер неважко уявити, що, оскільки найшвидша зміна потенціалу відповідає найкоротшій відстані між еквіпотенціальними поверхнями (рис.1.6), то вектор пер­пендикулярний дотичній еквіпотенціальної поверхні в конкретній точці і напрямлений в бік поверхні з більшим потенціалом. Відповідно визначенню градієнт потенціалу можна записати так:

,

де – одиничний вектор уздовж нормалі . Для визначення градієнта потенціалу в прямокутній системі координат розглянемо спочатку похідну потенціалу здовж довільного напряму .

Прирости відстаней і (рис.1.6) зв'язані між собою очевидним співвідношенням:

.

Відношення приросту потенціалу до приросту відстані

,

а в нескінченно малих величинах це є похідною за напрямком

 

.

Останнє співвідношення визначає проекцію вектора на довільний напрям :

. (1.16)

Таким чином, якщо замість напрямку вибирати напрямки конкретних координатних осей, одержимо таке загальне співвідношення:

,

або

. (1.17)

Відповідно до виразу (1.16) модуль вектора :

. (1.18)

Для визначення зв'язку напруженості поля з потенціалом згадаємо співвідношення (1.14), згідно з яким при зменшенні відстані в границі:

. (1.19)

При порівнянні виразів (1.16) і (1.19) одержимо загальне співвідношення:

. (1.20)

Це співвідношення свідчить про те, що вектор напруженості поля визначається однією скалярною величиною – потенціалом електростатичного поля .

На початку попереднього підрозділу відзначалося, що для розв'язування прямої задачі електростатики рівності Гауса–Остроградського в диференціальній формі було недостатньо. Тепер на основі одержаних співвідношень (1.12) – (1.20) можна створити передумови для розв’язку прямої задачі електростатики –знаход-ження характеристик поля за заданим розподілом зарядів.

 

Рівняння Пуассона–Лапласа

Розв'язання прямої задачі є неможливим до тих пір, поки не визначені три невідомі проекції вектора , а саме – .Так, одержавши додаткові відомості про характеристики поля у вигляді співвідношень (1.16) – (1.20), можна обчислити проекції вектора як взяті з оберненим знаком проекції вектору :

; ; .

Підставляючи ці співвідношення у вираз (1.10), одержимо:

(1.21)

або в загальному випадку, змінюючи у виразі (1.18) на зі знаком мінус, отримаємо:

. (1.22)

Співвідношення (1.22) є загальною формою запису рівняння Пуассона, а (1.21) - рівняння Пуассона в прямокутній системі координат. З курсу математики відомий розв’язок рівняння Пуассона у вигляді об'ємного інтегралу:

, (1.23)

де – відстань між елементом та точкою нагляду. Далі за відомим потенціалом згідно з виразом (1.20) визначається напруженість поля , що і є розв'язанням прямої задачі.

Якщо в області простору, який розглядається, заряди відсутні, то рівняння (1.21) і (1.22) набувають вигляду:

, (1.24)

. (1.25)

Рівняння (1.24) або (1.25) називаються рівнянням Лапласа. Вони застосуються для розрахунку полів в області простору, вільної від зарядів.

Розв'язування рівняння Лапласа здійснюють у такій послідовності. Представимо розв’язок (1.24) у вигляді добутку, в якому кожний співмножник є функцією лише однієї змінної:

. (1.26)

Підставимо цей умовний розв'язок в початкове рівняння (1.24):

.

Перетворимо одержаний вираз таким чином, щоб кожний додаток в ньому залежав від однієї змінної:

. (1.27)

Співвідношення (1.27) є рівнянням з трьома невідомими. Природно, що воно має розв’язок тільки при наявності еквівалентної системи з трьох рівнянь.

Тому доцільно припустити, що рівняння (1.27) має розв'язок лише при умові, що кожний доданок, що входить в нього, є постійною величиною. Для одержання еквівалентної системи з трьох рівнянь, кожне з яких є функцією тільки однієї змінної, виконаємо такі дії.

Диференціюємо вираз (1.27) за змінною . Бачимо, що отриманий диференціал дорівнює нулю. Це означає, що перший доданок у (1.27) є сталою величиною. Позначимо її через .

Диференціюємо вираз (1.27) по та . За результатами зробимо висновки про те, що інші доданки у (1.27) теж сталі величини, наприклад, та . Вони, відповідно до виразу (1.27), зв'язані рівністю:

.

Таким чином, одержана система з трьох рівнянь, кожне з яких має лише одну невідому. Перепишемо перше рівняння цієї системи з урахуванням виразу (1.27) у вигляді:

та помножимо його на :

.

Розв’язок цього стандартного рівняння здійснюється у показникових функціях.

Приведемо одержане рівняння до такої канонічної форми, при якій його розв'язок виявляється через гармонічні функції. Оскільки позначення введені довільно, то змінимо їх знаки на обернені. Тоді останнє рівняння набуде вигляду:

.

Його розв'язок буде таким:

. (1.28)

В співвідношенні (1.28) – деякі сталі.

Аналогічно записуємо інші рівності отриманої системи:

,

,

та їх розв'язки:

, (1.29)

 

, (1.30)

де – відповідні сталі.

Підставимо вирази (1.28), (1.29) і (1.30) в (1.26) та розв'яжемо рівняння Лапласа. Для цього із введених коефіцієнтів два будемо вибирати довільно, тоді третій буде зв'язаний з цим вибором. Нехай та – позитивні натуральні числа. Тоді:

,

або:

.

 

Ця уявна величина входить в аргументи тригонометричних функцій - синуса та косинуса. Тоді розв'язок (1.30) записується через гіперболічні косинус та синус:

 

.

 

Надалі виникає проблема визначення коефіцієнтів А _1, А ₂, В ₁, В ₂, С ₁, С ₂, які відповідають єдиному розв'язку рівняння Лапласа. При цьому необхідно розглянути поведінку вектора напруженості електростатичного поля при переході через поверхню розподілу двох середовищ. Єдиному розв'язку конкретної задачі буде відповідати такий розв'язок рівняння Лапласа із безлічі інших його розв'язків, який водночас задовольняє як самому рівнянню, так і деяким граничним умовам, які існують на поверхні розподілу двох середовищ.

 

1.9. Граничні умови електростатики

 

Якщо силові лінії векторів або вектор індукції перетинають границю розподілу двох середовищ з різними значеннями , то або можуть бути зображені відносно цієї границі, як геометричні суми двох складових: тангенціальної (дотичної) і нормальної (перпендикулярної). Тангенціальна складова – це проекція вектора на границю поділу середовищ, а нормальна складова – це проекція вектора на нормаль до границі. Розглянемо поведінку нормальних складових і , тангенціальних складових і , а також потенціалу електростатичного поля на границі поділу двох середовищ.

1.9.1. Граничні умови для тангенційних складових вектора

Нехай силова лінія перетинає границю поділу двох середовищ зі значенням діелектричної проникності та (рис.1.7). Графічне зобра-ження робимо поки формальним, щоб потім уточ-нити його. Дослі-димо вектор на наявність вихрю, тобто знайдемо циркуляцію по контуру. Як відо-мо, від форми кон-туру циркуляція не залежить, тому для зручності вибираємо контур прямокутної форми , сторони якого нескінченно малі, а напрямок його обходу - за годинниковою стрілкою. Циркуляцією в цьому випадку є сумарною роботою сил поля по кожній із сторін. За визначенням:

.

Це означає, що сума робіт по кожній із сторін контуру:

.

Cпрямовуємо до нуля довжини сторін і . Тоді другий і четвертий доданки стають рівними нулю і вираз набуває вигляду:

В цьому співвідношенні перший доданок характеризує в першому середовищі, а другий – в другому. Сторони і рівні нескінченно малій величині ділянки контуру , в кожній точці якого можна вважати . Тоді:

,

де та – вектори напруженості електричного поля на поверхні розподілу першого і другого середовищ відповідно. При цьому:

або, враховуючи, що , одержимо:

.

Тут замість знака плюс з'явився знак мінус внаслідок того, що і протилежно спрямовані. Розглядаючи одержану рівність, можна побачити, що перший доданок є не що інше, як тангенціальна складова , а інший – тангенційна складова . Тоді гранична умова для тангенціальних складових виглядає як:

 

,

 

або:

, (1.31)

 

тобто тангенційні (дотичні) складові вектора рівні за значенням і співпадають з напрямком за двома сторонами поверхні поділу середовищ.

1.9.2. Граничні умови для нормальних складових вектора

Нехай вектор перетинає границю поділу двох середовищ з параметрами та (рис.1.8), причому ця границя є поверхнею, яка характеризуються густиною зарядів:

,

де – сумарний заряд; – одиниця площі цієї поверхні. Відповідно до рівності Гауса–Остроградського потік вектора :

.

Побудуємо циліндричну поверхню, що перерізує поверхню поділу двох середовищ (рис. 1.8).

 

Нехай площа поперечного перетину циліндра – , нижньої основи – , а верхньої – . Твірна циліндра паралельна нормалі . На площадці є заряд . Тоді потік вектора є сумою парціальних потоків:

 

Оскільки заряд зосереджений на поверхні , то висоту циліндра можна змінювати без шкоди для загального результату. Зменшуємо її до нуля. Тоді третій доданок перетворюється в нуль і

оскільки .Очевидно, перший доданок характеризує вектор в першому середовищі, другий – в другому. Зменшуємо величину настільки, що в кожній її точці вектор . При цьому

або, скорочуючи на величину , маємо:

,

де перший доданок – нормальна складова ; другий – нормальна складова . При переході від до знак в останньому виразі змінюється на протилежний, оскільки векторні площадки протилежно напрямлені. Тоді гранична умова для нормальних складових вектора запишеться у вигляді:

. (1.32)

Вираз (1.32) свідчить про те, що нормальні (перпендикулярні) складові вектора при переході через границю поділу двох середовищ зазнають стрибок на значення поверхневої густини зарядів. Для силових ліній вектора :

. (1.33)

Очевидно, що при , а і будуть різними внаслідок нерівності .

Отже, на границі поділу двох середовищ тангенційні складові силових ліній – незмінні, тоді як нормальні змінюються стрибком. Це приводить до ефекту заломлення силових ліній вектора напруженості електричного поля.