Розклад по кореневим підпросторам

Нехай 𝑔 – напівпроста алгебра Лі над 𝑃 = , 𝐵 - її форма Кіллінга, 𝔥 – її підалгебра Картана і 𝑔 = 𝔥 + 𝑔 (𝛼) + 𝑔 (𝛽) + …, 𝔥 = 𝑔 (0) - її розклад по кореневим підпросторам. Позначимо через 𝔥* векторний простір, спряжений до 𝔥. Нехай 𝛥 ⊂ 𝔥* - множина всіх коренів {𝛼, 𝛽, … }; покладемо

Твердження 2. 4. 1. Якщо 𝛽 ∈ і 𝛼 + 𝛽 ≠ 0, то 𝐵 (𝑔 (𝛼), 𝑔 (𝛽)) = 0.

Введемо в 𝔥 скалярний добуток по формулі

<𝑋, 𝑌> = 𝐵 (𝑋, 𝑌) = (𝑋, 𝑌 ∈ 𝔥).

Оскільки форма 𝐵_𝔥 не вироджена, то для кожного 𝜆 ∈ 𝔥* існує єдиний елемент 𝐻_𝜆 ∈ 𝔥, такий що 𝜆 (𝐻) = <𝐻_𝜆, 𝐻> при всіх 𝐻 ∈ 𝔥. Це дозволяє визначити невироджений, скалярний добуток в 𝔥* формулою

<𝜆, 𝜇> = <𝐻_𝜆, 𝐻_𝜇> = 𝜆 (𝐻_𝜇) = 𝜇 (𝐻_𝜆) (𝜆, 𝜇 ∈ 𝔥*).

Теорема 2. 4. 2. В кожному із (одновимірних) підпросторів 𝑔 (𝛼), 𝛼 ∈ 𝛥, можна вибрати базисний вектор 𝐸_𝛼 так, що

𝑔 = 𝔥 + 𝑃𝐸_𝛼 + 𝑃𝐸_-𝛼 + 𝑃𝐸 _𝛽 + 𝑃𝐸_-𝛽 +…,

Причому виконуються наступні умови:

1) підалгебра 𝔥 абелева і [𝐻, 𝐸_𝛼] = 𝛼 (𝐻) 𝐸_𝛼 (𝛼 ∈ 𝛥) при 𝐻 ∈ 𝔥; зокрема, 𝑎𝑑 𝐻 є напівпростим лінійним перетворенням;

2) [𝐸_𝛼, 𝐸_𝛽] = 𝑁_{𝛼, 𝛽} 𝐸_{𝛼 + 𝛽} (𝑁_{𝛼, 𝛽} ∈ 𝑃) при 𝛼 + 𝛽 ≠ 0;

3) [𝐸_𝛼, 𝐸_-𝛼] = − 𝐻_𝛼 і 𝐵 (𝐸_𝛼, 𝐸_-𝛼) = − 1 (знак мінус перед 𝐻_𝛼 виявиться зручним в подальшому);

4) якщо 𝛼 ∈ 𝛥 і 𝑘𝛼 ∈ 𝛥 (𝑘 ∈ ℤ), то 𝑘 = ± 1;

5) 𝐵 (𝐻 + ′ + ) = 𝐵 (𝐻, 𝐻′) − ,

(𝐵 (𝐻, 𝐻′) = <𝐻, 𝐻′> = );

6) для довільних 𝜆, 𝜇 ∈ 𝔥*

<𝜆, 𝜇> = .

 

2. 5. 𝛼 – послідовність ваг

Нехай (𝑉, 𝑓) - представлення алгебри 𝑔. Позначимо через 𝛬 сукупність всіх ваг відносно (𝑉, 𝑓). Це – скінченна підмножина в 𝔥*.

Твердження 2. 5. 1. Для довільних заданих 𝛼 ∈ 𝛥 і 𝜆 ∈ 𝛬 можна знайти такі невід’ємні цілі числа 𝑗 і 𝑘, що

1) 𝜆 + 𝑖𝛼 ∈ 𝛬 (𝑖 ∈ ℤ) тоді і тільки тоді, коли –𝑗 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘;

2) 𝑘 – 𝑗 = −2 <𝜆, 𝛼>/<𝛼, 𝛼>;

3) 𝜆 – (2 <𝜆, 𝛼>/<𝛼, 𝛼>), 𝛼 ∈ 𝛬;

4) якщо 𝜆 + 𝛼 ∈ 𝛬, то 𝐸_𝛼𝑉 (𝜆) ≠ 0.

Означення 2. 5. 2. Послідовність 𝜆 – 𝑗𝛼, 𝜆 – (𝑗 − 1)𝛼, …, 𝜆, …, 𝜆 + 𝑘𝛼 із попереднього твердження будемо називати 𝛼 – послідовністю (ваг), що містить 𝜆.

Твердження 2. 5. 3. 1) Якщо 𝛼, 𝛽 і 𝛼 + 𝛽 ∈ 𝛥, то 𝑁_{𝛼, 𝛽} ≠ 0.

2) Якщо 𝛼 ∈ 𝛬 і 𝑚𝛼 ∈ 𝛥 (𝑚 ∈ 𝑃), то 𝑚 = ±1.

 

2. 6. Фундаментальна система коренів і 𝜋 – система.

Нехай - векторний простір над ℚ, породжений 𝛥 в 𝔥*. Позначимо через 𝔥₀ векторний простір над ℚ, породжений елементами 𝐻_𝛼 (𝛼 ∈ 𝛥) із 𝔥. Легко побачити, що можна розглядати як векторний простір, спряжений до 𝔥₀. Введемо (лексикографічне) впорядковане в , по відношенню до фіксованого довільного базису {𝐻₁, …, 𝐻_𝑙} простору , вважаючи 𝜆₁ > 𝜆₂ (або 𝜆₂ < 𝜆₁), якщо існує номер 𝑘 (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚 – 1), такий що 𝜆₁ (𝐻₁) = 𝜆₂ (𝐻₁), …, 𝜆₁ (𝐻_𝑘) = 𝜆₂ (𝐻_𝑘), і 𝜆₁ (𝐻_{𝑘 + 1}) > 𝜆₂ (𝐻_{𝑘 + 1}). В випадку, коли 𝜆 > 0, ми говоримо, що елемент 𝜆 додатній.

Покладемо 𝛥⁺ = {𝛼 ∈ 𝛥: 𝛼 > 0} і 𝛥⁻ = {𝛼 ∈ 𝛥: 𝛼 < 0} = {−𝛼: 𝛼 ∈ 𝛥⁺}. Ясно, що 𝛥 = 𝛥⁺ ∪ 𝛥⁻ і 𝛥⁺ ∩ 𝛥⁻ = ∅.

Означення 2. 6. 1. Корінь 𝛼 із 𝛥⁺ називається простим, якщо його не можна записати у вигляді 𝛼 = 𝛽 + 𝛾, де 𝛽 ∈ 𝛥⁺, 𝛾 ∈ 𝛥⁺. (Наприклад, найменший додатній корінь простий.)

Підмножина 𝐺 в називається ортогональною системою, якщо кожен її елемент відмінний від 0 і для довільних 𝜆, 𝜆′ ∈ 𝐺 (𝜆 ≠ 𝜆′) виконується рівність <𝜆, 𝜆′> = 0. Якщо 𝜆₁, …, 𝜆_𝑘 - ортогональна система і 𝑟₁𝜆₁ + … + 𝑟_𝑘𝜆_𝑘 = 0 (𝑟_𝑖 ∈ ℚ), то <𝜆_𝑖, 𝑟₁𝜆₁ + … + 𝑟_𝑘𝜆_𝑘> = 𝑟_𝑖 <𝜆_𝑖, 𝜆_𝑖> = 0, тому 𝑟_𝑖 = 0 для всіх 𝑖 = 1, …, 𝑘. А отже, всяка ортогональна система лінійно-незалежна і містить не більше 𝑙 (= 𝑑𝑖𝑚 ) елементів. Звідси випливає, що існує максимальна ортогональна система, наприклад {𝑒₁, …, 𝑒_𝑖}, в існує ортогональний базис. Оскільки - векторний простір над ℚ ⊂ ℝ, можна побудувати ()^ℝ = . Скалярний добуток в може бути єдиним чином продовженим до скалярного добутку в . Розширений скалярний добуток в додатньовизначений.

Для 𝜆 ∈ покладемо ∥𝜆∥ = і для довільних 𝜆₁ (≠ 0) і 𝜆₂ (≠ 0) із визначимо кут 𝜃 = ∠ (𝜆₁, 𝜆₂) між 𝜆₁ і 𝜆₂ (0 ≤ 𝜃 ≤ 180⁰) умовою cos 𝜃 · ∥𝜆₁∥ · ∥𝜆₂∥ = <𝜆₁, 𝜆₂>. В подальшому, коли нам це буде потрібно, ми будемо вважати, що є підмножиною евклідового простору з вказаним розширеним скалярним добутком. Наприклад, для ненульових 𝜆₁, 𝜆₂ ∈ ми будемо розглядати кут ∠ (𝜆₁, 𝜆₂) між 𝜆₁ і 𝜆₂.

Означення 2. 6. 2. В просторі ℝ^𝑙 зі скалярним добутком

<(𝑥₁, …, 𝑥_𝑙), (𝑦₁, …, 𝑦_𝑙)> =

підмножина 𝐷 називається кореневою системою, якщо

1) для довільного 𝛼 ∈ 𝐷 ми маємо: 𝛼 ≠ 0 і ℝ𝛼 ∩ 𝐷 = {±𝛼};

2) для довільних 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐷 ми маємо: 2 <𝛽, 𝛼>/<𝛼, 𝛼> ∈ ℤ і 𝛽 – 𝑘𝛼 ∈ 𝐷 для всіх цілих чисел 𝑘, що містяться між 0 і 2 <𝛽, 𝛼>/<𝛼, 𝛼>.

В випадку, якщо не сказано іншого, ми вважаємо, що 𝐷 породжує ℝ^𝑙.

Ототожнимо з ℝ^𝑙. Тоді 𝛥 є кореневою системою.

Твердження 2. 6. 3. Позначимо через 𝜋 сукупність всіх простих коренів із 𝛥 (відносно деякого фіксованого упорядкування)

1) 𝜋 = {𝛼₁, 𝛼₂, …, 𝛼_𝑙}утворює базис в .

2) Якщо 𝛽 ∈ 𝛥⁺, то

(*) 𝛽 = 𝑛₁𝛼₁ + … + 𝑛_𝑙𝛼_𝑙,

де 𝑛_𝑖 ∈ ℤ, 𝑛_𝑖 ≥ 0 при 𝑖 = 1, 2, …, 𝑙.

Означення 2. 6. 4. Підмножина 𝜋 множини 𝛥 називається фундаментальною системою коренів, якщо

1) 𝜋 = {𝛼₁, 𝛼₂, …, 𝛼_𝑙}утворює базис в .

2) довільне 𝛽 ∈ 𝛥 можна представити у вигляді 𝛽 = 𝑛₁𝛼₁ + … + 𝑛_𝑙𝛼_𝑙 (𝑛_𝑖 ∈ ℤ), де всі 𝑛_𝑖 ≥ 0 або всі 𝑛_𝑖 ≤ 0.

Означення 2. 6. 5. Введемо в ℝ^𝑙 звичайний скалярний добуток

<(𝑥₁, …, 𝑥_𝑙), (𝑦₁, …, 𝑦_𝑙)> =

Підмножина 𝜋 = {𝛼₁, 𝛼₂, …, 𝛼_𝑙}простору ℝ^𝑙 називається 𝜋-системою, якщо

1) набір {𝛼₁, 𝛼₂, …, 𝛼_𝑙}лінійно-незалежний;

2) 𝑐_𝑖𝑗 = − 2 <𝛼_𝑖, 𝛼_𝑗>/<𝛼_𝑗, 𝛼_𝑗> ∈ ℤ при 𝑖, 𝑗 = 1, 2, …, 𝑙, причому 𝑐_𝑖𝑗 ≥ 0, якщо 𝑖 ≠ 𝑗.

Будемо називати 𝑐_𝑖𝑗 числами Картана, а матрицю (𝑐_𝑖𝑗) - матрицею Картана. Будь-яку фундаментальну систему коренів 𝜋 можна розглядати як 𝜋-систему.

Твердження 2. 6. 6. Фундаментальна система коренів 𝜋 нероз-кладна тоді і тільки тоді, коли алгебра 𝑔 проста.

2. 7. Класифікація 𝜋 – систем

Дві 𝜋 – системи 𝜋 = {𝛼₁, …, 𝛼_𝑙}і = { ₁, …, _𝑙}називаються еквівалентними (позначення: 𝜋 ≅ ), якщо відповідні числа Картана у них співпадають. Якщо існує додатне дійсне число 𝑟, таке, що _𝑖 = 𝑟𝛼_𝑖 (𝑖 = 1, 2, …, 𝑙), то 𝜋 ≅ . Знайдемо всі (з точністю до еквівалентності) нерозкладні 𝜋 – системи.

Нехай 𝜋 = {𝛼₁, …, 𝛼_𝑙} - деяка 𝜋 – система. Використовуючи позначення cos 𝛼𝛽 = cos ∠ (𝛼, 𝛽), ми маємо при 𝑖 ≠ 𝑗 𝑐_𝑖𝑗𝑐_𝑗𝑖 = = 4 cos²𝛼_𝑖𝛼_𝑗.

Так як |cos 𝛼_𝑖𝛼_𝑗| < 1, то 𝑐_𝑖𝑗c_𝑗𝑖 = 0, 1, 2, 3. Припустимо, що ∥𝛼_𝑖∥ ≥ ∥𝛼_𝑗∥.

Випадок 1. 𝑐_𝑖𝑗c_𝑗𝑖 = 1. Тоді 𝑐_𝑖𝑗 = c_𝑗𝑖 = 1 тобто = = 1.

Звідси, ∥𝛼_𝑖∥ = ∥𝛼_𝑗∥. Із рівності 4 cos²𝛼_𝑖𝛼_𝑗 = 1 ми отримуємо, що ∠()=120^o.

Випадок 2. 𝑐_𝑖𝑗 c_𝑗𝑖 = 2. Аналогічно попередньому ми маємо 𝑐_𝑖𝑗 = 2, c_𝑗𝑖 = 1, а тому ∥𝛼_𝑖∥² = 2 ∥𝛼_𝑗∥² і ∠ () = 135^o.

Випадок 3. 𝑐_𝑖𝑗c_𝑗𝑖 = 3. Маємо 𝑐_𝑖𝑗 = 3, c_𝑗𝑖 = 1, тому ∥𝛼_𝑖∥² = 3 ∥𝛼_𝑗∥² і ∠ () = 150^o.

Випадок 0. 𝑐_𝑖𝑗c_𝑗𝑖 = 0. Тоді ∠ () = 90^o і 𝑐_𝑖𝑗 = c_𝑗𝑖 = 0, але про довжину векторів ми ніякої інформації не отримуємо.

Діаграма Динкіна. 𝐷 (𝜋) системи 𝜋 складається із 𝑙 вершин (що зображаються у вигляді маленьких кружків), по одній на кожне 𝛼_𝑖 ∈ 𝜋,і деякої множини відрізків, що з’єднують ці вершини. Ми проводимо 0, 1, 2 або 3 лінії від 𝛼_𝑖 до 𝛼_𝑗. Таким чином, перерахованим вище випадкам відповідають діаграми

0) 𝛼_𝑖 𝛼_𝑗 1) 𝛼_𝑖 𝛼_𝑗 2) 𝛼_𝑖 𝛼_𝑗 3) 𝛼_𝑖 𝛼_𝑗

o o o o o o o o

Кажуть, що два елемента 𝛼, 𝛽 системи 𝜋 зв’язані між собою, якщо <𝛼, 𝛽> ≠ 0. Підмножина 𝐷₁ в 𝐷 (𝜋) називається зв’язною, якщо для довільних 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐷₁ знайдеться послідовність 𝛼 = 𝛾₀, 𝛾₁, …, 𝛾_𝑘 = 𝛽 в 𝐷1, така, що елементи 𝛾_𝑖, 𝛾_{𝑖 + 1} зв’язані між собою для 𝑖 = 0, …, 𝑘 – 1. Ясно, що діаграма 𝐷 (𝜋) зв’язна тоді і тільки тоді, коли система 𝜋 нерозкладна. Дальше, якщо діаграми 𝐷 (𝜋) і 𝐷 () ізоморфні в очевидному смислі, то 𝜋≅ , так як приведені вище діаграми 0) – 3) однозначно визначають значення 𝑐_𝑖𝑗.

Твердження 2. 7. 1. Для довільної 𝜋 – системи 𝜋 = {𝛼₁, …, 𝛼_𝑙} число пар вершин, зв’язаних одна з одною, не перевищує 𝑙 – 1.

Зауважимо, що кожну підмножину 𝜋 – системи можна розглядати як 𝜋 – систему.

Твердження 2. 7. 2. Нехай 𝜋 = {𝛼₁, …, 𝛼_𝑙} - деяка 𝜋 – система.

1) 𝐷 (𝜋) не має циклів, тобто підмножин {𝛼₁, …, 𝛼_𝑘}таких що <𝛼₁, 𝛼₂> ≠ 0, …, <𝛼_{𝑘 – 1}, 𝛼_𝑘> ≠ 0 і <𝛼_𝑘, 𝛼₁> ≠ 0.

2) Нехай 𝐷₁ - зв’язна підмножина в 𝐷 (𝜋). Якщо 𝛼 ∈ 𝐷 (𝜋) і 𝛼 ∉ 𝐷₁, то існує не більше одного 𝛽 ∈ 𝐷₁, зв’язаного з 𝛼.

3) Через кожну вершину проходить не більше трьох відрізків.

4) Якщо 𝜋 нерозкладна і 𝑙 ≥ 3, то 𝐷 (𝜋) не містить підмножин виду o o.

Нехай 𝜋 = {𝛼₁, …, 𝛼_𝑙} - деяка 𝜋-система. Підмножина 𝐶 = {𝛼₁, …, 𝛼_𝑘} називається однорідним ланцюгом, якщо 𝑐_{𝑖, 𝑖 + 1} = 𝑐_{𝑖 +1, 𝑖} = 1 при 𝑖 = 1, 2, …, 𝑘 – 1, тобто відповідна частина діаграми системи має вигляд

Твердження 2. 7. 3. Нехай в 𝜋 – системі 𝜋 = {𝛼₁, …, 𝛼_𝑘, 𝛽₁, …, 𝛽_𝑗} підмножина 𝐶 = {𝛼, …, 𝛼_𝑘} є однорідним ланцюгом. Тоді фактор система 𝜋∕𝐶 = {𝛼, 𝛽₁, …, 𝛽_𝑗}, де 𝛼 = 𝛼₁ + … + 𝛼_𝑘, також є 𝜋 – системою. Діаграма 𝐷 (𝜋∕𝐶) виходить наступним чином. Між вершинами 𝛽_s і 𝛽_𝑡 проводяться ті ж відрізки, що й в 𝐷 (𝜋). Кожна вершина 𝛽_s з’єднана в 𝐷 (𝜋) не більш чим з одною із вершин 𝛼; якщо 𝛽_s не з’єднана в 𝐷 (𝜋) ні з одною із 𝛼_𝑖, то ми не з’єднуємо 𝛽_s, з 𝛼, а якщо 𝛽_s з’єднана з 𝛼_𝑖, то з’єднуємо її з 𝛼 точно так, як вона була з’єднана з 𝛼_𝑖 в 𝐷(𝜋).

Теорема 2. 7. 4. Нехай 𝜋 – нерозкладна 𝜋 – система. Тоді діаграма Динкіна 𝐷 (𝜋) співпадає з однією із наступних діаграм:

𝐴_𝑙 o o … o o 𝑙 ≥ 1

𝐵_𝑙 o o … o o 𝑙 ≥ 2

𝐶_𝑙 o o … o o 𝑙 ≥ 3

o

𝐷_𝑙 o o … o o 𝑙 ≥ 4

o

𝐸_𝑙 o o … o o o 𝑙 = 6, 7, 8

𝐹₄ o o o o

𝐺₂ o o

Знайдемо 𝜋 – системи, що відповідають діаграмам 𝐴_𝑙, 𝐵𝑙, 𝐶_𝑙, і 𝐷_𝑙.

1) 𝐴_𝑙 : Нехай 𝑒₁, …,𝑒_{𝑙 +1} - ортонормований базис в ℝ^{𝑙 + 1}, тобто <𝑒_𝑖, 𝑒_𝑗> = 𝛿_𝑖𝑗. Покладемо 𝛼_𝑖 = 𝑒_𝑖 − 𝑒_{𝑖 + 1} (𝑖 = 1, 2, …, 𝑙). Тоді набір {𝛼₁, …, 𝛼_𝑙} лінійнонезалежний і <𝛼_𝑖, 𝛼_𝑖> = 2 (𝑖 = 1, 2, …, 𝑙), <𝛼_𝑖, 𝛼_{𝑖 +1}> = −1 (𝑖 = 1, 2, …, 𝑙 − 1), <𝛼_𝑖, 𝛼_𝑗> = 0, якщо 𝑗 ≠ 𝑖 – 1, 𝑖, 𝑖 + 1. Система {𝛼₁, …, 𝛼_𝑙} є 𝜋 – системою з діаграмою 𝐴_𝑙.

2) 𝐵_𝑙, 𝐶_𝑙, 𝐷_𝑙: Нехай 𝑒₁, …, 𝑒_𝑙 ортонормований базис в ℝ^𝑙.

Вважаючи 𝛼_𝑙 = 𝑒_𝑖 − 𝑒_{𝑖 + 1}, 𝑖 = 1, 2, …, 𝑙 – 1, і для 𝐵_𝑙: 𝛼_𝑙 = 𝑒_𝑙, для 𝐶_𝑙: 𝛼_𝑙 = 2𝑒_𝑙, для 𝐷_𝑙: 𝛼_𝑙 = 𝑒_{𝑙 – 1} + 𝑒_𝑙, отримаємо 𝜋 – системи з діаграмами 𝐵_𝑙, 𝐶_𝑙 і 𝐷_𝑙.

Фактично, всі діаграми Динкіна реалізуються як 𝜋 – системи.