Визначення та побудова алгебр Лі і асоціативних алгебр

Василевич Оксана Вікторівна

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук,

асистент Білун С. В.

 

 

Київ - 2012 р.

Зміст

Вступ…………………………………………………………………………………………………... ст. 3

 

Розділ 1. Основні поняття. …………………………………………………………………. ст. 4

1. 1. Визначення та побудова алгебр Лі і асоціативних алгебр ……..… ст. 4

1. 2. Алгебри лінійних перетворень. Диференціювання…………………....ст. 5

1. 3. Ідеали, розв’язність, нільпотентність……………………………………..….ст. 6

1. 4. Приклади………………………………………………………………………………...…..ст. 8

 

Розділ 2. Напівпрості алгебри Лі………………………………………………………… ст.9

2. 1. Представлення алгебри. Форми Кіллінга…….…………………………… ст. 9

2. 2. Підалгебри Картана і розклад по кореневим підпросторам….... ст. 10

2. 3. Напівпрості алгебри Лі……………………………………………………….……. ст. 112. 4. Розклад по кореневим підпросторам……………………………………..…ст.12

2. 5. 𝛼 – послідовність ваг………………………………………………………………….ст.13

2. 6. Фундаментальна система коренів і 𝜋 – система……………………… ст. 13

2. 7. Класифікація 𝜋 – систем…………………………………………………………... ст. 15

2. 8. Класифікація простих алгебр Лі. Класичні прості алгебри Лі…. ст. 17

 

Висновок…………………………………………………………………………………………. ст. 23

 

Список використаної літератури …………………………………………………… ст. 24

 

 

Вступ

Теорія алгебр Лі виросла із теорії Лі неперервних груп. Основним результатом останньої є зведення «локальних» задач, що відносяться до груп Лі, до відповідних задач теорії алгебр Лі, тобто до задач лінійної алгебри. Кожній групі Лі співставляється алгебра Лі над полем дійсних або комплексних чисел, і встановлюється відповідність між ана-літичними підгрупами групи Лі і підалгебрами її алгебри Лі, при якому інваріантним підгрупам відповідають ідеали, абелевим підгрупам – абелеві підалгебри і т. д. Ізоморфізм алгебр Лі еквівалентний локальному ізоморфізму відповідних груп Лі.

Останнім часом введення відповідних алгебр Лі виявилося корисним при вивченні двох інших розділів теорії груп. Першим із цих розділів є теорія вільних груп, яку можна вивчити за допомогою вільних алгебр Лі. Хоча цей зв'язок не такий тісний, як в теорії Лі, застосування алгебр Лі привело до важливих результатів відносно вільних груп і інших класів абстрактних груп. Варто сказати, що важливу роль в цих застосуваннях до теорії абстрактних груп грають алгебри Лі простої характеристики.

Перший розділ даної роботи присвячений основним поняттям теорії алгебр Лі. Наприкінці нього наведені деякі приклади задач із даної теми. У другому ж розділі розглядаються безпосередньо напівпрості алгебри Лі. Наприкінці підбитий підсумок роботи, також наведений список використаної літератури.

Дана робота буде цікава математикам різних спеціальностей та студентам університету.

Розділ 1

Основні поняття

Приклади

1. Довестипершу та другувластивості закону композиції [𝕭₁𝕭₂] (3).

Доведення: 1. [𝕭₁ 𝕭₂] = = = − = −[𝕭₂ 𝕭₁].

2. [𝕭₁ + 𝕭₂, 𝕭₃] = = =

= = [𝕭₁ 𝕭₃] + [𝕭₂ 𝕭₃].

2. Нехай 𝕬, 𝕭 – асоціативні алгебри. Показати, що якщо 𝛉 –гомоморфізм алгебри 𝕬 в 𝕭, то 𝛉 є гомоморфізмом алгебри 𝕬_𝐿 в 𝕭_𝐿.

Доведення: 𝛉 – гомоморфізм алгебри 𝕬 в 𝕭 ⟹ для операцій «−» та «×», визначених на даних алгебрах для ∀ 𝑎₁ ∈ 𝕬, 𝑏₁ ∈ 𝕭 виконується:

𝛉 (𝑎₁ − 𝑏₁) = 𝛉 (𝑎₁) – 𝛉 (𝑏₁); 𝛉(𝑎₁ × 𝑏₁ ) = 𝛉 (𝑎₁) × 𝛉(𝑏₁) ⟹ ∀ 𝑎₂ ∈ 𝕬_𝐿, 𝑏₂ ∈ 𝕭_𝐿 𝛉 ([𝑎₂ 𝑏₂]) = 𝛉 (𝑎₂𝑏₂ − 𝑏₂𝑎₂) = 𝛉 (𝑎₂𝑏₂) – 𝛉 (𝑏₂𝑎₂) = 𝛉 (𝑎₂) × 𝛉 (𝑏₂) − 𝛉(𝑏₂) × ×𝛉 (𝑎₂) =[ 𝛉 (𝑎₂) 𝛉 (𝑏₂)] ∎

3. Якщо 𝑆 – підмножина в лієвій алгебрі 𝕷, то централізатором 𝕮(𝑆) є підмножина таких елементів 𝑐, що [𝑠𝑐]=0 для всіх 𝑠 ∈ 𝑆. Показати, що 𝕮(𝑆) – підалгебра.

Доведення: включення очевидне, доведемо замкненість. ∀ 𝑐 ∈ 𝕮(𝑆) [𝑠𝑐] = 𝑠𝑐 − 𝑐𝑠 = 0 ⟹ 𝑠𝑐 = 𝑐𝑠 ⟹ ∀ 𝑐₁, 𝑐₂ ∈ 𝕮(𝑆) [𝑠,𝑐₁𝑐₂] = 𝑠𝑐₁𝑐₂ − 𝑐₁𝑐₂𝑠 =

= 𝑐₁𝑠𝑐₂− 𝑐₁𝑐₂𝑠 = 𝑐₁𝑐₂𝑠 − 𝑐₁𝑐₂𝑠 = 0. ∎

4. Перевірити, що якщо 𝕷 має базис (е₁, е₂, …, е₈) з таблицею множення

[𝑒₁ 𝑒₂] = 𝑒₅, [𝑒₁ 𝑒₃] = 𝑒₆, [𝑒₁ 𝑒₄] = 𝑒₇, [𝑒₁ 𝑒₅] = −𝑒₈,

[𝑒₂ 𝑒₃] = 𝑒₈, [𝑒₂ 𝑒₄] = 𝑒₆, [𝑒₂ 𝑒₆] = −𝑒₇, [𝑒₃ 𝑒₄] = −𝑒₅,

[𝑒₃ 𝑒₅] = −𝑒₇, [𝑒₄ 𝑒₆] = −𝑒₈, всі решта [𝑒_𝑖 𝑒_𝑗] = 0,

і для 𝑖 < 𝑗 [𝑒_𝑖 𝑒_𝑖] = 0, [𝑒_𝑖 𝑒_𝑗] = −[𝑒_𝑗 𝑒_𝑖], то 𝕷 – нільпотентна алгебра Лі.

Доведення: Нехай (α,𝑒): = α₁𝑒₁ + α₂𝑒₂ + … + α₈𝑒₈ ∈ 𝕷, де α – деякий скаляр. При піднесенні даного елемента до квадрату ми отримаємо елемент виду β₅𝑒₅ + β₆𝑒₆ + β₇𝑒₇ + β₈𝑒₈. Знову підносимо до квадрату, в результаті чого отримуємо 0. Отже, дана алгебра Лі 𝕷 є нільпотентною з ступенем нільпотентності 3. ∎

 

Розділ 2

Напівпрості алгебри Лі

Наша перша ціль – показати, що алгебра Лі над полем характеристики 0 напівпроста тоді і тільки тоді, коли вона не вироджена. З огляду на теорему 2. 1. 2., можна звести вивчення напівпростих алгебр Лі до вивчення простих алгебр Лі.

На протязі всього цього розділу вважається, що основне поле Р має характеристику 0.

Напівпрості алгебри Лі

Нехай 𝐿 – алгебра Лі над 𝑃 = , і нехай

(1) 𝐿 = 𝐿 (0) ⨁ 𝐿 (𝛼₁) ⨁ … ⨁ 𝐿 (𝛼_𝑘)

- її розклад на кореневі підпростори відносно підалгебри Картана 𝐿(0)=𝐿₀. Нехай 𝑉 – векторний простір над 𝑃 і (𝑉, 𝑓) – представлення алгебри 𝐿. Так як відображення 𝐿₀ ∋ 𝑋 ↦ 𝑓 (𝑋) ∈ 𝑔𝑙 (𝑉) є представленням нільпотентної алгебри Лі, то ми отримуємо розклад підпростору 𝑉 в пряму суму

(2) 𝑉 = 𝑉 (𝜆₁) ⨁ 𝑉(𝜆₂) ⨁ …,

де 𝜆_𝑖 (𝑖 = 1, 2, …) - функції із 𝐿₀ в 𝑃 і для довільного 𝑋 ∈ 𝐿₀ підпростір 𝑉 (𝜆_𝑖) міститься в узагальненому власному підпросторі ендоморфізма 𝑓(𝑋), що відповідає власному значенню 𝜆_𝑖 (𝑋). Функції 𝛼₁, 𝛼₂, …, 𝜆₁, …, лінійні; функції 𝜆_𝑖 називаються вагами алгебри 𝐿 відносно підалгебри Картана 𝐿₀ (і представлення (𝑉, 𝑓)). Розуміється, функції 𝛼₁, …, 𝛼_𝑘 можна вважати попарно різними, тому існує такий елемент 𝑋 ∈ 𝐿₀, що всі числа 𝛼_𝑖 (𝑋) відмінні від нуля і від один одного. При такому виборі 𝑋 підпростори 𝐿(𝛼_𝑖) співпадають з узагальненими власними підпросторами ендоморфізма 𝑎𝑑 𝑋, що відповідають власним значенням 𝛼_𝑖 (𝑋). Звідси, [𝐿 (𝛼_𝑖), 𝐿 (𝛼_𝑗)] міститься в власному підпросторі, що відповідає власному значенню 𝛼_𝑖 (𝑋) + 𝛼_𝑗 (𝑋)тобто в 𝐿 (𝛼_𝑖 + 𝛼_𝑗). Таким чином

(3) [𝐿 (𝛼), 𝐿 (𝛽)] ⊂ 𝐿 (𝛼 + 𝛽),

де 𝛼, 𝛽 - корені (або 0). Аналогічні міркування дають

(4) 𝐿 (𝛼) 𝑉 (𝜆) ⊂ 𝑉 (𝛼 + 𝜆).

В (3) і (4) як і раніше мається на увазі, що 𝐿 (𝛼 + 𝛽) = 0, якщо 𝛼 + 𝛽 (≠ 0) не є коренем, і 𝑉 (𝛼 + 𝜆) = 0, якщо 𝛼 + 𝜆 не є вагою.

Теорема 2. 3. 1. Нехай 𝐿 – напівпроста алгебра Лі над 𝑃.

1) 𝐿 розкладається в пряму суму простих ідеалів, причому цей розклад однозначний з точністю до порядку доданків.

2) Ідеали і факторалгебри алгебри 𝐿 напівпрості.

3) 𝐿 = 𝐿⁽¹⁾

4) Алгебра 𝐿 – повна.

5) Для довільного розширення поля 𝑃 алгебра напівпроста.

Нехай 𝐿 – алгебра Лі. Довільна підалгебра 𝐴 в 𝐿, інваріантна відносно всіх диференціювань алгебри 𝐿: 𝑑𝑒𝑟(𝐿) 𝐴 ⊂ 𝐴, називається характеристичною. Характеристичні підалгебри є ідеалами. Для довільних 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐿 і 𝛿 ∈ 𝑑𝑒𝑟 (𝐿) 𝛿 [𝑋, 𝑌] = [𝛿𝑋, 𝑌] + [𝑋, 𝛿𝑌], і тому 𝐿⁽¹⁾ – характеристична підалгебра.

Твердження 2. 3. 2. Радикал є характеристичною підалгеброю.

 

Висновок

Основним результатом роботи є твердження про те, що алгебра Лі над полем характеристики 0 напівпроста тоді і тільки тоді, коли вона невироджена. Це дозволяє звести вивчення напівпростих алгебр Лі до вивчення простих алгебр Лі. Як наслідок отримується ще один важливий результат, а саме - класифікація простих алгебр Лі над полем характеристики 0.

 

Василевич Оксана Вікторівна

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук,

асистент Білун С. В.

 

 

Київ - 2012 р.

Зміст

Вступ…………………………………………………………………………………………………... ст. 3

 

Розділ 1. Основні поняття. …………………………………………………………………. ст. 4

1. 1. Визначення та побудова алгебр Лі і асоціативних алгебр ……..… ст. 4

1. 2. Алгебри лінійних перетворень. Диференціювання…………………....ст. 5

1. 3. Ідеали, розв’язність, нільпотентність……………………………………..….ст. 6

1. 4. Приклади………………………………………………………………………………...…..ст. 8

 

Розділ 2. Напівпрості алгебри Лі………………………………………………………… ст.9

2. 1. Представлення алгебри. Форми Кіллінга…….…………………………… ст. 9

2. 2. Підалгебри Картана і розклад по кореневим підпросторам….... ст. 10

2. 3. Напівпрості алгебри Лі……………………………………………………….……. ст. 112. 4. Розклад по кореневим підпросторам……………………………………..…ст.12

2. 5. 𝛼 – послідовність ваг………………………………………………………………….ст.13

2. 6. Фундаментальна система коренів і 𝜋 – система……………………… ст. 13

2. 7. Класифікація 𝜋 – систем…………………………………………………………... ст. 15

2. 8. Класифікація простих алгебр Лі. Класичні прості алгебри Лі…. ст. 17

 

Висновок…………………………………………………………………………………………. ст. 23

 

Список використаної літератури …………………………………………………… ст. 24

 

 

Вступ

Теорія алгебр Лі виросла із теорії Лі неперервних груп. Основним результатом останньої є зведення «локальних» задач, що відносяться до груп Лі, до відповідних задач теорії алгебр Лі, тобто до задач лінійної алгебри. Кожній групі Лі співставляється алгебра Лі над полем дійсних або комплексних чисел, і встановлюється відповідність між ана-літичними підгрупами групи Лі і підалгебрами її алгебри Лі, при якому інваріантним підгрупам відповідають ідеали, абелевим підгрупам – абелеві підалгебри і т. д. Ізоморфізм алгебр Лі еквівалентний локальному ізоморфізму відповідних груп Лі.

Останнім часом введення відповідних алгебр Лі виявилося корисним при вивченні двох інших розділів теорії груп. Першим із цих розділів є теорія вільних груп, яку можна вивчити за допомогою вільних алгебр Лі. Хоча цей зв'язок не такий тісний, як в теорії Лі, застосування алгебр Лі привело до важливих результатів відносно вільних груп і інших класів абстрактних груп. Варто сказати, що важливу роль в цих застосуваннях до теорії абстрактних груп грають алгебри Лі простої характеристики.

Перший розділ даної роботи присвячений основним поняттям теорії алгебр Лі. Наприкінці нього наведені деякі приклади задач із даної теми. У другому ж розділі розглядаються безпосередньо напівпрості алгебри Лі. Наприкінці підбитий підсумок роботи, також наведений список використаної літератури.

Дана робота буде цікава математикам різних спеціальностей та студентам університету.

Розділ 1

Основні поняття

Визначення та побудова алгебр Лі і асоціативних алгебр

Нагадаємо означення алгебри (не обов’язково асоціативної) над полем Ф. Це просто векторний простір над Ф, в якому визначений білінійний закон множення. Таким чином, кожній парі (x, y), x, y Є ми можемо співставити добуток xy Є , що задовольняє умовам білінійності

(х₁ + х₂) у = х₁у + х₂у, х (у₁ + у₂) = ху₁ (1)

α (xy) = (αx) y = x (αy), α (2)

Аналогічно визначається алгебра над комутативним кільцем Ф, що має одиницю 1. Це лівий Ф -модуль з добутком xy Є , що задовольняє умовам (1) і (2). Нас будуть цікавити основним чином алгебри, визначені над полями, і, більш того, алгебри, що мають скінченні розмірності як векторні простори. У таких алгебр існує базис (е₁, е₂, …, е_n), і ми можемо написати е_iе_j = , де , Ці елементів називаються структурними константами алгебри (відносно вибраного базису). Вони дають значення кожного добутку е_iе_j, . Більш того, ці константи визначають кожен добуток в 𝔄. Означення 1. 1. 1. Алгебра 𝔄 називається асоціативною, якщо її операція множення задовольняє умові асоціативності (xy) z = x (yz). Алгебра 𝔄 називається алгеброю Лі, якщо її операція множення задовольняє умовам x² = 0, (xy) z + (yz) x +(zx) y = 0. Друга із цих умов називається тотожністю Якобі.

Твердження 1. 1. 2. Для асоціативності алгебри 𝔄 з базисом (е₁, е₂,…, е_n) над необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови ) = , , або, що теж саме, , , де - структурні константи базису (е₁, е₂, …, е_n) алгебри 𝔄: е_iе_j= . Алгебра 𝔄 є алгеброю Лі в тому і тільки в тому випадку, коли , для . В термінах структурних констант ці умови виражаються наступним чином:

.