Система зарядов
| Напряженность поля
| II потенциал
|
Точечный заряд Q
| E = Q/4πε0r2
| φ =Q/4πε0r
φ∞ = 0
|
Равномерно заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью зарядов σ
| E = σ/2ε0
|
|
Две равномерно разноименно заряженные бесконечные плоскости, расположенные на расстоянии d
| 0 ≤ r ≤ d: E= 0
r < 0; r > d:
E = σ/ε0
|
|
Равномерно заряженная сфера радиусом R
| 0 < r < R: E = 0
r = R: E = Q/4πε0R2
r > R: E = Q/4πε0r2
| 0 < r ≤ R:
φ = Q/4πε0R
r > R:
φ = Q/4πε0r
|
Равномерно объемно заряженный шар, радиусом R
| 0 < r < R:
E = Qr/4πε0R3
r = R: E = O/4πε0R2
r > R: E = Q/4πε0r2
| 0 < r < R:
r = R: φ = Q/4πε0R
r > R: φ = Q/4πε0r
|
Равномерно заряженный бесконечный цилиндр радиуса R (нить) с линейной плотностью заряда τ
| r < R: E = 0
r = R: E = τ/2πε0R;
r > R: E = τ/2πε0r
| r < R: φ = τ/2ε0
r > R:
|
ЗАДАНИЕ 9. ДИЭКТРИКИ, ПРОВОДНИКИ И КОНДЕНСАТОРЫ
9.1. Диэлектрики. Электрическое поле в диэлектриках
Электрический момент диполя:
где – плечо диполя
|
Поляризованность: P = σ ´,
где V – объем диэлектрика;
pi -дипольный момент i -й молекулы;
n0 – концентрация молекул;
σ´ - поверхностная плотность связанных зарядов.
|
Связь между поляризованностью и напряженностью электростатического поля: P = æε0E,
где æ > 0 - диэлектрическая восприимчивость вещества
|
Связь между диэлектрической проницаемостью и диэлектрической восприимчивостью вещества: ε = 1 + æ
|
Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поля: .
Связь между векторами электростатического смещения, напряженностью и поляризованностью:
|
Элементарный поток вектора электрического смещения через площадку:
dФ D = = DdScos α = DndS,
где –вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью к площадке;
Dn –составляющая вектора по направлению нормали n к площадке
|
Теорeмa Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:
Фd = = DdScos α = DndS = ,
где - алгебраическая сумма Qi, заключенных внутри замкнутой поверхности свободных электрических зарядов. Интегрирование ведется по всей поверxности.
|
9. 2. Электроемкость проводникoв и конденсаторов
Электроемкость уединенного проводника:
где Q–заряд, сообщенный проводнику, φ - потенциал проводника.
Электроемкость проводника, помещенного в диэлектрик: C = εC0
Электроемкость шарового проводника: C = 4πε0εR
где R– радиус шара; ε – диэлектрическая проницаемость среды
|
Электроемкость конденсатора: C = ,
где Q – заряд, сообщенный одной из обкладок;
∆φ - разность потенциалов между обкладками
|
Емкость плоского конденсатора:
где S - площадь каждой пластины конденсатора;
d – расстояние между пластинами
|
Емкость цилиндрического конденсатора: ,
где l – длина обкладок конденсатора;
r1 и r2 - радиусы полых коаксиальных цилиндров
|
Емкость сферического конденсатора:
где r1 и r2 - радиус концентрических сфер
|
Емкость системы конденсаторов
последовательное соединение: 1/ C = 1/ Ci;
параллельное соединение: C = Ci,
где Ci - емкость i-го конденсатора, n - число конденсаторов в батарее.
|
8.3 Энергия системы точечных электрических зарядов, заряженных проводников и конденсаторов. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии. Пондермоторные силы.
Энергия взаимодействия системы точечных зарядов: Wn = Qiφi/2,
где φi - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q i всеми зарядами, кроме i –го
|
Энергия уединенного заряженного проводника:
Wn = C2/2φ = Qφ/2 = Q2/2C,
Где Q – заряд; C –электроемкость, φ –потенциал проводника
|
Энергия заряженного конденсатора:
Wn = C2/2∆φ = Q∆φ/2 = Q2/2C,
Где ∆φ - разность потенциалов между обкладками
|
Энергия электростатического поля плоского конденсатора (однородное поле): ,
Где S – площадь одной из пластин; V = Sd - объем конденсатора
|
Объемная плотность энергии: w = ; w = εε0E2/2 = D2/2 εε0 = ED/2,
где D - электрическое смещение
|
Энергия электрического поля Wn = w dV
|
Силы притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками плоского конденсатора (пондермоторные силы):
F = Q2/(2 εε0S) = σ2S/(2 εε0)= εε0E2S/2
|
ЗАДАНИЕ 10. Постоянный электрический ток
10.1. Электрический ток, сила и плотность тока
Сила тока
Единица силы тока - 1 А (ампер)
Сила постоянного тока: = const
Плотность тока:
Единица плотности тока - 1 А/м2
Заряд, переносимый через поперечное сечение проводника за время dt,:
dQ = ne<v>Sdt,
где n и e – концентрация и заряд носителей тока,
<v> - средняя арифметическая скорость упорядоченного движения электронов
Сила тока:
Плотность тока:
|
10.2. Электродвижущая сила (ЭДС). Напряжение
ЭДС: ,
где Аст - работа сторонних сил по перемещению положительного заряда Qo
Работа сторонних сил по перемещению заряда Q0 на замкнутом участке пути:
,
где - напряженность поля сторонних сил.
ЭДС, действующая в цепи,:
ЭДС на участке цепи
|
Сила, действующая на заряд в проводнике:
Работа результирующей силы на участке 1-2 зарядом Q0:
Для замкнутой цепи:
Напряжение на участке 1-2:
|
10.3. Сопротивление проводников
Сопротивление однородного линейного проводник длиной l и площадью поперечного сечения S
где - удельное электрическое сопротивление
Единица измерения сопротивления – Ом
Единица измерения удельного сопротивления – Ом.м
Электрическая проводимость:
Единица измерения электрической проводимости – См (сименс)
Удельная электропроводимость:
Единица измерения удельной электропроводности – См-1
Зависимость сопротивления от температуры:
,
где - температурный коэффициент сопротивления, К-1, t – температура, 0С.
|
10.4. Последовательное и параллельное соединение проводников
Соединение
| Последовательное
| Параллельное
|
Постоянная величина
| I1 = I2 = …=In
I=concs
| U1=U2=…Un
U=const
|
Суммируемая величина
| Напряжение
| сила тока
|
Результирующее
сопротивление
|
|
|
|
|
|
10.5. Закон Ома для однородного участка и замкнутой цепи.
Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащего источника тока):
,
|
Закон Ома в дифференциальной форме:
|
Закон Ома для замкнутой цепи:
где R –сопротивление внешней цепи,
r – внутреннее сопротивление источника тока.
Напряжение на внешней цепи:
Ток короткого замыкания:
|
Закон Ома для батареи последовательно соединенных элементов:
где n - число элементов в батарее
|
Закон Ома для батареи параллельно соединенных элементов:
где n – число элементов в батарее
|
Закон Ома для смешанного соединения элементов в батарею:
где k- число ветвей в батарее, n – число элементов в ветви.
|
Закон Ома для неоднородного участка цепи (обобщенный закон Ома):
где - действующая на участке 1-2 ЭДС, - разность потенциалов, приложенная к концам проводника.
|
10.6. Анализ обобщенного закона Ома
| Источника тока нет:
| Из ОЗО:
| Закон Ома для
однородного участка цепи
|
| Цепь замкнута
| Из ОЗО:
где R - сопротивление всей цепи
| Закон Ома для замкнутой цепи
|
| Цепь разомкнута:
I=0
| Из ОЗО
:
| ЭДС в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на ее концах
|
10.7. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей
Первое правило Кирхгофа:
Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:
|
Второе правило Кирхгофа:
В любом замкнутом контуре:
|
10.8. Работа и мощность тока
Элементарная работа электрического тока:
dA= Udq = IUdt = I2Rdt =
|
Работа электрического тока:
A= IUdt = I2Rdt =
Единица работы – Дж (джоуль)
Внесистемная единица работы 1квт.ч= 3,6 МДж=.3,6.106 Дж
|
Работа постоянного электрического тока:
A= Uq = IUt = I2Rt =
|
Мощность электрического тока:
Единица мощности – Вт (ватт)
|
Закон Джоуля - Ленца:
dQ= Udq = IUdt = I2Rdt =
Закон Джоуля –Ленца в интегральной форме:
Q = IUdt = I2Rdt =
|
Закон Джоуля – Ленца для постоянного тока
Q= Uq = IUt = I2Rt =
|
Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме:
,
где - удельная тепловая мощность тока
|
Коэффициент полезного действия источника тока (КПД):
|
ЗАДАНИЕ 11. Магнитное поле
11.1. Основные характеристики магнитного поля
Вращающий момент сил на рамку с током в магнитном поле
где p m-магнитный момент рамки с током,
- магнитная индукция;
- угол между нормалью к плоскости контура и вектором
|
Магнитный момент рамки с током
S – площадь поверхности контура (рамки);
- единичный вектор нормали к поверхности рамки
|
Магнитная индукция
где Ммах – максимальный вращающий момент
Единица измерения индукции магнитного поля: Тл (Тесла)= 1Н/А.м
|
Магнитная индукция: ,
где - вектор напряженности магнитного поля, А/м
- магнитная проницаемость среды,
- магнитная постоянная
|
Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей:
Магнитная индукция результирующего поля равна:
где Вi – магнитная индукция, создаваемая каждым током (движущимся зарядом) в отдельности
|
11.2. Закон Био -Савара – Лапласа и его применение
Закон Вио – Савара – Лапласа:
Магнитная индукция, создаваемая элементом проводника с током I в некоторой точке равна: ,
где - радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку поля.
Скалярная форма записи закона Био – Савара – Лапласа имеет вид:
где - угол между и .
|
Магнитное поле прямого тока: ,
где - углы, под которыми из рассматриваемой точки поля видны начало и конец проводника,
r – расстояние до проводника
Магнитное поле бесконечного прямого тока:
|
Магнитное поле в центре кругового витка радиусом r:
|
Магнитное поле на оси кругового витка на расстоянии b от его центра
=
где – магнитный момент витка с током I
|
Магнитное поле на оси соленоида конечной длины:
,
где n=N/L – число витков, приходящихся на единицу длины,
N, L – соответственно, число витков и длина соленоида,
- углы, под которыми из произвольной точки на оси соленоида видны его концы
Максимальная индукция в центре соленоида равна:
,
где r – радиус витка соленоида.
|
11.3. Закон. Ампера. Взаимодействие параллельных токов.
Сила Ампера, действующая на элемент проводника с током I
,
где - угол между и .
Сила Ампера, действующая в магнитном поле на проводник конечной длины l с током I:
Сила Ампера, действующая в однородном магнитном поле на прямолинейный проводник: ,
где -угол между током (вектором плотности тока) в проводнике и вектором
|
Сила взаимодействия двух параллельных токов I1, I2 длиной l находящихся на расстоянии r друг от друга:
|
11.4. Магнитное поле движущегося заряда
Магнитное поле точечного заряда Q, свободно движущегося с нерялитивистской скоростью
,
где - радиус-вектор, проведенный из заряда Q к точке наблюдения,
- угол между и .
|
11.5. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле
Сила Лоренца:
где Q – электрический заряд, движущийся со скоростью в магнитном поле с индукцией
угол между и
|
Формула Лоренца (сила, действующая на движущийся заряд со стороны магнитного поля с индукцией и электрического поля с напряженностью :
|
1. В однородном магнитном поле, если угол между и равен 0 или , сила Лоренца Fл=0, то частица движется равномерно и прямолинейно
2. Если угол = /2, тогда , частица движется по окружности радиуса: ,
период обращения частицы равен:
3. Заряженная частица движется со скоростью под углом к вектору , возникает движение по спирали, ось которой параллельна магнитному полю.
Шаг винтовой линии:
Радиус спирали равен:
|
ЗАДАНИЕ 12. РАБОТА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ.
12.1. Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток). Теорема Гаусса для поля
Элементарный магнитный поток сквозь площадку dS:
|
Магнитный поток сквозь произвольную поверхность S
|
Магнитный поток в однородном поле:
где - угол между направлением вектора нормали к площадки и вектора
Единица измерения магнитного потока – 1 Вб (вебер) =1 Тл.м2
|
Теорема Гаусса для поля :
Поток вектора магнитной индукции сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:
|
12.2 Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле
Элементарная работа по перемещению проводника с током в магнитном поле:
|
Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле:
|
Работа по перемещению контура с током в магнитном поле
где - потокосцепление, N- число витков контура.
|
12.3. Закон Фарадея (закон электромагнитной индукции). Правило Ленца.
Закон Фарадея
ЭДС электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность. ограниченную контуром:
|
Правило Ленца: Индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток
|
ЭДС индукции в неподвижных проводниках: ,
где - напряженность электрического поля индуцированного переменным магнитным полем
|
ЭДС индукции в проводнике длиной l, движущемся в однородном магнитном поле c постоянной скоростью : ,
где - угол между векторами и
|
ЭДС индукции, возникающая при вращении рамки в магнитном поле – модель генератора:
где N и S – число витков и площадь рамки,
В – индукция магнитного поля, - угловая скорость вращения рамки, - максимальное значение ЭДС
|
12.4. Индуктивность контура. Самоиндукция.
Сцепленный с контуром магнитный поток
,
где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью.
Единица индуктивности – Гн (генри) =1 Ом.с
|
ЭДС самоиндукции в контуре:
Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не меняется, то L=const и ЭДС самоиндукции
|
Индуктивность соленоида:
|
12.5 Токи при размыкании и замыкании цепи
Экстраток, возникающий при размыкании цепи: ,
где - время релаксации, за которое сила тока уменьшается в е раз
|
Экстраток при замыкании цепи: .
где - установившийся ток (при
|
12.6. Взаимная индукция. Трансформатор
Взаимная индукция - явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении силы тока в другом
Индуцируемая в контурах ЭДС
|
Взаимная индуктивность двух катушек, намотанных на тороидальный сердечник:
|
Трансформатор – устройство для понижения или повышения напряжения переменного тока
Коэффициент трансформации:
k > 1 – трансформатор понижающий
k < 1 – трансформатор повышающий
Коэффициент полезного действия трансформатора:
|
12.7. Энергия магнитного поля.
Энергия магнитного поля контура с током:
|
Энергия магнитного поля соленоида
,
где V=Sl – объем соленоида.
|
Объемная плотность энергии магнитного поля:
|
12.8 Магнитные свойства вещества. Магнетики
Орбитальный магнитный момент электрона
,
где I=e , - частота вращения электрона по орбите, S – площадь орбиты, g – гиромагнитное отношение орбитальных моментов, е и m – заряд и масса электрона
|
Механический момент электрона:
|
Собственный механический момент электрона (спин):
|
Проекция на направление вектора может иметь одно из двух значений:
где - магнетон Бора
|
Магнетик – вещество способное под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться)
диамагнетики: <1
парамагнетики: > 1
ферромагнетики: >> 1
|
12.9 Закон полного тока для магнитного поля в веществе. Циркуляция вектора
Теорема о циркуляции вектора :
Циркуляция вектора магнитной индукции : по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молекулярных токов, охватываемых этим контуром. умноженной на магнитную постоянную:
|
Теорема о циркуляции вектора : , где
|
12.10 Условия на границе раздела двух магнетиков
Вблизи границы раздела двух магнетиков:
|
12.11Основы теории Максвелла для электромагнитного поля
Изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле ЕВ циркуляция которого6
|
Ток смещения:
Плотность тока смещения: .
где - вектор электрического смещения
|
Плотность тока смещения в диэлектрике: ,
где - плотность тока смещения в вакууме;
- плотность тока поляризации.
|
Плотность полного тока:
|
Обобщенная теорема о циркуляции вектора :
|
12.13 Уравнения Максвелла для электромагнитного поля
Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:
;
Величины, входящие в уравнение Максвелла, не являются независимыми и связаны так:
|
Полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме
;
|
12.13 Следствия из уравнений Максвелла Свойства электромагнитных волн.
Волновое уравнение .
где - оператор Лапласа
- фазовая скорость
- скорость распространения электромагнитных волн в вакууме
Векторы колеблются в одинаковых фазах, причем:
|
Объемная плотность энергии электромагнитных волн?
|
Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны – вектор Пойнтинга:
|
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. В вершинах квадрата находятся одинаковые по величине одноименные заряды (рис 9). Определить величину заряда q0, который надо поместить в центр квадрата, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Будет ли это равновесие устойчивым?
Условие:
q1 = q2 = q3 = q4 = q;
qo -?
Решение. Рассмотрим силы, действующие на любой из зарядов в вершинах, например на заряд q2 (рис. 9). Со стороны зарядов q1, q2, q3 на него действуют силы F1, F3, F4 соответственно, причем F1 = F3 = kq2/a2, где а – сторона квадрата, F4 = kq2/2a2. Сила, действующая на заряд q2 со стороны заряда q0 равна F0 = 2kqq0/a2. Условие равновесия заряда имеют вид
, (1)
В проекции на ось х уравнение (1) запишется
F1 + F4cos α – F0 cos α = 0,
или .
Вычисление: q0 = q(1 + )/ = 0,9 q.
Ответ: q0 = 0,9 q.
Согласно теореме Ирншоу, система неподвижных точечных зарядов, находящихся на конечном расстоянии друг от друга, не может находиться в состоянии устойчивого равновесия лишь под действием кулоновских сил.
Пример 2. Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно пластинам со скоростью v0 = 1,0·10 6 м/с. Длина конденсатора L =1,0 см, напряженность электрического поля в нем Е =5,0·103 В/м. Найти скорость v электрона при вылете из конденсатора и его смещение у.
Условие:
v0 = 1,0·106 м/с;
L = 1,0 см = 0,01 м;
Е = 5,0·103 В/м;
е = 1,6·10-19 Кл;
m = 9,1·10-31кг;
v -? y -?
Решение. Сила тяжести, действующая на электрон, равна
Ft = mg = 9,1·10-30 Н.
Кулоновская сила равна F = eE = 8·10-16 Н, т. е. кулоновская сила много больше, чем сила тяжести. Поэтому можно считать, что движение электрона происходит только под действием кулоновской силы.
Запишем для электрона второй закон Ньютона
ma = F, где F = eE.
Направление осей координат показано на рис. 10. Движение электрона вдоль оси х – равномерное со скоростью v0, так как проекция силы F на ось х равна нулю, следовательно время, в течении которого электрон пролетает между пластинами конденсатора t = L/v0.
Движение электрона вдоль оси у – равноускоренное под действием силы F, направленное вдоль этой оси.
Ускорение ау=а=еЕ/m.
Начальная скорость и смещение электрона вдоль оси у равны: vy = 0
Скорость электрона в момент вылета v, направленная по касательной к траектории его движения равна:
; v = (vx2 + vy2)1/2,
где vx = v0, vy = at.
Окончательно получаем: = 8,7·106 м/с.
Проверяем размерность: ,
Вычисления:
Угол между вектором скорости и осью х определяется по формуле
= 83,50.
Ответ: v= 8,7·106м/с, α = 83,50.
Пример 3. В вакууме имеется скопление зарядов в форме длинного цилиндра радиуса R = 2 см (рис. 11). Объемная плотность зарядов постоянна и равна ρ = 2 мКл/м3. Найти напряженность поля в точках 1 и 2, лежащих на расстояниях r1 = 1,0 см и r2 = 2,0 см от оси цилиндра. Построить график Е(r).
Условие
R = 2 см = 0,02 м;