Расчет цепей однофазного переменного тока параметрическим методом

1.1. Цепь с последовательным соединением приемников

Приемник электрической энергии, включенный в цепь синусоидального тока, в отличие от цепи постоянного тока в общем случае, кроме электрического (активного) сопротивления r, обладает индуктивным x_Lи емкостным x_C сопротивлениями, причем

где L – индуктивность; C – емкость; w = 2pf - угловая частота; f - частота питающей сети.

Рассмотрим цепь с последовательным соединением r, L и С, представленную на рисунке 1.1а.

Рис.1.1

Можно показать, что при общем для всей цепи токе i = I_msinwt напряжение на активном сопротивлении u = U_masinwt совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивном элементе u_L = U_mLsin(wt + p/2) опережает ток на угол p/2, напряжение на емкости u_C = U_mCsin(wt - p/2) отстает от тока на угол p/2. Согласно второму закону Кирхгофа, для мгновенных значений синусоидальных напряжений справедливо соотношение u = u_a + u_L + u_C.

Как известно, можно заменить операции алгебраического сложения мгновенных значений синусоидальных величин операциями геометрического сложения вращающихся векторов, изображающих эти синусоиды , а для действующих значений , где согласно закону Ома: U_m = I_mz; U_ma= I_mr; U_mL= I_mx_L; U_mC= I_mx_C. Разделив обе части этих равенств на , получим: U = Iz; U_a = Ir; U_L = Ix_L; U_C = Ix_C.

Графическое решение векторного уравнения представляет собой векторную диаграмму напряжений, представленную на рисунке 1.1б. Из диаграммы видно, что индуктивное и емкостное напряжения находятся в противофазе, образуя вектор реактивного напряжения , где x = x_L - x_C - реактивное сопротивление. На диаграмме можно выделить прямоугольный векторный треугольник напряжений (на рис. 1.1б он заштрихован). По теореме Пифагора

,

где - полное сопротивление цепи. Разделив стороны треугольника напряжений на ток I, получим подобный исходному треугольник сопротивлений (см. рис. 1.1в). Из треугольника сопротивлений вытекают следующие соотношения:

Умножив стороны треугольника напряжений на ток или стороны треугольника сопротивлений на квадрат тока, получим треугольник мощностей (см. рис. 1.1г) со сторонами:

Вт - активная мощность;

вар – реактивная мощность;

ВА – полная мощность.

1.2. Цепь с параллельным соединением ветвей

Имея на векторной диаграмме (см. рис. 1.2а) правильно ориентированные друг относительно друга вектор напряжения и вектор тока , можно представить последний в виде двух составляющих.

Составляющую тока, совпадающую по направлению с вектором напряжения, называют активной составляющей, или активным током (I_a), составляющую, перпендикулярную вектору напряжения - реактивной составляющей, или реактивным током (I_p).

Рис. 1.2

DОАВ на рисунке 1.2а называется треугольником токов, из него следует:

.

Воспользовавшись законом Ома и соотношениями, вытекающими из треугольника сопротивлений, получим:

.

Для активного, реактивного и полного токов можно получить следующие формулы:

где - активная проводимость;

где - реактивная проводимость;

где - полная проводимость.

Размерность проводимости:

.

Так как r > 0 и z > 0, то всегда g > 0 и у > 0; при x > 0 и b > 0; при х < 0 и b < 0.

Разделив величину каждой из сторон треугольника токов на U, получим треугольник проводимостей (см. рис. 1.2б). Из него следует:

;

На рисунке 1.3а приведена разветвленная цепь с тремя параллельными ветвями. На основании первого закона Кирхгофа i = i₁ + i₂ + i₃. Синусоидальные токи можно представить вращающимися векторами и заменить алгебраическое сложение мгновенных значений токов геометрическим сложением действующих значений изображающих их векторов:

Решить данное уравнение, т.е. определить токи в ветвях (I₁, I₂, I₃) и в неразветвленной части цепи I, можно аналитическим методом, который называется методом проводимостей. Он основан на представлении токов в ветвях и неразветвленной части цепи в виде активных и реактивных составляющих (см. рис. 1.3б).

С помощью векторных диаграмм токов для всей цепи и для параллельных ветвей, совмещенных на одном графике, доказываются следующие положения.

1. Эквивалентная активная проводимость всей цепи равна арифметической сумме активных проводимостей параллельных ветвей:

g = g₁ + g₃.

2. Эквивалентная реактивная проводимость всей цепи равна алгебраической сумме реактивных проводимостей параллельных ветвей:

b = - b_С1+ b_L2- b_C2+ b_L3.

При этом эквивалентная полная проводимость всей цепи

Полученные формулы позволяют вести расчет цепи однофазного тока с параллельным соединением ветвей без графических построений.

Частные случаи:

1.

2.

3.

1.3. Цепь со смешанным соединением приемников

На рисунке 1.4а изображена схема цепи однофазного тока, содержащая три параллельных ветви между узлами а и b и неразветвленную часть с последовательным соединением активного r и индуктивного x_L, сопротивлений.

Для определения токов в неразветвленной части цепи (I) и параллельных ветвях (I₁, I₂, I₃) при заданном напряжении на зажимах цепи и известных сопротивлениях необходимо цепь со смешанным соединением приемников привести к неразветвленной цепи. Для этого следует определить эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления параллельных ветвей из формул:

согласно которым

,

после чего в зависимости от знака реактивного сопротивления осуществляется переход к одной из следующих неразветвленных цепей (см. рис. 1.4б, в).

В соответствии с законом Ома ток в цепях, изображенных на рисунке 1.4б, в, равный току в неразветвленной части исходной цепи, определяется по одной из формул:

где z_п - полное сопротивление всей цепи.

Рис. 1.4

Токи в параллельных ветвях определяются через величину напряжения между узлами а и b: U_ab = Iz_э.

где

Угол сдвига фаз между током в неразветвленной части цепи и напряжением на ее зажимах

.

Мощности в рассматриваемой цепи:

P = UIcosj, Вт;

Q = UIsinj, вар;

S = UI, ВА.

Рассмотрим численный пример анализа цепи, показанной на рисунке 1.4а при следующих исходных данных: U = 100В; r = 1,4Ом; х_L = 0,2Ом; r₁ = 4Ом; х_L1= 2Ом; r₂= 5Ом; х_С3= 2,5Ом. Необходимо определить показания электроизмерительных приборов, построить векторную диаграмму и временные диаграммы напряжения, тока и мощности на входных зажимах цепи. Найдем эквивалентные проводимости параллельных ветвей, включенных между узловыми точками а и b (см. рис. 1.4а).

Эквивалентная активная проводимость разветвленной части цепи:

g_э = g₁ + g₂ = 0,2 + 0,2 = 0,4Ом^-1.

Эквивалентная реактивная проводимость всей цепи:

b_э = b_L1+ b_C3= 0,1 - 0,4 = -0,3Ом^-1.

Полная проводимость разветвленной части цепи:

Рассмотрим эквивалентную последовательную цепь между узловыми точками а и b (см. рис. 1.4б):

Найдем полное сопротивление всей цепи (см. рис. 1.4б):

Ток в неразветвленной части цепи (показание амперметра А на схеме рис. 1.4а)

Коэффициент мощности (показание фазометра φ):

Активная мощность (показание ваттметра W):

P = UIcosj = 100×31,7×0,947 = 3000Вт.

Напряжение между узловыми точками a и b:

U_ab = Iz_э = 31,7×2 = 63,4В.

Токи параллельных ветвей (показания амперметров A₁, А₂, А₃):

Для построения векторной диаграммы необходимо также определить углы сдвига по фазе токов в параллельных ветвях относительно напряжения U_ab:

а также угол φ_ab сдвига между током I в неразветвленной части цепи и напряжением U_ab

и угол φ_ca между током I и напряжением U_ca на неразветвленной части цепи

Напряжение в неразветвленной части цепи

Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи (см. рис. 1.4а) представляет собой графическое решение уравнений, записанных на основании первого и второго законов Кирхгофа:

.

Построение векторной диаграммы (см. рис. 1.5) следует начинать (задавшись предварительно масштабами для напряжения и тока) с вектора напряжения U = 100В.

Рис. 1.5

Под углом φ = -19° к вектору напряжения строится в масштабе вектор тока I = 31,7А. Под углом φ_ab = -37° к вектору тока направляется вектор напряжения U_ab разветвленной части цепи, относительно которого строятся векторы токов I₁ = 14,2А; I₂ = 12,7А; I₃ = 25,35А с учетом углов сдвига по фазе: φ₁ = 26,5°; φ₂ = 0°; φ₃ = -90°. При сложении векторов тока I₁, I₂ и I₃ по правилу многоугольника должен получиться построенный ранее вектор тока Вектор падения напряжения U_ca = 44,7 строится под углом φ_са = 8,14° к вектору тока I. В сумме с вектором U_ab он должен равняться вектору напряжения U на входе цепи: .

1.4. Построение графиков (волновых диаграмм) мгновенных

значений напряжения, тока и мощности

Для построения временных (волновых) диаграмм напряжения, тока и мощности на входных зажимах цепи необходимо построить векторную диаграмму для амплитудных значений напряжения и тока с учетом угла сдвига φ между ними. На рисунке 1.6 такая векторная диаграмма построена для момента t = 0 применительно к рассмотренному выше числовому примеру (см. схему на рис. 1.4а).

Очевидно, что для указанного на рис. 1.6 расположения векторов можно записать выражения для мгновенных значений напряжения, тока

и мощности

.

Рис. 1.6

Синусоиды напряжения и тока можно получить вращением с угловой частотой w против часовой стрелки векторов U_m и I_m, и проектированием их на вертикальную ось (ось мгновенных значений). На рисунке 1.6 показан порядок построения синусоиды напряжения с фиксацией вращающегося вектора U_m через каждые 30°. Кривую мгновенной мощности можно получить вращением с двойной угловой частотой 2w вектора амплитуды косинусоиды двойной частоты S = UI из центра вращения, расположенного над осью абсцисс на расстоянии Р = Scosj.

2. РАСЧЕТ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТОКА СИМВОЛИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Символический метод основан на использовании комплексных чисел. Сущность метода заключается в представлении вращающихся векторов синусоидальных величин комплексными числами. В результате все геометрические операции над векторами оказывается возможным заменить алгебраическими операциями над комплексными числами. Это позволяет использовать для расчета цепей синусоидального тока методы расчета цепей постоянного тока.

Всякий вектор можно аналитически выразить комплексным числом, если изобразить его на комплексной плоскости.

На рисунке 2.1 на комплексной плоскости изображен вектор тока; соответствующее ему комплексное число в алгебраической форме записывается следующим образом:

где I¢ и I¢¢ - проекции вектора на действительную и мнимую оси прямоугольной системы координат; - мнимая единица.

Длина вектора , изображающего комплексное число, называется модулем комплексного числа:

Угол a называется аргументом комплексного числа. Он определяет положение вектора относительно вещественной оси. Из рисунка 2.1 следует:

I¢ = Icosa; I¢¢ = Isina.

Используя эти выражения, от алгебраической можно перейти к тригонометрической форме записи комплексного числа:

.

Используя формулы Эйлера, можно перейти от тригонометрической к показательной форме записи комплексного числа: .

Векторы, изображающие синусоидальные функции одной частоты, вращаются с одинаковой угловой скоростью, поэтому угол между соответствующим вектором и положительной полуосью действительных величин является функцией времени a = wt + y. Поскольку векторы одной частоты вращаются с одинаковой угловой скоростью, углы между ними сохраняются неизменными в любой момент времени. Поэтому обычно векторную диаграмму на комплексной плоскости рассматривают как неподвижную для момента времени t = 0. При этом условии комплексные числа в показательной форме, соответствующие векторам тока, напряжения и ЭДС, записываются в виде . Их модулями являются действующие значения величин, а аргументами - начальные фазы. Для краткости комплексные числа, соответствующие электротехническим величинам, называют комплексами этих величин.

Два комплексных числа, отличающиеся только знаком при мнимой части называются сопряженными. Если исходное комплексное число обозначается буквой с точкой наверху, то соответствующее ему сопряженное комплексное число обозначается той же буквой со звездочкой наверху.

Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату их модуля, то есть вещественному числу или .

Комплексным сопротивлением цепи переменного тока называется отношение комплекса напряжения к комплексу тока :

,

где y_U и y_I - начальные фазы синусоид соответственно напряжения и тока; j = y_U - y_I - угол сдвига по фазе между синусоидами напряжения и тока.

При записи сопротивления в комплексной форме вещественная часть комплексного сопротивления равна активному сопротивлению, а мнимая часть - реактивному. При индуктивном характере сопротивления мнимая часть положительна, а при емкостном - отрицательна.

Комплексной проводимостью электрической цепи называется отношение комплекса тока к комплексу напряжения .

где g – активная, b – реактивная, - полная проводимости.

Необходимо обратить внимание на тот факт, что при эквивалентном переходе от комплексных сопротивлений к комплексной проводимости необходимо у реактивной оставляющей менять знак на противоположный.

Закон Ома в символической форме для цепи переменного тока:

.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексов токов в узле электрической цепи равна нулю:

Второй закон Кирхгофа: во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма комплексов электродвижущих сил равна алгебраической сумме комплексов падений напряжения в ветвях, образующих этот контур:

.

Комплексная мощность цепи переменного тока определяется как произведение комплекса напряжения насопряженный комплекс тока :

,

где - комплекс мощности, ВА; Р - активная мощность, Вт; Q - реактивная мощность, вар.

Таким образом, действительная (вещественная) часть комплекса мощности представляет собой активную мощность, а мнимая часть (без j) - реактивную мощность. Модуль комплекса мощности равен полной мощности.

При решении задач символическим методом рекомендуется вектор напряжения, приложенного к цепи, совмещать с положительным направлением вещественной оси для упрощения расчета и построения векторной диаграммы на комплексной плоскости.

 

3. Расчет трехфазных цепей переменного тока символическим методом

На рисунке 3.1 показана цепь трехфазного тока, соединенная по схеме «звезда с нейтральным проводом». Соединение фаз генератора и приемника звездой предполагает объединение концов фаз генератора и приемника в нейтральные точки N и n и соединение их нейтральным проводом N-n. Начала одноименных фаз генератора и приемника соединены тремя линейными проводами А-а, B-b, С-с. На данном рисунке указаны концы фаз приемниках x, y, z, а концы фаз генератора x, y, z не обозначены.

Фазным напряжением называется напряжение между началом и концом одной и той же фазы, а линейным – напряжение между началами двух разных фаз. Очевидно, линейные провода имеют потенциалы начал фаз, а нейтральный провод имеет потенциал всех концов фаз. Поэтому фазное напряжение можно также определить как разность потенциалов между линейным проводом и нейтральным проводом, а линейное – как напряжение между двумя линейными проводами.

Рис. 3.1

Генератор трехфазного тока с некоторым допущением можно принять источником бесконечной мощности, т.е. системы фазных () и линейных () напряжений являются симметричными и могут быть представлены векторной диаграммой в виде симметричной звезды векторов. Если пренебречь сопротивлениями нейтрального (N-n) и линейных (А-а, B-b, С-с) проводов, то электрические потенциалы выходных зажимов генератора A, B, C и N передаются на соответствующие входные зажимы приемника: a, b, c и n, в результате чего системы линейных и фазных напряжений приемника будут такими же симметричными, как и у генератора (см. рис. 3.1).

При расчете трехфазной цепи символическим методом необходимо записать систему фазных напряжений генератора в виде комплексных чисел.

Для упрощения расчетов рекомендуется один из векторов звезды фазных напряжений совместить с положительной полуосью действительных (вещественных) величин. На рисунке 3.2 по оси вещественных величин направлен вектор фазного напряжения фазы А.

Рис. 3.2

Воспользовавшись оператором поворота вектора e^ja (показательная форма записи комплексного числа) и формулами Эйлера для перехода к алгебраической форме записи, получим следующие выражения комплексов фазных напряжений генератора:

Компклесы линейных напряжений генератора согласно второму закону Кирхгофа равны разности комплексов соответствующих фазных напряжений:

На рисунке 3.3 показана схема трехпроводной трехфазной цепи, в которой генератор соединен звездой, а приемник – треугольником. Принцип соединения в треугольник заключается в следующем: конец предыдущей фазы соединяется с началом следующей, в результате чего получается замкнутый контур из трех фаз, а фазы оказываются включенными между линейными проводами. Таким образом, при соединении треугольником фазные напряжения равны линейным, а комплексы линейных токов равны алгебраической разности комплексов соответствующих фазных токов (согласно первому закону Кирхгофа).

Рис. 3.3

Как следует из вышесказанного и рисунка 3.3, соотношения между линейными и фазными напряжениями и токами в треугольнике имеют вид:

Курсовая работа

«Электроснабжение строительной площадки»

Целью курсовой работы «Электроснабжение строительной площадки», выполняемой студентами специальности СЖД и МиТ, является:

- закрепление теоретического материала по разделам однофазного и трехфазного переменного тока;

- уяснение посредством графоаналитического метода влияния потерь напряжения в линии электропередач (ЛЭП) на работу потребителей электрической энергии (асинхронных двигателей, ламп накаливания и др.);

- получение навыков в выборе сечения проводов, подводящих электроэнергию к строительной площадке по условиям нагрева и отклонений напряжения.

Перед выполнением курсовой работы необходимо предварительно проработать соответствующую литературу [4] и материал данных методических указаний.

Студент выполняет курсовую работу самостоятельно в соответствии с исходными данными, приведенными в задании.

ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ

Материал этой темы рекомендуется изучать в основном по [4], а по отдельным вопросам достаточно пользоваться настоящими методическими указаниями. При изучении темы следует обратить внимание на вклад различных типов электростанций в общий объем вырабатываемой ими электроэнергии, как в нашей стране, так и в других промышленно развитых странах. Студент должен уметь давать оценку перспектив развития того или иного типа электростанций; знать также их КПД и степень их воздействия на окружающую среду.

Устройство, схемы электрических соединений понижающих подстанций с высшим напряжением до 10кВ и их оборудование изложены в [4].

В систему электроснабжения объектов строительства (ОС) входят источники электроэнергии, электрические сети и потребители электроэнергии.

Если ОС находится недалеко от трансформаторной подстанции, то он электроэнергию получает от нее.

Трансформаторные подстанции (ТП) предназначены для преобразования и распределения электроэнергии переменного тока. На ТП устанавливаются один или несколько трансформаторов, распределительные шины (РШ), устройства защиты и сигнализации. Как правило, используются трехфазные двухобмоточные трансформаторы, у которых обмотка высшего напряжения U_вн, имеет напряжение 6 или 10кВ. Обмотка низшего напряжения, как правило, соединяется по схеме звезда с нейтральным проводом напряжением 400/230В.

Если централизованное электроснабжение ОС отсутствует, то используются временные - стационарные или передвижные электростанции.

Стационарные электростанции выполняются с расположением в зданиях или в виде типа комплектных трансформаторных подстанций (КТП), передвижные размещаются на транспортных объектах (железнодорожных платформах, автомобильных прицепах).

Основой временных электростанций является генераторный агрегат с трехфазным синхронным генератором и первичным двигателем внутреннего сгорания (ДВС).

Электрические сети предназначены для передачи электроэнергии от источника (генератора) потребителям и выполняются с помощью кабелей или воздушных линий. По уровню напряжения электрические сети делятся на высоковольтные (ВЭС): U_c > 1000В и низковольтные (НЭС): U_c < 1000В.

По конструктивному исполнению сети могут быть воздушными и кабельными. Воздушные сети крепятся на специальных сооружениях (как правило, на деревянных или металлических опорах, кабельные - прокладываются в траншеях).

Потребителями электроэнергии являются различные электро-механизмы (насосы, вентиляторы, компрессоры и др.) и технологические процессы. Электроэнергия используется также для освещения строительных площадок и временных поселков. Основной род тока, используемый для этих целей, - переменный.

Студенты неэлектротехнических специальностей материал этой темы должны изучать в описательном аспекте: знать устройство и назначение основных аппаратов высокого и низкого напряжений, уметь объяснять схемы и компоновочно-конструктивные решения трансформаторных подстанций.

Устройство и расчет электрических сетей – один из наиболее значимых в практическом отношении вопросов для инженера-неэлектрика.

Расчет электрической сети

Рассчитать электрическую линию – значит, определить сечение провода, которое удовлетворяло бы известным требованиям и обеспечивало бы нормальную работу электроприемников, питаемых этой линией. Требование, которому должно удовлетворять выбранное сечение, состоит в том, чтобы температура провода линии не превышала допустимого значения, обеспечивающего длительную «жизнь» изоляции провода.

Нормальная работа электроприемника, которую обеспечивает сечение проводов линии, определяется отклонением напряжения на конце этой линии от номинального напряжения электроприемника. О том, какое значение имеет уровень напряжения на электроприемнике, можно судить по следующим данным:

1) пусковой момент и перегрузочная способность асинхронного двигателя пропорциональны квадрату напряжения;

2) световой поток ламп накаливания пропорционален квадрату напряжения;

3) превышение напряжения на лампе накаливания сверх номинального на 1% сокращает срок ее службы на 14%.

Эти факты и определяют расчет проводов электрических линий, которые рассчитывают по двум условиям – нагреву и отклонению напряжения.