Прикладные пакеты системы Mathematica

Пакет Experimental Data Analyst предлагает обширный набор программ для сбора, визуализации и преобразования данных. Имеются средства устранения ошибок измерений стандартными способами улучшения точности приближения.

Пакет Derivatives Expert представляет собой набор функций для проведения комплексного финансового анализа различных ценных бумаг. Этот продукт позволяет проводить финансовые исследования, осуществлять создание прототипов и тестирование финансовых моделей без написания громоздких программ.

Пакет Finance Essentials разработан специально для представителей финансовых кругов, чьи основные задачи состоят в анализе данных и планировании стратегии. Функции пакета помогают произвести проверку и оценку торговых и сдерживающих стратегий, оценку имущества.

 

 

Области применения системы Mathematica:

Пакет Fuzzy Logic предоставляет инструментарий для создания, модификации и представления нечетких множеств, а также систем, основанных на нечеткой логике.

Прикладной пакет Time Series создан для одномерного и многомерного анализа данных, зависящих от времени, и позволяет исследовать как стационарные, так и нестационарные модели. Time Series помогает также прогнозировать значения исследуемых показателей.

Пакет Technical Trader представляет собой программную разработку для тестирования и обеспечения работы финансовых торговых систем, позволяет описать торговую систему на одном языке и быстро внести изменения в любую часть этой системы.

Пакет Control System Professional – первая всеобъемлющая среда с интегрированными символьными возможностями, позволяющая анализировать как модели пространства состояний, так и модели функция преобразования аналоговых и дискретных систем.

Пакет Dynamic Visualizer позволяет работать с трехмерными изображениями в реальном времени. Графическое моделирование различных систем (от простого гармонического колебания и моделей хаоса до планетных систем) с пакетом Dynamic Visualizer – это мощное и интересное визуализационное дополнение к Mathematica.

Mechanical Systems предназначен для анализа движения системы твердых тел.

Пакет Optica предназначен для разработки и анализа оптических систем. Сотни встроенных функций Optica не только помогут создать все виды объектов, но и облегчат анализ множества различных конфигураций оптической системы. Optica также может описать все точки пересечения световых лучей, предоставить информацию о длине оптического пути каждого луча, сгенерировать схему интенсивности для каждой поверхности оптической системы, показать анимацию, позволяющую визуализировать путь отдельного луча или множества лучей в системе. Высокое качество двух- и трехмерных изображений, создаваемых в Optica, позволяет помещать их непосредственно в проект или научный доклад.

Пакет Signals and Systems – средство для обработки и анализа сигналов с возможностями символьных вычислений. Набор уникальных функций пакета Signals and Systems для анализа сигналов, разработки фильтров и выполнения операций обработки сигналов - редкая находка для инженеров.

Инженеры, физики, астрономы, геологи, медики и другие уже исследуют обширный перечень возможных приложений волнового анализа – от обработки сигналов до анализа данных. Wavelet Explorer познакомит пользователя с этой интересной новой областью и даст ему в руки широкий спектр инструментов волнового анализа.

Надежная глобальная оптимизация для ограниченных и неограниченных нелинейных функций – это пакет Global Optimization 3.0 – набор функций для глобальной нелинейной оптимизации. Он использует систему Mathematica в качестве интерфейса для определения нелинейной системы, подлежащей решению, и расчета числовых значений функции. В качестве исходной может задаваться любая функция, вычисляемая в Mathematica.

Пакет Database Access Kit позволяет использовать все возможности системы Mathematica для извлечения, обработки и визуализации информации, хранящейся в ODBC-совместимых базах данных.

Альтернативные пакеты

В качестве более простых, но идеологически близких альтернатив программы Mathematica можно назвать такие пакеты, как Maxima (http://maxima.sourceforge.net//) и Kalamaris (developer.kde.org/~larrosa/ kalamaris.html).

Отметим, что система Maxima — это некоммерческий проект с открытым кодом. В программе Maxima для математической работы используется язык, сходный с языком в пакете Mathematica, а графический интерфейс построен по тем же принципам. Изначально программа называлась Xmaxima и создавалась для UNIX-систем.

Кроме того, сейчас у системы Maxima есть еще более мощный, эффективный и дружественный кроссплатформенный графический интерфейс, который называется Wxmaxima. И хотя этот проект пока что существует лишь в бета-версии, он постепенно превращается в очень серьезную альтернативу коммерческим системам.

Что касается программы Kalamaris, то это также новый проект, который имеет подход и идеологию, схожие с системой Mathematica. Проект еще не завершен, но тоже является неплохой бесплатной альтернативой такому коммерческому монстру, как Mathematica.

Maple

Программа Maple (последняя версия 10.02, http://www.maplesoft.com/) — своего рода патриарх в семействе систем символьной математики и до сих пор является одним из лидеров среди универсальных систем символьных вычислений. Она предоставляет пользователю удобную интеллектуальную среду для математических исследований любого уровня и пользуется особой популярностью в научной среде. Отметим, что символьный анализатор программы Maple является наиболее сильной частью этого ПО, поэтому именно он был позаимствован и включен в ряд других CAE-пакетов, таких как MathCad и MatLab, а также в состав пакетов для подготовки научных публикаций Scientific WorkPlace и Math Office for Word.

Пакет Maple — совместная разработка Университета Ватерлоо (шт. Онтарио, Канада) и Высшей технической школы (ETHZ, Цюрих, Швейцария). Для его продажи была создана специальная компания — Waterloo Maple, Inc., которая, к сожалению, больше прославилась математической проработкой своего проекта, чем уровнем его коммерческой реализации. В результате система Maple ранее была доступна преимущественно узкому кругу профессионалов. Сейчас эта компания работает совместно с более преуспевающей в коммерции и в проработке пользовательского интерфейса математических систем фирмой MathSoft, Inc. — создательницей весьма популярных и массовых систем для численных расчетов MathCad, ставших международным стандартом для технических вычислений.

Maple предоставляет удобную среду для компьютерных экспериментов, в ходе которых пробуются различные подходы к задаче, анализируются частные решения, а при необходимости программирования отбираются требующие особой скорости фрагменты. Пакет позволяет создавать интегрированные среды с участием других систем и универсальных языков программирования высокого уровня. Когда расчеты произведены и требуется оформить результаты, то можно использовать средства этого пакета для визуализации данных и подготовки иллюстраций для публикации. Для завершения работы остается подготовить печатный материал (отчет, статью, книгу) прямо в среде Maple, а затем можно приступать к очередному исследованию. Работа проходит интерактивно — пользователь вводит команды и тут же видит на экране результат их выполнения. При этом пакет Maple совсем не похож на традиционную среду программирования, где требуется жесткая формализация всех переменных и действий с ними. Здесь же автоматически обеспечивается выбор подходящих типов переменных и проверяется корректность выполнения операций, так что в общем случае не требуется описания переменных и строгой формализации записи.

Пакет Maple состоит из ядра (процедур, написанных на языке С и хорошо оптимизированных), библиотеки, написанной на Maple-языке, и развитого внешнего интерфейса. Ядро выполняет большинство базовых операций, а библиотека содержит множество команд — процедур, выполняемых в режиме интерпретации.

Интерфейс Maple основан на концепции рабочего поля (worksheet) или документа, содержащего строки ввода-вывода и текст, а также графику.

Работа с пакетом происходит в режиме интерпретатора. В строке ввода пользователь задает команду, нажимает клавишу Enter и получает результат — строку (или строки) вывода либо сообщение об ошибочно введенной команде. Тут же выдается приглашение вводить новую команду и т.д.

Интерфейс Maple

Рабочие окна (листы) системы Maple могут быть использованы либо как интерактивные среды для решения задач, либо как система для подготовки технической документации. Исполнительные группы и электронные таблицы упрощают взаимодействие пользователя с движком Maple, выполняя роль тех первичных средств, при помощи которых в систему Maple передаются запросы на выполнение конкретных задач и вывод результатов. Оба эти типа первичных средств допускают возможность ввода команд Maple.

Система Maple позволяет вводить электронные таблицы, содержащие как числа, так и символы. Они совмещают в себе математические возможности системы Maple с уже знакомым форматом из строк и столбцов традиционных электронных таблиц. Электронные таблицы системы Maple можно использовать для создания таблиц формул.

Для облегчения документирования и организации результатов вычислений имеются опции разбиения на параграфы и разделы, а также добавления гиперссылок. Гиперссылка является навигационным средством. Одним щелчком мыши по ней вы можете перейти к другой точке в пределах рабочего листа, к другому рабочему листу, к странице помощи, к рабочему листу на Web-сервере или к любой другой Web-странице.

Рабочие листы можно организовать иерархически, в виде разделов и подразделов. Разделы и подразделы можно как расширять, так и сворачивать. Система Maple, подобно другим текстовым редакторам, поддерживает опцию закладок.

Вычисления в Maple

Систему Maple можно использовать и на самом элементарном уровне ее возможностей — как очень мощный калькулятор для вычислений по заданным формулам, но главным ее достоинством является способность выполнять арифметические действия в символьном виде, то есть так, как это делает человек. При работе с дробями и корнями программа не приводит их в процессе вычислений к десятичному виду, а производит необходимые сокращения и преобразования в столбик, что позволяет избежать ошибок при округлении. Для работы с десятичными эквивалентами в системе Maple имеется специальная команда, аппроксимирующая значение выражения в формате чисел с плавающей запятой. Система Maple вычисляет конечные и бесконечные суммы и произведения, выполняет вычислительные операции с комплексными числами, легко приводит комплексное число к числу в полярных координатах, вычисляет числовые значения элементарных функций, а также знает много специальных функций и математических констант (таких, например, как «е» и «пи»). Maple поддерживает сотни специальных функций и чисел, встречающихся во многих областях математики, науки и техники. Приведем лишь некоторые из них:

функция ошибок;

эйлерова константа;

экспоненциальный интеграл;

эллиптическая интегральная функция;

гамма-функция;

зета-функция;

ступенчатая функция Хевисайда;

дельта-функция Дирака;

бесселева и модифицированная бесселева функции.

Система Maple предлагает различные способы представления, сокращения и преобразования выражений, например такие операции, как упрощение и разложение на множители алгебраических выражений и приведение их к различному виду. Таким образом, Maple можно использовать для решения уравнений и систем.

Maple также имеет множество мощных инструментальных средств для вычисления выражений с одной или несколькими переменными. Программу можно использовать для решения задач дифференциального и интегрального исчисления, вычисления пределов, разложений в ряды, суммирования рядов, умножения, интегральных преобразований (таких как преобразование Лапласа, Z-преобразование, преобразование Меллина или Фурье), а также для исследования непрерывных или кусочно-непрерывных функций.

Maple может вычислять пределы функций, как конечные, так и стремящиеся к бесконечности, а также распознает неопределенности в пределах. В этой системе можно решать множество обычных дифференциальных уравнений (ODE), а также дифференциальные уравнения в частных производных (PDE), в том числе задачи с начальными условиями (IVP) и задачи с граничными условиями (BVP).

 

Рисунок 2.1 – Интерфейс Maple

Одним из наиболее часто используемых в системе Maple пакетов программ является пакет линейной алгебры, содержащий мощный набор команд для работы с векторами и матрицами. Maple может находить собственные значения и собственные векторы операторов, вычислять криволинейные координаты, находить матричные нормы и вычислять множество различных типов разложения матриц.

Для технических применений в Maple включены справочники физических констант и единицы физических величин с автоматическим пересчетом формул. Особенно эффективна Maple при обучении математике. Высочайший интеллект этой системы символьной математики сочетается с прекрасными средствами математического численного моделирования и с просто потрясающими возможностями графической визуализации решений. Такие системы, как Maple, можно применять как в преподавании, так и для самообразования при изучении математики от самых азов до вершин.

Графика в Maple

Система Maple поддерживает как двумерную, так и трехмерную графику. Таким образом, можно представить явные, неявные и параметрические функции, а также многомерные функции и просто наборы данных в графическом виде и визуально искать закономерности.

Графические средства Maple позволяют строить двумерные графики сразу нескольких функций, создавать графики конформных преобразований функций с комплексными числами и строить графики функций в логарифмической, двойной логарифмической, параметрической, фазовой, полярной и контурной форме. Можно графически представлять неравенства, неявно заданные функции, решения дифференциальных уравнений и корневые годографы.

Maple может строить поверхности и кривые в трехмерном представлении, включая поверхности, заданные явной и параметрической функциями, а также решениями дифференциальных уравнений. При этом представлять можно не только в статическом виде, но и в виде двух- или трехмерной анимации. Эту особенность системы можно использовать для отображения процессов, протекающих в режиме реального времени.

Отметим, что для подготовки результата и документирования исследований в системе имеются все возможности выбора шрифтов для названий, надписей и другой текстовой информации на графиках. При этом можно варьировать не только шрифты, но и яркость, цвет и масштаб графика.