Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона
Теорема Бернулли утверждает, что при неограниченном увеличении числа опытов n частота события А сходится по вероятности к его вероятности p , где сколь угодно малые положительные числа. Большое значение этой теоремы в том, что по статистической вероятности можно с большой долей вероятности оценивать классическую вероятность. Теорема Пуассона утверждает, что если производится n независимых опытов и вероятность появления события А в i- м опыте равна , то при увеличении n частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей . 3.5. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин. Если , … независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией , то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному закону распределения. При определенных условиях эта теорема справедлива и для неодинаково распределенных слагаемых. Например, в качестве таких условий можно привести условия А.М.Ляпунова: , где третий абсолютный центральный момент величины : . Наиболее общим (необходимым и достаточным) условием справедливости центральной предельной теоремы является условие Линдеберга: при любом где математическое ожидание, плотность распределения случайной величины . Список задач по теории вероятностей, используемых на занятиях по этой дисциплине.
Примеры решения некоторых задач по теории вероятностей 5.1.Непосредственный подсчет вероятностей. В партии из изделий бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки изделий ровно окажутся бракованными. Решение. Число возможных способов взять изделий из равно . Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа бракованных изделий взято (это можно сделать способами), а остальные - изделий не бракованные (это можно сделать способами. Поэтому число благоприятствующих случаев равно . Искомая вероятность равна . 5.2. Геометрические вероятности. В любые моменты промежутка времени равновозможны поступления в приемник двух сигналов. Приемник будет забит, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше . Определить вероятность того, что приемник будет забит. Решение. Пусть и - моменты поступления сигналов в приемник. Областью возможных значений , является квадрат площадью . Приемник будет забит, если . Данная область лежит между прямыми и . Ее площадь равна , поэтому искомая вероятность равна . 5.3. Теорема умножения вероятностей. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4% всей продукции являются браком, а 75% не бракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта. Решение. Пусть событие А состоит в том, что выбранное изделие не бракованное, а событие В – выбранное изделие первосортное. Тогда вероятность Р(А) = 1-0,04 = 0,96, а условная вероятность Р(В/А) = 0,75. Искомая вероятность равна вероятности произведения двух событий АВ: =Р(АВ) = 0,96×0,75 = 0,72. 5.4. Теорема сложения вероятностей. Ведется стрельба по самолету, уязвимыми агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того, чтобы поразить самолет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. Вероятность поражения первого двигателя равна , второго двигателя , кабины пилота . Найти вероятность того, что самолет будет поражен.
Решение. Событие А – поражение самолета есть сумма двух совместных событий: Д – поражение обоих двигателей и К – поражение кабины. Следовательно, Р(А) = Р(Д)+Р(К)-Р(ДК) = + - . 5.5. Формула полной вероятности. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и не нормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, а не нормальный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя в нормальном режиме равна 0,1, а в не нормальном – 0,7. Найти полную вероятность выхода прибора из строя. Решение. В соответствии с формулой полной вероятности искомая вероятность равна = 0,8×0,1+0,2×0,7=0,22. 5.6. Формула Байеса. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 отличника, 4 хорошиста, 2 троечника и 1 двоечник. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отличник может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный может ответить на 16 вопросов, троечник – на10, двоечник – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент отличник. Решение. Выдвигаем четыре гипотезы: студент отличник; студент хорошист; студент троечник; студент двоечник. До опыта: ; ; ; . Событие А – это то, что вызванный студент ответил на три вопроса. Условная вероятность этого события равна ; ; ; . После опыта, применяя формулу Байеса, имеем: . Для сравнения вычислим вероятность, что отвечавший студент был двоечник: . Формула Бернулли Что вероятнее, выиграть у равносильного противника: три партии из четырех или пять из восьми? Решение. Так как противники равные, то вероятность выигрыша у них равна 0,5. Применяя, формулу Бернулли имеем: ; ; т.е. .
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; просмотров: 709; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.210.86.29 (0.01 с.) |