Адаптивная система управления с неявной эталонной моделью.

 

Согласно заголовку параграфа рассматривается адаптивная система управления, построенная на основании прямого подхода для управления неопределенным объектом. Рассматривается случай, когда неопределенный объект имеет один вход и один выход. Структура и параметры регулятора не заданы и в структуре АдСУ в явном виде отсутствует эталонная модель и математическое описание ОУ задано в виде линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

(2.15)

Эталонное движение объекта управления (ОУ) под действием задающего воздействия g(t), задается линейным уравнением того же порядка:

(2.16)

В общем случае совпадение математического описания эталонного движения ОУ и описания ОУ не является обязательным. В уравнении (2.16) сигнал g(t) – задающее (или воспроизводимое воздействие) на входе основного контура АдСУ. Переменная u(t) – сигнал управления на входе ОУ и на выходе регулятора основного контура. Коэффициенты выбираются такими, чтобы процесс описываемый (6.2) был устойчивым (полином в левой части (2.16) – Гурвицев). Цель адаптивного управления задается предельным равенством:

(2.17)

Структура регулятора не известна. В настоящем разделе рассматривается метод синтез АдСУ который подразумевает решение двух задач – определение структуры регулятора и определение алгоритма настройки его параметров по текущей информации функционирования АдСУ. Структура регулятора должна быть представлена законом управления, который обеспечит эталонное движение. Для определения этого закона проводится некоторая математическая процедура относительно уравнений (2.15) и (2.16)[18]. Из (2.15) вычитается (2.16) и затем к обеим частям получившейся разности добавляется выражение . В результате получается следующее соотношение:

(2.18)

где

Целевое условие (2.17) будет выполнено, если обеспечить управление u(t), при котором правая часть (2.18) будет равна нулю. Тогда и левая часть (2.18) в этом случае равна нулю.

Обозначим переменную соответствующую левой части уравнения (2.18) через , тогда можно записать:

И так как - Гурвицев, то при соотношении целевое условие выполняется. При этом для обеспечения нулевого значения правой части (2.18) управление u(t) должно удовлетворять дифференциальному уравнению:

(2.19)

где .

Уравнение (2.19) определяет искомый закон управления u(t) для выполнения условия (2.17) и определяет структуру регулятора, который обеспечит этот закон управления с параметрами этого управления.

Если обозначить настраиваемые параметры регулятора через и , тогда уравнение регулятора можно записать:

(2.20)

При идеальной настройке , где – является точным значением разности для любого момента времени и , где – значение параметров ОУ (правая часть (2.15)) не известных априорно и изменяющихся в процессе функционирования ОУ. В процессе настройки, когда идеальное равенство не достигнуто, правая часть (2.18) не равна нулю и . Для оценки степени рассогласования просуммируем (2.18) и уравнение регулятора (2.20) (при этом левую часть (2.20) перенесем вправо), тогда:

(2.21)

Из анализа принципа действия АдСУ следует, что определение оценок векторов и осуществляется в контуре адаптации в блоке АА. Теперь необходимо выбрать алгоритм адаптации для определения и и при этом использовать измерения g(t), y(t) и u(t), согласно соотношению (2.20). Предлагается в качестве критерия оптимизации (целевой функции) принять квадратичный функционал , аргумент которого должен однозначно соответствовать мгновенным значениям параметрических рассогласований. Правая часть (2.18) определяет закон управления, а коэффициенты соответствуют идеальным параметрам регулятора. Изменения параметров ОУ мгновенно влияют на необходимые идеальные параметры регулятора, так как являются коэффициентами (2.18). При этом – переменная, которая полностью определяется оценками и переменными u(t) и y(t) и их производными. Следовательно, критерий оптимизации следует выбрать в виде функции от . Принимаем =1/2 . На основании вышесказанного можно отметить, что и, следовательно, задачу самонастройки можно свести к задаче градиентной минимизации критерия :

, поэтому (2.22)

Можно показать на основании (2.21)

,

Для примера: при m=1, n-1=2 уравнения градиентной минимизации имеют вид:

Для построения структурной схемы АдСУ осталось рассмотреть способ определения обобщенной ошибки , которая определена выражением (6.5). Реальная эталонная модель отсутствует, поэтому в контуре АдСУ отсутствует сигнал , необходимый для вычисления значения . Вычтем из правой части выражения (6.5) уравнение эталонной модели (6.2) и получим:

(2.23)

Из выражения (2.23) следует, что переменная зависит от числовых параметров эталонной модели и и от измеряемых переменных g(t) и y(t) и их производных: n-1 порядка для y(t) и m порядка для g(t). На рис. 2.3 представлена структурная схема АдСУ, где использовалось соотношение (2.23), уравнения градиентной минимизации (2.22) и обозначения , , ,

,

 

Рис 6.1

Два контура АдСУ взаимосвязаны по динамическим характеристикам, поэтому условия сходимости алгоритма настройки регулятора следует определять для системы в целом. Для этого можно использовать второй метод Ляпунова. Требуется сформировать функцию Ляпунова. Так как динамика взаимосвязи контуров определяется параметрическими рассогласованиями, предлагается функцию Ляпунова с учетом уравнения (2.22) принять в форме квадрата параметрических рассогласований. Для удобства математического представления и дальнейших преобразований допустимо параметры регулятора представить одним вектором . Идеальную настройку обозначим .Тогда можно принять , при . Производная по времени функции

где вектор представляет переменные u(t) и y(t) и их производные. Последнее соотношение можно обосновать на основании уравнения (2.21). При условие выполняется всегда, если определяется (2.21). Индекс “n” в определяется порядком модели. В рассмотренном случае порядок ОУ также равен “n”. Если определить размерность модели значительно меньше n, то будет содержать далеко не всю информацию о динамических свойствах сигналов, по которым осуществляется настройка регулятора, что может повлиять на устойчивость алгоритма адаптации.