Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Задача с закрепленными концами и фиксированным временем.
В начале рассмотрим условия принципа максимума для задачи с закрепленными концами. Описание объекта имеет вид:
(2.1)
Вектор управления принимает значения из некоторой замкнутой области и принадлежит классу кусочно-непрерывных функций . Составляющие вектора являются непрерывными и всюду, кроме точек разрыва допустимого управления, имеют непрерывные производные . Функции непрерывны по всем аргументам и имеют непрерывные частные производные по переменным состояния . Из всех допустимых управлений , переводящих объект из начального состояния в конечное , требуется найти такое управление, которое минимизирует функционал:
(2.2)
Где непрерывная и дифференцируемая функция. Применяем к задаче (2.1-2.2) прием Лагранжа[2], составляем Лагранжиан
(2.3)
Согласно исходным данным задачи выражение (2.3) для не содержит ограничения на управляющие воздействия, и в соответствии с приемом Лагранжа задача (2.1-2.2) сводится к задаче на безусловный экстремум функционала:
(2.4)
Результат решения задачи (2.4) предполагает определение оптимальных функций . Возможность определения этих функций можно представить в форме решения двух задач, в каждой из которых определяется экстремаль по одной переменной при условии, что по другой переменной задача оптимизации решена [2]. Эти задачи имеют вид:
(2.5)
(2.6)
При решении (2.5) и (2.6) предполагается рассматривать класс допустимых функций в форме . Задача (2.5) является задачей вариационного исчисления с закрепленными концами на экстремум функционала. Для нее необходимое условие экстремума – уравнение Эйлера:
(2.7)
(2.8)
Условие (2.7) называется сопряженной системой, решение которой позволяет определить вектор множителей Лагранжа. Очевидно решение второй задачи (2.6). Оптимальное управление , должно удовлетворять условию . В методе принципа максимума вводится скалярная функция гамильтониан
(2.9)
Введение гамильтониана в (2.6) позволяет сформировать эту задачу на максимум функционала при :
(2.10)
Условием максимизации является максимизация подынтегрального выражения. Функция доставляет максимум функционалу , если всюду , кроме точек разрыва выполняется соотношение:
(2.11)
Следовательно доставляет максимум гамильтониану. Необходимое условие (2.7) и соотношение (2.11) образуют необходимое условие оптимальности исходной задачи (2.1), (2.2) и называется принципом максимума или принципом максимума Понтрягина. Теорема(принцип максимума) Пусть - такое допустимое управление, что соответствующая ему траектория , исходящая при из точки , проходит в момент через точку . Для оптимальности управления и траектории необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор - функции , соответствующей функциям и и , что для любого момента времени , когда является непрерывной, функция достигает по максимума.
Согласно теореме в формулировке принципа максимума имеются неизвестных функций . Совокупность уравнений (2.7), (2.8) и условий (2.11) представляют столько же соотношений для определения этих неизвестных. Постоянные интегрирования определяются на основании граничных условий. Если точка является внутренней точкой области , то для выполнения условия максимума необходимо обращение в нуль частных производных:
. (2.12)
Если же некоторые составляющие вектор – функции принимают граничные значения на , то соотношение (2.12) для них не будет выполняться. Однако взамен появятся условия принадлежности этой грани. (Например, на границе ). Управление является функцией времени. В условиях практики приреализации управления, определенного по (2.12), возможна ситуация, когда по значению некоторых составляющих -подходит к своим граничным значениям в какой-то момент времени , тогда при -управления принимают свои граничные значения. При условии оптимальное значение при . Соотношения, полученные из (2.12), являются конечными и не содержат производных от неизвестных функций. Так как является линейной и однородной функцией переменных и соотношения (2.7),(2.11) не изменяются при умножении всех переменных на одну и ту же постоянную величину, значение , которая согласно теореме является постоянной величиной, можно задаться произвольно. Обычно принимают . На основании введенной функции гамильтониана необходимое условие (2.7), (2.8) также можно представить в форме канонических уравнений:
, (2.13)
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; просмотров: 578; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.30.253 (0.009 с.) |