Понятие определенного интеграла. Простейшие свойства определенного интеграла

Интегралом от а до b функции f (x) называется приращение первообразной F (х) этой функции, т.е. F (b) – F (а).

Интеграл от а до b функции f (x) обозначается . Числа а и b называются пределами интегрирования, а – нижним, b – верхним; отрезок [ а; b ]– отрезком интегрирования.

 

Простейшие свойства определенного интеграла

1. При перестановке пределов меняется знак интеграла

= - .

2. Интеграл с одинаковыми пределами равен 0

= 0.

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части

= + .

4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона – Лейбница.

= = F (х) = F (b) – F (а).

Определенный интеграл равен разности значений неопределенного интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

= = = = - - = ∙5 - ∙1 = = 2 .

Ответ: 2 .

Площадь плоской фигуры

Площадь всякой плоской фигуры, отнесенной к прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилежащих к оси О_х или оси О_у.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

S = = F (b) – F (а).

В том случае, когда непрерывная функция f (x) ≤ 0 на отрезке [ а; b ], площадь соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле

S = - = F (а) – F (b).

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ а; b ] и принимает на данном отрезке как положительные, так и отрицательные значения, то отрезок интегрирования разбивается на такие части, в каждой из которых функция

сохраняет свой знак. Затем вычисляются площади каждой криволинейной трапеции и находится их сумма. S = - + .

 

Рис. 13

 

		Площадь фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций f (x) и g (x) и двумя прямыми х = а и х = b где f (x) ≥ g (x) на отрезке [ а; b ], находится по формуле S = - . S = .

f (x)

Рис. 14.

 

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями х = 4, у = х ² – 4 х + 6, у = 2.

Решение.

Найдем пределы интегрирования - точки пересечения данных линий. Имеем а = 2, b = 4, причем х ² – 4 х + 6 ≥ 2. следовательно площадь фигуры, ограниченной данными линиями равна

S = – = = = – +4 х = = – 32 + 16 – ( – 8 + 8) = – 16 = 18 – 16 = 2 (кв.ед.)

Ответ: S = 2 кв.ед.

 

Объем тела вращения

Если тело образуется при вращении вокруг оси О_х криволинейной трапеции прилежащей коси О_х, его объем определяется по формуле

V = , (х ₁ < х ₂).

Если тело образуется при вращении вокруг оси О_у криволинейной трапеции прилежащей к оси О_у, его объем определяется по формуле

V = , (у ₁ < у₂).

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: у ² = 2 рх, х = а вокруг оси О_х.

Решение.

V = = = рх ² = ра ².

Ответ: V = ра ².

 

٭ ٭

٭

 

216. Вычислить определенные интегралы:

а) dx; с) ;

b) dx; d) dx.

 

217. Вычислить определенные интегралы:

а) dx; с) dx;

b) ; d) dx.

 

218. Вычислить определенные интегралы:

а) ; с) ;

b) dx; d) dx.

 

219. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 6 х - х ² и осью абсцисс.

220. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = 2 х + 3, у = 0, х = -1, х = 2;

b) у = 5 х – 3 х ², у = 0;

с) у = , у = 0, х = 1, х = 3;

d) у = , у = 3, х = 0.

 

221. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = 2 sin х, у = 0, х = - π, х = 0;

b) у = , у = 0, х = 1, х = 6;

с) у = х – 1, у = 0, х = 0, х = 6;

d) у = 2 х ² – 2, у = 0, х = 2.

 

222. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х ², у = , у = 0, х = 3;

b) у = cos x, у = х + 1, х = -2, х = ;

с) у = х ² – 4, у = х – 2;

d) у = sin х, у = cos x.

 

223. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) х + 4 у – 9 = 0, 2 х – 3 у + 4 = 0,3 х + у – 16 = 0;

b) у = , у = - х ² + 2 х + 0,5, у = 0,5 х + 0,5;

с) у = -х ² – 2 х + 7, у = -х ² – 4 х + 7, у = -4 х + 6;

d) у = sin х, у = 2 sin x, х = 0, х = π.

 

224. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

а) х ² + у ² = 9, х = -1;

b) у = , х = , х = 2;

с) у = х ² – 3, х = -2, х = 3;

d) у = sin х, х = 0, х = π.

 

225. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

а) у = , х = 1, х = е;

b) у = ln x, х = 1, х = е;

с) у = -х ² – 2 х – 3, х = -1, х = 3;

d) у = sin 2х, х = 0, х = .

226. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс эллипса .

227. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной параболами у = х ² и х = у ².

228. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной окружностью х ² + у ² = 4 и прямой у = х.

229. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной кубической параболой у = х ³ и параболой х = у ².

230. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной кривой у = sin 2х и прямой у = х.

Глава 6. Дифференциальные уравнения