Системы линейных уравнений и их решение 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Системы линейных уравнений и их решение



 

3.1. Решение систем линейных уравнений методом последователь-ного исключения неизвестных (методом Гаусса). В основе метода Гаусса лежат элементарные преобразования над системой линейных уравнений, приводящих данную систему к такому виду, из которого все ее решения находятся непосредственно.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

а 11 х 1 + а 12 х 2 +... + а 1 п хп = b 1,

а 21 х 1 + а 22 х 2 +... + а 2 п хп = b 2,

............

ат 1 х 1 + ат 2 х 2 +... атпхп = bm.

Возможны два случая.

1) Среди уравнений системы имеется такое, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, т.е. уравнение 0 ∙ х 1 + 0 ∙ х 2 +... + 0 ∙ хп = b, где b – число отличное от нуля. В этом случае никакой набор значений х 1, х 2, х 3,..., хп не может удовлетворять такому уравнению, поэтому система уравнений несовместна.

2) В каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. Для определенности положим а 11 ≠ 0. исключим х 1 из всех уравнений системы начиная со второго. Для этого из второго уравнения вычтем первое, умноженное на , затем аналогично поступим с третьим, четвертым и всеми оставшимися уравнениями системы. В результате этих преобразований система примет вид:

а 11 х 1 + а 12 х 2 +... + а 1 п хп = b 1,

а х 2 +... + а хп = b ,

.........

а х 2 +... а хп = b .

Положив а ≠ 0, исключая неизвестную х 2 проведем аналогичные преобразования со всеми уравнениями полученной системы начиная с третьего. В результате либо придем к несовместной системе линейных уравнений, либо к системе уравнений вида:

а 11 х 1 + а 12 х 2 + а 13 х 3 +... + а 1 п хп = b 1,

а х 2+ а х 3 +... + а хп = b ,

а х 3 +... + а хп = b ,

.........

а х 3 +...+ а хп = b .

Продолжая этот процесс, мы обязательно придем к одному из двух случаев.

I. Либо после какого-то шага получится система, содержащая уравнение вида 0 ∙ х 1 + 0 ∙ х 2 +... + 0 ∙ хп = b, где b – число отличное от нуля. Тогда исходная система уравнений несовместна.

II. Либо мы придем к системе вида

а 11 х 1 + а 12 х 2 +... + а 1k хk +... + а 1 п хп = b 1,

а х 2+... + а х k +...+ а хп = b ,

..............

а хk +...+ а хп = b ,

где kn.

а) Если k = n, то система принимает вид

а 11 х 1 + а 12 х 2 +... + а 1k хk = b 1,

а х 2 +...+ а х k = b ,

..........

а хk = b

и имеет единственное решение.

б) Если k < n, то система имеет бесконечное множество решений. При этом, придавая различные значения переменным хk+1, хk+2, ..., хп, получаем различные значения переменных х1, х2, х3,..., хk.

Практически процесс решения системы линейных уравнений можно облегчить, если вместо преобразований над системой производить преобразования над её расширенной матрицей:

Пример: Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

3 х 1 - х 2 + 2 х 3 – 3 х 4 = -2,

х 1 + 3 х 2х 3 + 2 х 4 = 2,

2 х 1 + х 2 – 5 х 3х 4 = -1,

-5 х 1 + х 3 + х 4 = -3.

Решение.

Данной системе соответствует расширенная матрица:

~ ~ ~

 

~ ~ ~ .

Последней матрице соответствует система:

х 1 + 3 х 2х 3 + 2 х 4 = 2,

5 х 2 + 3 х 3 + 5 х 4 = 5,

11 х 3 + х 4 = 2,

-2 х 4 = -5 .

Из полученной системы находим: х 4 = 2; х 3 = 0; х 2 = -1; х 1 = 1.

Ответ: х 1 = 1; х 2 = -1; х 3 = 0; х 4 = 2.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; просмотров: 341; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.204.3.195 (0.027 с.)