Тема 7. Статично невизначені стрижневі конструкції

 

 

Існує багато стрижневих конструкцій, в яких стрижні шарнірно з'єднані один з одним, однак зусилля в стрижнях не можна однозначно визначити з рівнянь рівноваги її вузлів, тому що число невідомих зусиль виявляється більше числа рівнянь рівноваги вузлів конструкції. Подібні конструкції називають статично невизначеними. Різниця між числом шуканих зусиль і числом незалежних рівнянь статики для їхнього визначення називають степенем статичної невизначеності конструкції. Наприклад, плоска конструкція із трьох невагомих стрижнів, шарнірно прикріплених верхніми кінцями до стелі й шарнірно з'єднаних між собою нижніми кінцями, є один раз статично невизначеною конструкцією.

Для визначення трьох зусиль у стрижнях можна скласти для їхнього визначення лише два незалежні рівняння рівноваги нижнього вузла: .

Для однозначного визначення невідомих зусиль у стрижнях статично невизначеної конструкції потрібно доповнити рівняння статики іншими рівняннями, які найбільше часто виводять із припущення про пружну деформацію стрижнів. Очевидно, після пружної деформації стрижнів конструкції (якщо її розібрати) деформовані стрижні можна знову з'єднати колишніми шарнірними в'язями. На цій підставі додаткові рівняння для визначення зусиль стрижнях називають рівняннями сумісності деформацій. Покажемо на прикладі, як встановити рівняння сумісності деформацій.

Приклад 1. Крайні стрижні конструкції, зображеної на рисунку, однакові і є сталевими, середній стрижень – мідний, довжина крайніх стрижнів , а середнього – . Допустиме напруження для сталі , а для міді . Потрібно встановити міцні розміри поперечних перерізів цих стрижнів, якщо на конструкцію діє сила Q.

Розв'язання. Складемо рівняння рівноваги осі шарніра А. На вузол А діють сили , , з боку стрижнів і зовнішня сила Q. Ця система сил збіжна, тому рівняння рівноваги вузла мають вигляд:

 

, (7.1)

 

Розглядувана конструкція один раз статично невизначена, оскільки число невідомих зусиль дорівнює трьом, а рівнянь рівноваги – два. Складемо додаткове рівняння (рівняння сумісності деформацій). Під дією сили Q усі стрижні конструкції отримають пружні подовження. Оскільки стрижні 1 і 2 однакові і , що випливає з першого рівняння рівноваги, то зрозуміло, що подовження і цих стрижнів однакові: = . Подовження стрижня 3 позначимо через . За законом Гука

 

, ,

 

де – модуль Юнга сталевого стрижня, – модуль Юнга мідного стрижня, і – площі поперечного перерізу першого і третього стрижнів.

Мислено розберемо конструкцію і надамо стрижням зазначені подовження, тоді, обертаючи стрижні 1 і 2 навколо точок B і D, зможемо поєднати кінці всіх стрижнів конструкції в новій точці A₃. Дуги A₁A₃ і A₂A₃, які описують кінці подовжених стрижнів 1 і 2, замінюємо через їхню малість прямолінійними відрізками A₁A₃ і A₂A₃, перпендикулярними відповідно стрижням AB і AD.

У прямокутному трикутнику AA₁A₃, , , , тому

.

 

Це і є рівняння сумісності деформацій стрижнів даної конструкції.

Замінимо в рівнянні сумісності деформацій і згідно з законом Гука (6.1). Отримаємо додаткове рівняння відносно невідомих зусиль , , в стрижнях конструкції

 

. (7.2)

 

Розв'яжемо систему трьох рівнянь (7.1), (7.2). Маємо , тому, виходячи з (7.2),

(7.3)

 

Підставимо отримані вирази для і в друге рівняння системи (7.1), отримаємо рівняння для визначення

 

.

 

З цього рівняння знаходимо

 

.

 

За відомим зусиллям знайдемо зусилля і , керуючись формулою (7.3):

 

.

 

Для визначення шуканих площ і поперечних перерізів стрижнів скористаємося умовами міцності конструкції

 

, .

 

З цих нерівностей визначимо найменші значення площ , , , при яких конструкція буде міцною.

 

, .

 

Приклад 2. Три стрижні кронштейна виконані з одного матеріалу. Площа поперечного перерізу першого стрижня , другого – , третього – . Вага вантажу Р =5000 кГ. Визначити напруження в поперечних перерізах стрижнів.

 

 

Розв'язання. Складемо рівняння рівноваги вузла . Для цього зобразимо сили, що діють на вузол зі сторони стрижнів та силу Р:

 

 

Ця система сил є плоскою, тому рівняння рівноваги системи сил такі:

 

 

Як бачимо, розглядувана стрижнева конструкція один раз статично невизначена. Доповнимо рівняння рівноваги вузла рівнянням сумісності деформацій стрижнів. Щоб скласти це рівняння, припустимо, що шарнір внаслідок деформації конструкції зайняв нове положення на площині осей xy і що стрижні 1, 2, 3 одержали при цьому подовження Нехай – одиничні вектори на стрижнях 1, 2, 3 (див. наведений нижче рисунок). Як видно з рисунка, ці вектори характеризуються координатами:

, , .

 

 

Мислено розберемо вузол і надамо стрижням подовження Ясно, що кінці вірно подовжених стрижнів можна знову звести в точку , обертаючи їх навколо шарнірних з'єднань зі стіною. Розглянемо вектор . Очевидно,

 

, ,

.

 

Виключивши з отриманих виразів для величини та , прийдемо до шуканого рівняння сумісності деформацій стрижнів кронштейна

 

.

 

Замінимо в цьому рівнянні подовження їх виразами через зусилля згідно із законом Гука

 

,

 

одержимо рівняння

 

,

 

що доповнює рівняння статики до визначеної системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно шуканих зусиль .

Спростимо одержане рівняння, прийнявши до уваги, що за умовою задачі , , і що , а . Будемо мати

 

.

 

Таким чином, система рівнянь для визначення зусиль у стрижнях кронштейна виявляється такою

 

,

.

 

Розв'язавши систему, одержимо

 

 

Від'ємний знак значень модулів сил, що деформують другий і третій стрижні кронштейна, означає, що їх напрям протилежний прийнятому визначально напряму, тобто сили й не розтягують, а стискають стрижні 2 та 3 кронштейна.

Визначимо відповідні знайденим зусиллям напруження в стрижнях:

 

 

Знак мінус у значеннях напружень і вказує на те, що ці напруження є стискаючими.