Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Уравнения продольных и крутильных колебаний прямого стержня.
Обозначим через погонную массу стержня; - погонный момент инерции относительно оси стержня; через - площадь поперечного сечения; - экваториальный момент поперечного сечения; - модуль Юнга; - модуль сдвига. Пусть и - соответственно продольное смещение и угол поворота какого-либо сечения стержня в момент Обозначим далее через интенсивность внешней нагрузки – продольной, направленной по оси стержня, в случае продольных колебаний и моментной – в случае колебаний крутильных. Уравнения продольных и крутильных колебаний стержня мы получим как необходимые условия экстремума функционалов: (1.1) для продольных колебаний и (1.2) для крутильных. Интегралы по , взятые в пределах от 0 до (длина стержня) от первого и двух последних слагаемых в квадратных скобках, представляют соответственно кинетическую и потенциальную энергию рассматриваемой системы. Согласно (*) необходимое условие экстремума функционала будет иметь вид (1.3) необходимое условие экстремума функционала (1.4) Условия (3) и (4) и будут уравнениями продольных и крутильных колебаний соответственно. Когда и жесткость и постоянны по всей длине стержня, то уравнения свободных колебаний (продольных и крутильных) однородного стержня имеют вид (1.5) (1.6) где ; Уравнения (5) и (6) – линейные уравнения в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. Для продольных и крутильных колебаний однородного стержня они имеют одинаковую форму. Можно поэтому в общей теории ограничиться рассмотрением одного из них, например, второго, т. е. уравнения крутильных колебаний. При этом рассмотрении мы будем опираться на общий принцип линейной теории колебаний – принцип суперпозиции малых колебаний, который был положен в основу изучения колебаний систем с конечным числом степеней свободы. Мы будем предполагать, что малые колебания системы с бесконечным числом степеней свободы также представляют собой линейное наложение главных гармонических колебаний. Руководствуясь этим принципом, мы будем искать главные гармонические крутильные колебания стержня в таком виде: (1.7) где - функция, определяющая непрерывную совокупность амплитудных угловых отклонений сечений стержня от их равновесных положений. В дискретных системах с конечным числом степеней свободы эта функция вырождается в конечную совокупность амплитудных смещений сосредоточенных масс.
Подставив (7) в (6), получим уравнение собственных форм (1.8) или где Уравнение собственных форм продольных колебаний будет иметь аналогичную форму (1.9) где Величины и называются иногда собственными нагрузками стержня. Применив к этим нагрузкам обобщенный принцип взаимности Рэлея, выражающийся здесь в равенстве работы нагрузки на перемещении работе нагрузки на перемещении получим условие ортогональности собственных форм крутильных колебаний. В самом деле, из равенства этих работ если получим (1.10) Для продольных колебаний условие ортогональности напишется аналогичным образом: (1.11) Задача о собственных формах и частотах колебаний приводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Общий интеграл уравнения (8) (для крутильных колебаний) будет иметь вид (1.12) или где и - значение угла поворота и производной от него по для Постоянные и или и , а также собственные значения определяются из краевых условий задачи, т.е. из условий закрепления концов стержня. В простейших случаях концы стержня (один или оба) свободны или жестко закреплены. Эти способы закрепления выражаются следующими соотношениями: 1) для крутильных колебаний на свободном конце (1.13) на закрепленном (1.14) 2) в случае продольных колебаний на свободном конце (1.15)
на закрепленном (1.16) Другие свойства собственных форм аналогичны свойствам форм систем с конечным числом степеней свободы. Так, остается в силе теорема об узлах собственных форм: число узлов собственной формы -го порядка равно -1; при этом узлы двух последовательных форм перемежаются. Остается также в силе и теорема о разложении любой формы по собственным формам однородной задачи. Общее решение уравнения (8) мы получим как бесконечную линейную сумму главных колебаний (1.17) или (1.18) Постоянные определяются из начальных условий, которые в случае крутильных колебаний выражаются заданием в начальный момент распределения по стержню угловых отклонений
и их производных по где и - некоторые заданные функции переменной . Само вычисление постоянных производится следующим образом. Прежде всего находим из (18) (1.19) Положив здесь получим (1.20) Взяв производную от (19) по найдем (1.21) Как видно из последней формулы, постоянные и являются коэффициентами разложения заданных функций и по собственным формам Частоты главных колебаний стержня образуют бесконечный дискретный ряд значений. Перенумерованные в порядке возрастания они вместе с порядковым номером растут до бесконечности. 2. Свободные колебания стержня с линейным сопротивлением. Уравнение свободных колебаний стержня с сопротивлением пропорциональным скорости смещения его элементов, мы запишем в таком виде (2.1) обозначив
Решение уравнения будем искать в виде разложения искомой функции по собственным формам главных колебаний однородного стержня без сопротивления, т. е. по формам, удовлетворяющим уравнению (2.2) где Положив (2.3) получим, подставив это выражение в (2.1): Последнее равенство, приняв во внимание (2.2), можно представить в такой форме: откуда При где Теперь решение (2.3) будет иметь вид (2.4) Постоянные и найдутся из начальных условий. Так, если в начальный момент
то (2.5) Для стержня жестко закрепленного на конце и свободного на конце
В этом случае
Колебания стержня затухают, и он асимптотически приближается к равновесному положению. 3. Уравнения форм колебаний с правой частью. Такими уравнениями определяются прежде всего формы вынужденных колебаний стержня от гармонической возмущающей силы. Пусть, например, на стержень действует продольная гармоническая сила приложенная в точке Уравнения колебания стержня в этом случае можно написать следующим образом:
где импульсивная функция первого порядка. Чисто вынужденные колебания в отсутствии сопротивлений будут происходить по закону где форма вынужденных колебаний. Подставив это выражение для в предыдущее уравнение, приходим к уравнению для формы колебаний (3.1) – дифференциальному уравнению с правой частью Правую часть будем иметь и уравнение собственных форм свободных стержня, несущего сосредоточенные массы. Силы инерции этих масс в каком-либо из главных колебаний стержня изменяются по гармоническому закону с частотами главных колебаний. Формально они ведут себя так же, как и сосредоточенные возмущающие силы. Так, сила инерции массы , расположенной в точке для главного колебания имеет выражение и уравнение собственных форм будет уравнением с правой частью, аналогичным уравнению (3.1): (3.2) Нужно только помнить, что в уравнении вынужденных колебаний частота возмущающей силы наперед заданная, известная величина, в уравнении же (3.2) она является наряду с искомой величиной. Обозначим правую часть уравнения (3.1) через и будем искать его общий интеграл операционным методом. Положив
получим откуда и (3.3) В частности, когда то (3.4) где Такой вид имеет форма колебаний для всех Для участка стержня до точки приложения силы или массы, т. е. для Таким образом в рассматриваемом случае для формы колебаний мы будем иметь два выражения:
1) при 2) при (3.5) Постоянные и найдутся из краевых условий задачи. Предположим, что в точке к стержню приложена продольная единичная гармоническая возмущающая сила так, что функция - форма вынужденных колебаний системы. Пусть левый конец стержня жестко закреплен, правый свободен. Тогда ; вторую постоянную найдем из условия Формулы (3.5) будут теперь иметь вид 1) Г при 2) Г при (3.6) Если оба конца стержня свободны, то из условий (для крутильных колебаний) найдем Г Г (3.7) Формулы (3.6) и (3.7) дают простой способ вычисления динамических напряжений в любом сечении стержня или вала при действии на него сосредоточенной возмущающей силы или момента. Впервые такие формулы были найдены А. Н. Крыловым.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; просмотров: 657; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.218.184.214 (0.05 с.) |