Динамические нагрузки, действующие на ЛА.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОГО ПРОЕКТА ПО КУРСУ «ДИНАМИКА ЛА»

(8-9 семестр).

 

Целью данного методического пособия является научить студента производить оценочные расчеты собственных и вынужденных колебаний ЛА.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ.

Динамические нагрузки, действующие на ЛА.

(в неустойчивости!?)

 

Изгибные, продольные, поперечные (крутильные) колебания.

ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ

Краевые и начальные условия.

В простейших случаях, когда конец стержня свободен, или жестко закреплен, или шарнирно оперт, краевые условия выражаются следующими соотношениями:

а) конец стержня свободен; на таком конце равны нулю изгибающий момент и поперечная сила; следовательно,

, ;

б) конец стержня жестко закреплен; на таком конце равны нулю прогиб и угол поворота, т. е.

, ;

в) конец стержня свободно оперт (или закреплен шарниром); в этом случае равны нулю прогиб и изгибающий момент, т.е.

, .

Краевые условия, ограничивающие свободу перемещения концов стержня, называются геометрическими условиями. Таковы, например, условия, в силу которых равны нулю прогиб и угол поворота, т.е. условия

.

Условия, налагающие ограничения на изгибающий момент и поперечную силу, например, условия, выражающиеся равенствами

, ,

мы будем называть динамическими условиями.

В других случаях условия закрепления концов стержня выражаются более сложным образом. Например, при упругом закреплении конца стержня соответствующее такому закреплению краевое условие должно учитывать характер возможных смещений конца и возникающих при этом упругих восстанавливающих сил. Так будет, например, в случае закрепления, упругого для поперечных смещений конца и жесткого для поворота или, наоборот, жесткого для поперечных смещений и упругого для поворота и т. д. С такими упругими закреплениями приходится встречаться при расчете на колебания турбинных лопаток, концы которых связаны бандажом, а также при учете упругой податливости заделки хвоста в ободе диска. С некоторыми видами упругих закреплений мы встретимся в разобранных дальше примерах. Отметим, что, оставаясь в пределах линейной теории, мы ограничиваемся рассмотрением краевых условий, выражающихся уравнениями, линейными относительно величин

Начальные условия выражаются соотношениями

 

имеющими место в момент где и - некоторые заданные функции переменной , определяющие начальное распределение по оси стержня поперечных отклонений и скоростей отдельных его элементов.

Рис.6. Факторы, воздействующие на устойчивость двигателя

 

 

Факторы, воздействующие на устойчивость двигателя, включают: А- поверхность горения, связывающая давление и скорость газа; В- тепловое излучение; С- вязкоупругие потери в топливе; D- эффекты в камере сгорания, в том числе демпфирую­щее действие частиц в потоке, другое вязкотермическое затухание, релаксационные затухания, остаточные химические реакции; Е- корпус двигателя, определяющий эффекты вязкотермических потерь на стенках, внешнего влияния и др.; F- эффекты демпфирования сопла. Поверхность горения является источником акустической энергии, а все остальные факторы - ее потерями. Так как неустойчивость возможна до тех пор, пока акустические потерн не превзойдут акустические усиления, то определение акустических потерь отнюдь немаловажно.

Представляет интерес знание акустических характеристик зоны горения, которые можно количественно опи­сать удельной акустической проводимостью поверхности горения или передаточной функцией топлива. Характеристики твердого топ­лива определяются с точки зрения акустики двумя модулями упру­гости, действительные части которых связаны со скоростью распро­странения возмущений за счет сдвига и расширения, а мнимые час­ти выражают потери энергии, вызываемые этими возмущениями. Что касается зоны горения, то се толщина существенно меньше по сравнению с сантиметровыми или большими длинами акустических волн, и поэтому ее можно считать принадлежащей поверхности. Это позволяет поверхность горения и другие граничные поверхности ка­меры характеризовать их акустическими проводимостями, действи­тельная часть которых описывает усиление или затухание акустиче­ских колебаний.

3. Теоретическое рассмотрение задачи о высокочастотной неус­тойчивости требует решения уравнений, описывающих с учетом ука­занных выше эффектов физические и химические процессы. Эти про­цессы протекают в объеме, содержащем твердую и газообразную среды, разделенные сложной границей, способной подводить допол­нительную энергию в поле акустических колебаний. При этом основ­ным вопросом становится выбор тех форм процесса, на которых следует акцентировать внимание; выбор допущений и упрощений, которые следует сделать при математическом описании модели, с тем, чтобы она была достаточно реальной, поддавалась ясной ин­терпретации и позволяла математически ее обработать.

На этом пути имеется два направления. Одно - связано с изучением колебаний малой амплитуды на границе устойчивости, а реше­ние задач осуществляется с помощью анализа малых возмущений, приводящего к линейным дифференциальным уравнениям. Основным в линейной теории является вопрос: будет ли расти ампли­туда случайных малых возмущений давления, всегда имеющих мес­то в ракетном двигателе или нет. Устойчивость при наличии малых возмущений является необходимым, но не достаточным условием для устойчивости вообще. По этой причине второе направление исследует также колебания с развитой амплитудой, которые опи­сываются нелинейными дифференциальными уравнениями.

 

Линейный одномерный анализ

В любой линейной теории неустойчивости изменение гармонических колебаний во времени изучается с точки зрения того, приводят они к неустойчивости или затухают. Характер переходных процессов в рамках такой теории не иссле­дуется. Вся информация получается путем анализа гармонических колебаний, так как любая функция разлагается на гармонические составляющие. Как из­вестно, в линейной теории рассматриваются колебательные процессы под дейст­вием малого начального возмущения. При этом любое возмущение в начальный момент описывается как функция положения в камере сгорания. Для устойчиво­сти необходимо убедиться в затухании всех гармонических составляющих. При анализе же нелинейных эффектов исследовать только гармоническое движение уже недостаточно, так как принцип суперпозиции при этом нарушается.

Чтобы найти линейное условие неустойчивости горения, не касаясь вопроса о конечном уровне колебаний, принимают, амплитуду наи­большего возмущения малой. При таком подходе исходные дифференциальные уравнения упрощаются, поскольку величинами второго порядка малости и выше пренебрегают, а анализируются лишь члены, содержащие возмущенные величины в первой степени. Поэтому получаются линейные уравнения относительно возму­щений. Линейность возмущений позволяет применить принцип суперпозиции, при котором сумма двух частных решений уравнений также является решением. Поэтому возмущения представляются в виде ряда Фурье, который позволяет анализировать поведение каждого члена ряда в отдельности: при наличии хотя бы одного неустойчивого члена суммарное колебательное движение также будет неустойчивым независимо от поведения остальных членов. Математически это выражается наличием хотя бы одного правого корня в решении характеристиче­ского уравнения исходной системы линеаризованных дифференциальных уравне­ний.

При линеаризации исходных уравнений применим несколько отличную по форме от рассматриваемой ранее линеаризации (что одновременно с некоторым упрощением анализа позволяет познакомиться с еще одним методом).

Умножим амплитуду каждого возмущения на , где (σ - коэффициент усиления, ω — угловая частота), а возмущение зададим в такой форме: ;

, (5.69)

где ε — мера амплитуды давления ~ δр/р°; δp(s) — комплексная амплитуда воз­мущения давления, при которой действительная часть представляет собой действительное мгновенное возмущение (аналогично для плотности).

Определяемые таким образом комплексные амплитуды зависят только от ко­ординат точки в пространстве.

Возмущения скорости можно представить следующим образом:

, (5.70)

где μ - мера амплитуды скорости (среднего числа М); - среднее значение скорости.

Учитывая сказанное, уравнения (5.63) и (5.64) при помощи отношений (5.69) и (5.70) можно привести к следующему виду:

(5.71)

, (5.72)

где - скорость звука в газе.

В силу того, что ε(μ) малы (но не равны нулю), член в фигурных скобках уравнения (5.71), умножаемый на ε, пропадает, так как появляются слагаемые второго порядка малости.

Граничные условия записываются для z = 0 и z = L. Уравнения могут быть решены формально для произвольного движения, но это обычно адекватно рас­смотрению только гармонического движения. В результате можно получить от­вет на вопрос: будут ли начально малые возмущения возрастать или умень­шаться. В линейном анализе, как выше было указано, используется временная зависимость для всех возмущений. Комплексное волновое число k, в котором действительная часть определяет угловую частоту, а мни­мая— рост или уменьшение σ, равно: . При σ<0 имеем линейную устойчивость колебаний.

С учетом принятой временной зависимости

; (5.73)

, (5.75)

при граничных условиях для z = 0 и z = L

. (5.75)

Здесь

(5.76)

. (5.77)

Знак (^) относится к амплитудам колебаний далеко от стенки. Совместное рас- смотрение уравнений (5.73), (5.74) и следующих:

; (5.78)

(z =0, L) (5.79)

позволяет окончательно получить выражение для комплексного волнового числа

, (5.80)

где . (5.81)

Действительная часть выражения (5.80) определяет искомую величину σ:

(5.82)

Здесь - приход массы, знак «~» относится к средним величинам.

Слагаемые, входящие в зависимость (5.82), можно интерпретировать следу­ющим образом.

Первый член в фигурных скобках представляет связь с поверхностью горе­ния; первое слагаемое в скобках - для конца заряда, второе - для бокового за­ряда.

Второй член в фигурных скобках представляет обмен акустической энергией, который связан с массовым потоком через боковую границу; для прихода массы он представляет потери энергии, потому что входящий поток должен приобре­тать энергию.

Первое слагаемое третьей фигурной скобки определяет рассеивание акусти­ческой энергии вследствие сил взаимодействия между частицами и газом; второе - потери энергии вследствие приобретения акустической энергии частиц че­рез границу.

Последний член (5.82) определяет догорание.

Отметим, что полученный результат линейного анализа (5.82), позволяет связать общую акустическую энергию в камере ε и 2 σ:

. (5.83)

Аналогичные результаты можно получить для трехмерной задачи с более корректной постановкой задачи (без рассмотренных ранее допущений). Подроб­нее об этом можно найти в работах Ф. Е. Кулика.

 

Рис. 4.1. Динамическое нагружение топливного образца

 

 

Если гармонический закон нагружения представить в комплексной форме записи: ε(t) = ε_a exp(iωt), а реакцию материала в виде 6(t) = б_а ехр [i(ωt +φе)], то их отношение будет иметь вид

Полученное выражение не зависит от времени и является комплексным:

гдe

здесь - упругий динамический модуль; - модуль потерь.

Частотные характеристики топлива зависят от температуры Т, по­этому их определяют при дискретных температурах в заданном диапазо­не эксплуатации изделия. Характерные зависимости для динамического модуля и угла сдвига фаз приведены на рис.4.2 /18/.

 

Рис. 4. 2. Частотные зависимости динамического модуля упругости Е* (а) и угла сдвига фаз ф_Е (б): 1- Т=-60°С: 2- (-40°С); 3- (-20°С); 4- (0°С); 5-(20°($ 6- (40°С)

Видно, что с ростом частоты и понижением температуры динамический модуль Е* возрастает, а тангенс угла сдвига фаз имеет сложный ха­рактер изменения и в сильной степени зависит от состава топлива.

Еще одной очень важной характеристикой, определяющей жесткость заряда, является коэффициент Пуассона топлива, равный отношению поперечной деформации образца к продольной при его одноосном растяже­нии. Специальными исследованиями установлено /19/, что при нагружении твердотопливного образца гармонической продольной деформацией коэффициент Пуассона может иметь динамический смысл ,т.е. изменяться с частотой нагружения, а между поперечной и продольной деформациями возникает, фазовый сдвиг :

(4.3)

На рис.4.3 приведены характерные для твердого топлива зависи­мости входящих в выражение (4.3) величин для диапазона частот, представляющего интерес при оценке динамического состояния заряда от действия колебаний давления.

 

Рис.4.3. Частотные зависимости динамического коэффициента Пуассона м* (а) и угла сдвига фаз ф_ц (б): 1- Т=-бО°С; 2- (-40°С); 3- (-20°С); 4- (0°С): 5- (20°С): б- (40°С); 7- (50°С)

 

Принцип соответствия

В отличие от упругой модели, механические свойства топлива в вязко-упругой модели можно описывать комплексными операторами вязкоупругости - модулем и коэффициентом Пуассона ). Это не единственный способ описания вязкоупругих свойств топлива /17/, но он позволяет наиболее просто получить решение динамической задачи теории линейной вязкоупругости, если известно упругое решение. Для этой цели, при гармоническом нагружении, применяют известный в теории линейной вязкоупругости принцип соответствия /SO/, который формулируется следующим образом: если решение некоторой задачи для упругого материала имеет вид

f = Re [fE exp(iwt)] (4.4)

для каждой зависимой переменной, то решение соответствующей задачи для вязкоупругого материала будет иметь вид

f = Re (4.5)

где обозначает функцию, полученную из функции F_Е заменой упру­гих постоянных материала на соответствующие комплексные функции.

Выражение "соответствующая задача" означает задачу, в которой уп­ругое тело заменено вязкоупругим. Принцип соответствия применим только при следующих условиях:

- решение задачи для упругого материала известно;

- при решении задачи для упругого материала не применяется опе­рация, которой при решении задачи для вязкоупругого материала будет соответствовать операция отделения действительной (Re) и мнимой (ш) частей комплексного числа, за исключением окончательного опре­деления f;

- граничные условия для двух случаев одинаковы.

Решения (3.52) - (3.55) для упругих компонентов НДС заряда соответствуют упругой модели (4.4). Для перевода их в вязкоупругую модель (4.5) необходимо в выражениях (3.52) - (3.55) произвести замену упругих характеристик топлива Е_n, комплексными и соответственно. Тогда параметры НДС (3.52)-(3.55) также ста­новятся комплексными. После соответствующих алгебраических преобра­зований по каждой компоненте НДС следует выделить действительную и мнимую часть, после чего определить модуль и аргумент ) комплексного выражения, т.е. каждое из них представить в виде , где А - амплитудно-частотная характе­ристика (АЧХ); - фазочастотная характеристика (ФЧХ).Знак минус перед ФЧХ обусловлен вязкоупругими свойствами топлива.

Проводить непосредственное преобразование выражений (3.52) - (3.55) по указанной схеме нет необходимости, поскольку операция преобразования комплексных выражений успешно решается вычислитель­ной техникой.

Рассмотрим некоторые примеры расчетов. Типичные АЧХ и ФЧХ за­ряда приведены на рис.4.4, где АЧХ: Дб_г - относительное контактное радиальное напряжение, Дб_г = Дб_г / ДР; Де@ - относительная окружная деформация на канале заряда, Д10 = Дев / ДР; ФЧХ: у%- угол сдвига фаз между колебательными составляющими контактного радиального на­пряжения и давления в камере двигателя. Из рисунка видно, что ос­новной резонанс системы отчетливо проявляется на АЧХ, в то время как второй резонанс настолько слаб, что его можно идентифицировать лишь с помощью ФЧХ. Это еще раз подтверждает, что при радиальных колебаниях основной интерес представляют частотные характеристики основного тона, где, например, динамические напряжения в несколько раз превышают амплитуду осциллирующего давления в камере двигателя.

Обычно резонансные пики на АЧХ весьма узкие, так что при неко­тором удалении от резонансной частоты уровень динамических напряже­ний и деформаций быстро уменьшается. Это особенно хорошо видно из рис.4.5, где изображены поля относительных динамических напря­жений Д6_Г= Дб_г / ДР, распределенные по своду заряда. Так, для низкомодульного топлива при частоте 140 Гц и угле сдвига фаз фе = 0,1 рад наибольшие напряжения наблюдаются на контактной по­верхности, где они усиливаются по сравнению с амплитудой осцилли­рующего давления более чем в 15 раз. Однако, если частота колебаний давления окажется на 10 Гц больше, контактные напряжения умень­шатся почти вдвое. Такое усиление динамических напряжений в районе основной резонансной частоты объясняется тем, что на поверхности контакта, кроме упругих, действуют инерционные силы, обусловленные движением заряда. В этом заключается основное отличие распределения динамических напряжений 'по своду заряда от квазистатического при действии постоянного давления (рис.4.5, кривая 1). В районе основ­ной резонансной частоты динамические деформации к оболочке уменьша­ются.

При частотах, близких ко второй и далее формам радиальных ко­лебаний, максимумы динамических напряжений (так же, как и деформа­ций) смешаются в тело заряда (550 и 940 Гц). Однако величина их всегда намного меньше, чем в районе основного резонанса. Таким образом, расчетным режимом при оценке динамического НДС заряда сле­дует считать основной резонансный или близкий к нему (при Av -» min), а в качестве расчетных выбираются точки на канале для напряжений и окружной деформации и на контакте для напряжений. Эти точки совпадают с аналогичными точками при статическом анализе /5/. поэтому рассчитанные динамические компоненты НДС могут быть учтены при оценке прочности заряда по формулам, приведением в п.1.4.

 

0 ZOO WO 6O08Off vT/24

Рис.4.4. АЧХ и ФЧХ вязкоупругого заряда:

1- фе = ОД рад; 2- 0,3 рад

 

 

Рис.4.5. Поля относительных динамических напряжений: 1- v=0; 2- 140 Гц; 3- 150 Гц;

4- 550 Гц; 5- 940 Гц

 

Рис.4.13. Схемы разбиения на конечные элементы поперечных сечений заряда

Для вынужденной задачи, когда нагрузка изменяется по закону i R > = { Ra }-exp(iu>t), уравнение движения (4.6) принимает вид, аналогичный записи закона Гука:

([ К 1 - и>²-[ М ])•{ 5_а > = (4.7)

где выражение в круглой скобке описывает динамическую жесткость системы. Индексом "а" обозначены амплитудные значения параметров.

Если в уравнении (4.6) принять { Ra > = 0, ш² = X, то задача сводится к проблеме поиска собственных значений X:

(С К 1 - Х'Г М ])•{ б_а > = 0. (4.8)

Количество собственных значений Xi, а следовательно, и собственных частот колебаний "тределяется размерностью матриц [ К ] и [ М J, которые, в свог. очередь, определяются количеством конеч­ных элементов N.

Практическая реализация расчетов МКЭ зависит от конкретного программного обеспечения и без него невозможна /22/. Поэтому для более подробного изучения метода советуем обратиться к соответству­ющим учебным пособиям и монографиям (например /16,21/ и др.). Здесь же рассмотрим лишь некоторые результаты исследований, позво­ляющих оценить влияние геометрических особенностей заряда на его динамическое состояние.

На рис.4.13 показаны три формы пятилучевого поперечного сече­ния заряда - щелевая, "звезда" и "вагонное колесо". В табл.4.1 для этих форм приведены результаты расчета первых четырех собственных частот поперечных колебаний заряда по модели плоскодеформированно­го состояния (ДНО), когда де_х = 0. Здесь же приведены амплитудные значения резонансной окружной деформации ueq в расчетных точках 1 и 2 на канале для амплитуды давления ДР = 1 МПа.

Таблица 4.1 Динамические параметры зарядов сложной формы

 

 

 

 

Форма заряда	Собственная	Резонансная деформация
	частота, Гц	точка 1	точка 2
	135,7	0,015	0,007
Щелевая	166,9	0,072	0,019
	244,8	0,020	0,032
	266,7	0,030	0,042
	136,2	0,002
"Звезда"	201, 3	0,122
	261, 6	0,087
	265,5	0,085
	137,5	0,010	0,002
"Вагонное	206,0	0,009	0,004
колесо"	258,6	0,047	0.004
	263,5	0,049	0,004

 

Анализируя полученные результаты, убеждаемся, что сечение сложной формы обладает дополнительной степенью свободы по окружной координате 8. Поэтому колебания из одномерных (только вдоль коорди­наты г) переходят в плоские (в координатной плоскости г - 81, в связи с чем появляются дополнительные собственные частоты в доволь­но узком диапазоне 130-270 Гц, что является особенностью колебаний сложных сечений. При выгорании топлива происходит сглаживание кон­тура, который постепенно становится близким к окружности.

Результаты показывают, что с точки зрения динамики "вагонное колесо" является наименее нагруженным, т.к. при этой форме динами­ческие деформации в расчетных точках имеют наименьшую величину. По­этому для крупногабаритных двигателей, в которых могут возникнуть продольные колебания газа с частотами 100 - 300 Гц, с точки зрения динамической прочности заряд типа "вагонное колесо" может оказаться наиболее приемлемым. Наибольшую динамическую нагруженностъ могут иметь заряды типа "звезда".

 

Рис.4.14. Поля динамических деформаций и напряжений по линии 2-3 в заряде типа "вагонное колесо ":

1 - статика; 2 - v = 160 Гц; 3 - 320 Гц

На рис.4.14 показаны поля динамических деформаций и напряжений по линии 2-3 в заряде типа "вагонное колесо". Кривые приведены для частот 160 и 320 Гц, соответствующих первым двум продольным модам колебаний газа в канале длиной L = 3,125 м. Видно, что зависимости распределения динамических деформаций и напряжений по своду заряда колебаний гага в канале длиной L = 3,125 м. ьидно, что зависимости распределения динамических деформаций и напряжений по своду заряда имеют сложный характер. По деформации корпуса трудно предположить, что на частоте 320 Гц в теле заряда (г = 0,38) динамическая дефор­мация в 45 раз превышает статическую (К_у = 45), рассчитанную при той же амплитуде давления. Чтобы перевести относительную деформацию ueq МПа"¹ в безразмерную величину, как это обычно принято, необхо­димо знать, какую долю от среднего давления Р₀ составляет амплитуда колебаний ДР. Если, например, ДР/Р₀ = 0,01, то в указанном сечении динамическая деформация составит 45% от статической. На контактной поверхности наибольший коэффициент динамического усиления по напря­жению равен 2,26. Это в несколько раз меньше, чем в случае гладкого цилиндра. Таким образом, в зарядах сложной формы наблюдается "конс­трукционное демпфирование" - дополнительное снижение уровня динами­ческих напряжений, обусловленное формой заряда.

Сравнительные результаты расчетов по одномерной и плоской мо­делям можно рассмотреть на примере 4- щелевого заряда (R= 1 м, гк = 0,333 м). Так, по модели плоскодеформированного состояния рас­четным путем получены собственные частоты 42,2; 63,7; 87,2; 131,2 Гц /23/. Соответствующе АЧХ в расчетных точках 1-4 (по де­формации на канале Д1е и по напряжению на контакте Дб_г) приведены на рис.4.15.

jn			I
с			\
			!
ч		V,	Ч	рч
	_^*s-	№	&
			H		--=_{e
i	K	1 8C	> f2i	? /<?	9 V.fu

Рис.4.15. АЧХ в расчетных точках щелевого заряда: 1- точка 1; 2- точка 2; 3- точка 3; 4- точка 4; -----— щелевой канал; - - - - гладкий канал

Приведенные на рис.4.14 результаты подтверждают наличие в рассматриваемом диапазоне частот размытой резонансной области, что приводит к необходимости учитывать вязкоупругие потери во всем рассматриваемом частотном диапазоне. Это значительно усложняет анализ при практическом использовании результатов на этапе проекти­рования двигателя.

В то же время рассчитанные по одномерной модели (для гладкого цилиндрического канала) АЧХ вписываются в резонансную область час­тот и имеют единственную резонансную частоту радиальных колебаний 87,2 Гц (рис.4.15, штриховая кривая). При этой частоте рассчитанные для гладкого цилиндра резонансные деформации и напряжения имеют на­ибольшую величину, что при учете их значений в расчете идет в запас прочности заряда. Так, например, если ДР = 0,1 МПа, то по одномер­ной модели резонансные значения окружной деформации на канале и ра­диального напряжения на контакте будут соответственно 0,025 и 1,1 МПа. В то же время наибольшие значения деформации и напряжения в рассматриваемом диапазоне частот, рассчитанные из условия резо­нанса по модели плоскодеформированного состояния, соответственно равны 0,02 и 0,3 МПа.

Характер изменения динамических деформаций и напряжений в за­ряде по линии 2-3 на резонансных режимах показан на рис.4.16. Дина­мические кривые значительно отличаются от статических параметров НДС (кривые 1).

Важно отметить, что замеренные в эксперименте де­формации корпуса могут дать, согласно расчету (см. рис.4.16), зна­чения, мало отличающиеся по величине от статической деформации при одинаковой величине входного воздействия - внутрикамерного давле­ния. В то же время на канале заряда динамические деформации могут быть существенно выше деформаций, рассчитанных при том же давлении по статической модели. Эту особенность следует учитывать при оценке работоспособности заряда, например, в условиях продольной акусти­ческой неустойчивости крупногабаритных РДТТ. Как и для гладкого ци­линдрического канала, в районе резонансных частот динамические нап­ряжения в этом случае возрастают к корпусу и имеют наибольшую вели­чину при частоте 87,2 Гц.

Другой моделью, используемой для оценки динамического повеле­ния заряда, является модель осисимметричного состояния (ОСС) /22/. когда параметры НДС в окружном направлении 8 не меняются, а зависят только от координат г и х. Для примера на рис.4.17 приведены АЧХ

uSa.MfT/T

&б>

 

контактного напряжения в среднем сечении заряда с цилиндрическим каналом длиной L = 3,125 м и наружным радиусом R = 0,5 м для двух значений радиуса канала: гк= 0,2 м - начальное значение; гк= 0,38 м - момент выгорания, когда основная частота радиальных колебаний заряда совпадает с частотой 2-й моды продольных колебаний газа (320 Гц). Расчеты по модели ОСС для начальной геометрии дают резо­нансную область частот, в которой два пика - при 135 и 200 Гц. По одномерной модели в данной частотной области наблюдается только один радиальный резонанс при частоте 161,6 Гц. При выгорании заряда для рассмотренного среднего сечения различие в АЧХ уменьшается и, например, при гк = 0,38 м (см. рис.4.17) практически исчезает. Ре­зонансная частота по осесимметричной модели равна 319,5 Гц, по од­номерной модели - 322,9 Гц.

На рис.4.18 представлено изменение амплитуды колебаний относи­тельного радиального напряжения на контакте при частотах 160 Гц (1-я газовая мода, радиус канала в среднем сечении 0,2 м) и 320 Гц (2-я газовая мода, гк = 0,38 м).

В заключение отметим, что в динамике сложных форм вместо коэф­фициента концентрации напряжений, который применяется в статике /4/, более обоснованно использовать понятие коэффициента усиления как отношения динамической компоненты НДС к соответствующей статичес­кой, рассчитанной для той же формы заряда при давлении, равном амп­литуде колебаний давления в камере.

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ КОЛЕБАНИЙ.

Критерии подобия

Опираясь на теорию размерностей и подобия, рассмотрим общую схему построения алгоритма моделирования и создание для этой цели экспериментальной установки. Основные задачи моделирования и создания установки на этом этапе включают:

- Анализ факторов и условий работы РДТТ;

- Выбор общего математического аппарата, описывающего процессы течения газа в камере сгорания, как натурного, так и модельного двигателя;

- Формирование на основании математической модели определяющих параметров и построение базы критериев подобия;

- Определение условий моделирования и построение на основе выбранных объектов подобия математического аппарата, позволяющего вести пересчёт полученных результатов на натурный объект;

- Выбор рабочего тела и условий его подвода к модельному двигателю;

- Моделирование газоприхода с «горящей» поверхности модельного двигателя.

Теория подобия является необходимым инструментом всякого экспериментального исследования. Так как для рассматриваемого процесса движение газа в камере сгорания двигателя полное моделирование невозможно, особое значение имеет выбор состава определяющих критериев и оценка их значимости. Такой состав должен обеспечить достаточно полное моделирование основных свойств потока с помощью относительно простых технических решений.

Смысл моделирования заключается в том, чтобы дать необходимые ответы о характере эффектов и влиянии различных величин, связанных с явлениями в натурных условиях при формировании течения газа в камере сгорания РДТТ. Из теории подобия следует, что два явления подобны, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчётом, который аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой, то есть подобными физическими процессами будут такие явления одной природы, которые протекают в геометрически подобных пространственных системах, и, у которых значения переменных, характеризующих одноимённые явления, пропорциональны в сходственных точках и гомохронные моменты времени. Такое преобразование переменных, при котором значение каждой из них меняется в определённое число раз, называется подобным преобразованием. Необходимым и достаточным условием подобия двух явлений является постоянство численных безразмерных комбинаций, образующих базу.