Дискретизация частных производных.

 

По определению частная производная от функции непрерывного аргумента

 

(1.1)

.

Для функции дискретного аргумента на фиксированной сетке понятие предельного перехода теряет смысл, поэтому при определении разностной производной вместо отношения бесконечно малых величин берут отношения конечных разностей. Аппроксимация производной 1.1 может быть проведена с помощью различных формул:

а) правая производная: (1.2)

б) левая производная: ; (1.3)

в) центральная производная: ; (1.4)

г) трёхточечная несимметричная: ; (1.5)

д) пятиточечная симметричная:

 

(1.6)

 

Ясно, что при дискретизации производной с помощью любого из выражений 1.2-1.6 вносится ошибка аппроксимации, порядок которой для каждой формулы можно оценить, если воспользоваться разложением в ряд Тейлора соответствующих функций в точке х, так например:

 

(1.7)

 

Тогда порядок ошибки аппроксимации с помощью формулы 3.2 для правой производной будет:

 

(1.8)

 

Аналогично имеем такой же порядок ошибки аппроксимации и для левой производной 3.3. Для центральной производной получим:

 

 

(1.9)

 

 

Если всё тоже выполнить для трехточечной несимметричной производной 1.5, то найдем порядок ошибки аппроксимации , а для пятиточечной симметричной 1.6 - .

Основываясь на полученных результатах, о порядке вносимой ошибки за счет дискретизации может показаться, что во всех случаях следует пользоваться более сложной формулой аппроксимации производной. На практике при решении нестационарных задач газовой динамики дискретизация производных по времени чаще осуществляется с использованием правой производной. Это позволяет, зная параметры течения газа на n шаге по времени, определить их на (n+1). Использование в данном случае более сложных формул ограничено незнанием параметров течения на (n+2) шаге по времени. Дискретизацию производных по пространству следует производить с помощью центральной производной 1.4, а не пятиточечной симметричной 1.6, хотя ошибка аппроксимации с помощью последней значительно меньше. Объясняется это тем, что использование в формуле 1.6 большего количества точек приводит к снижению вычислительной эффективности и увеличивает время счета. Точность расчета всегда можно повысить измельчением сетки.

 

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УРАНЕНИЙ,

ОПИСЫВАЮЩИХ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА.

 

При построении разностной схемы для численного решения двумерной по пространству задачи, необходимо ввести также двумерную разностную сетку. Сетка прямоугольная, её линии параллельны завесе. На сетке выбрана система координат OIJ (см. рис. 1.1) таким образом, что I=1 совпадает с проёмом, I=N совпадает с поверхностью завесы, J=0 совпадает с проёмом, J=М совпадает с поверхностью пола. N и M задаются, они определяют число расчетных узлов сетки и шаги (расстояния от узла до узла) вдоль соответственно осей. При дискретизации дифференциальных уравнений и дополнительных условий будем аппроксимировать частные производные по пространству с помощью центральной производной 3.4, 3.10, а частные производные по времени по формуле для правой производной 3.2. Для приведения к одной точности аппроксимации производных по пространству первого и второго порядков будем использовать так называемую разнесенную разностную сетку, в которой различные зависимые параметры определяются в разных точках сетки. В связи с этим, функции непрерывного аргумента заменяем функциями дискретного аргумента , определенными в точках , - в точках , - в точках (см. рис. 3.1).

 

Здесь и ниже величины, обозначенные индексом n+1, являются функциями, определенными на n+1 шаге по времени. Функции, определенные на n – ом шаге по времени, индекса не имеют.

1) ∂T/∂t+U*∂T/∂x+V*∂T/∂y=P/(ρ²*c_v)*∂ρ/∂t+ K*Pr/ρ*∂/∂x*((µ+Aτ) *∂T/∂x)+ ∂/∂y*((µ+Aτ) *∂T/∂y)

(Tⁿ⁺¹[I;J]-T[I;J])/∆t+(U[I;J]+ U[I+1;J])/2* (T[I+1;J]- T[I-1;J])/(2*∆x)+ (V[I;J]+V[I+1;J])/2*(T[I;J+1]- T[I;J-1])/(2*∆y)=K*Pr/ρ[I;J]*((T[I+1;J]- T[I;J])/∆x*(µ[I+1;J]+ µ[I;J]+Aτ[I+1;J]+ Aτ[I+1;J])/2- (T[I;J]- T[I-1;J])/∆x*(µ[I;J]+ µ[I-1;J]+Aτ[I;J]+ Aτ[I-1;J])/2)/∆x+((T[I;J+1]- T[I;J])/∆y*(µ[I;J+1]+ µ[I;J]+Aτ[I;J+1]+ Aτ[I;J])/2- (T[I;J]- T[I;J-1])/∆y* (µ[I;J]+ µ[I;J-1]+Aτ[I;J]+ Aτ[I;J-1]/2)/∆y;

Tⁿ⁺¹[I;J]=(K*Pr/ρ[I;J]*((T[I+1;J]- T[I;J])/∆x*(µ[I+1;J]+ µ[I;J]+Aτ[I+1;J]+ Aτ[I+1;J])/2- (T[I;J]- T[I-1;J])/∆x*(µ[I;J]+ µ[I-1;J]+Aτ[I;J]+ Aτ[I-1;J])/2)/∆x+((T[I;J+1]- T[I;J])/∆y*(µ[I;J+1]+ µ[I;J]+Aτ[I;J+1]+ Aτ[I;J])/2- (T[I;J]- T[I;J-1])/∆y* (µ[I;J]+ µ[I;J-1]+Aτ[I;J]+ Aτ[I;J-1]/2)/∆y-(U[I;J]+ U[I+1;J])/2* (T[I+1;J]- T[I-1;J])/(2*∆x)-(V[I;J]+V[I+1;J])/2*(T[I;J+1]- T[I;J-1])/(2*∆y))* ∆t+T[I;J].

2) ρ*(∂U/∂t+U*∂U/∂x+V*∂U/∂y= -∂P/∂x+2*∂/∂x*(µ*∂U/∂x)+ ∂/∂y*(µ*(∂U/∂y+∂V/∂x)

(ρ[I;J]+ρ[I-1;J])/2*(Uⁿ⁺¹[I;J]- U[I;J])/∆t+(ρ[I;J]+ρ[I-1;J])/2*(U[I+1;J]- U[I-1;J])/(2*∆x)+(ρ[I;J]+ρ[I-1;J])/2*(V[I;J]+V[I+1;J]+V[I;J+1]+V[I+1;J+1])/4*(U[I;J+1]- U[I;J-1])/(2*∆y)= -(P[I+1;J]-P[I;J])/∆x+2*(µ[I;J]* (U[I+1;J]- U[I;J])/∆x-µ[I;J]*(U[I;J]- U[I-1;J])/∆x)/∆x+((µ[I;J]+µ[I-1;J]+µ[I-1;J+1]+µ[I;J+1])/4*((U[I;J+1]- U[I;J])/∆y+(V[I;J+1]- V[I-1;J+1])/∆x)-(µ[I;J]+µ[I;J-1]+µ[I-1;J-1]+µ[I-1;J])/4*((U[I;J]- U[I;J-1])/∆y+(V[I;J]- V[I-1;J])/∆x))/∆y;

Uⁿ⁺¹[I;J]= (-(P[I+1;J]-P[I;J])/∆x+2*(µ[I;J]* (U[I+1;J]- U[I;J])/∆x-µ[I;J]*(U[I;J]- U[I-1;J])/∆x)/∆x+((µ[I;J]+µ[I-1;J]+µ[I-1;J+1]+µ[I;J+1])/4*((U[I;J+1]- U[I;J])/∆y+(V[I;J+1]- V[I-1;J+1])/∆x)-(µ[I;J]+µ[I;J-1]+µ[I-1;J-1]+µ[I-1;J])/4*((U[I;J]- U[I;J-1])/∆y+(V[I;J]- V[I-1;J])/∆x))/∆y-(ρ[I;J]+ρ[I-1;J])/2*(U[I+1;J]- U[I-1;J])/(2*∆x)-(ρ[I;J]+ρ[I-1;J])/2*(V[I;J]+V[I+1;J]+V[I;J+1]+V[I+1;J+1])/4*(U[I;J+1]- U[I;J-1])/(2*∆y))*∆t/(ρ[I;J]+ρ[I-1;J])/2 +U[I;J].

3) ρ*(∂V/∂t+U*∂V/∂x+V*∂V/∂y= -∂P/∂y+ ∂/∂x*(µ*(∂U/∂y+∂V/∂x)+ 2*∂/∂y*(µ*∂U/∂y)

(ρ[I;J]+ρ[I;J-1])/2*(Vⁿ⁺¹[I;J]- V[I;J])/∆t+(ρ[I;J]+ρ[I;J-1])/2*(U[I;J]+U[I+1;J]+U[I;J-1]+U[I+1;J+1])/4*(V[I+1;J]- V[I-1;J])/(2*∆x)+(ρ[I;J]+ρ[I;J-1])/2* V[I;J]*(V[I;J+1]- V[I;J-1])/(2*∆y)= -(P[I;J]-P[I;J-1])/∆y+((µ[I;J]+µ[I+1;J]+µ[I;J-1]+µ[I-1;J])/4*((U[I+1;J]- U[I;J])/∆y+(V[I+1;J]- V[I;J])/∆x)-(µ[I;J]+µ[I;J+1]+µ[I-1;J]+µ[I;J-1])/4*((U[I;J]- U[I-1;J])/∆y+(V[I;J]- V[I-1;J])/∆x))/∆x+2*(µ[I;J]*(V[I;J+1]- V[I;J])/∆y- µ[I;J-1]*(V[I;J]- V[I;J-1])/∆y)/∆y.

Vⁿ⁺¹[I;J]=(-(P[I;J]-P[I;J-1])/∆y+((µ[I;J]+µ[I+1;J]+µ[I;J-1]+µ[I-1;J])/4*((U[I+1;J]- U[I;J])/∆y+(V[I+1;J]- V[I;J])/∆x)-(µ[I;J]+µ[I;J+1]+µ[I-1;J]+µ[I;J-1])/4*((U[I;J]- U[I-1;J])/∆y+(V[I;J]- V[I-1;J])/∆x))/∆x+2*(µ[I;J]*(V[I;J+1]- V[I;J])/∆y- µ[I;J-1]*(V[I;J]- V[I;J-1])/∆y)/∆y-(ρ[I;J]+ρ[I;J-1])/2*(U[I;J]+U[I+1;J]+U[I;J-1]+U[I+1;J+1])/4*(V[I+1;J]- V[I-1;J])/(2*∆x)-(ρ[I;J]+ρ[I;J-1])/2* V[I;J]*(V[I;J+1]- V[I;J-1])/(2*∆y))* ∆t /(ρ[I;J]+ρ[I;J-1])/2+V[I;J].

4) P[I;J]=(divVB[I;J]-divV[I;J]/(2*∆t)+P[I+1;J]/((∆x²)*(ρ[I+1;J]+ρ[I;J]))+P[I–1;J]/((∆x²)*(ρ[I–1;J]+ρ[I;J]))+P[I;J+1]/((∆y²)*(ρ[I;J+1]+ρ[I;J]))+P[I;J-1]/((∆y²)*(ρ[I;J]+ρ[I;J-1])))/(1/((∆x²)* (ρ[I;J]+ρ[I+1;J]))+1/((∆x²)*(ρ[I+1;J]+ρ[I;J]))+1/((∆y²)*(ρ[I;J+1]+ρ[I;J]))+1/((∆y²)*(ρ[I;J]+ ρ[I;J-1]))).

 

 

J

 

 

I

 

Рис. 3.1. Дискретное распределение параметров течения газа

на разностной сетке