Тема 12. Двумерная Случайная величина

Справочный материал

 

· Двумерная случайная величина – упорядоченная система двух случайных величин (X; Y), возможные значения которой задаются парой чисел (x; y); геометрически двумерную случайную величину можно интерпретировать как случайную точку М (X; Y) на координатной плоскости xy (X, Y – координаты точки М) или как двумерный случайный радиус-вектор R = = { X; Y } (X и Y –координаты вектора R).

 

 

· Функция распределения двумерной случайной величины R = { X; Y } − функция F (x, y), определяющая вероятность события {в результате испытания случайная величина X примет значение меньше числа x и одновременно случайная величина Y примет значение меньше числа y }: ; распределение вероятностей двумерной дискретной случайной величины R = { X; Y }можно задать матрицей, элементы которой p_ij определяют вероятность события {в результате испытания случайная величина X примет значение x_i и одновременно случайная величина Y примет значение y_j }, то есть, p_ij = p { X = x_i; Y = y_j };

· Основные свойства функции распределения F (x, y) двумерной непрерывной случайной величины R = { X; Y }:

Ø 0 ≤ F (x, y) ≤ 1;

Ø F (−∞; −∞)= F (−∞; y) = F (x; −∞) = 0;

Ø F (+∞; +∞) = 1;

 

· Табличная форма распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины имеет вид:

 

Y X	y 1	y 2	…	yj	…	px
x 1	p 11	p 12	…	p 1 j	…	p (x 1)
x 2	p 21	p 22	…	p 2 j	…	p (x 2)
…	…	…	…	…	…	…
xi	pi 1	pi 2	…	pij	…	p (xi)
…	…	…	…	…	…	…
py	p (y 1)	p (y 2)	…	p (yj)	…

· Законы распределения составляющих случайных величин X и Y двумерной дискретной случайной величины:

;

.

· Условная вероятность составляющих случайных величин двумерной дискретной случайной величины R ={ X; Y }:

Ø p (X = x_i /Y = y_j)= p (x_i /y_j) – вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение x_i при условии, что случайная величина Y приняла значение y_j (то есть, при условии, что событие { Y = y_j } произошло):

Ø p (Y = y_j /X = x_i) = p (y_j /x_i) – вероятность того, что в результате испытания случайная величина Y примет значение y_j при условии, что случайная величина X приняла значение x_i (то есть, при условии, что событие { X = x_i }произошло): ; .

· Стохастически (вероятностно) зависимые случайные величины – случайные величины, изменение значения одной из которых приводит к изменению закона распределения других.

 

 

· Достаточные и необходимые условия взаимной независимости случайных величин: две случайные величины X и Y стохастически взаимно независимы, если р_ij = p (X = x_i; Y = y_j)= p (X = x_i) ∙p (Y = y_j) для дискретных случайных величин и F (x, y)= F ₁(x) ∙F ₂(y)для непрерывных случайных величин.

 

· Центр рассеяния двумерной случайной величины: точка на плоскости, определяемая радиус-вектором R ₀ = { М (X); М (Y)}.

 

· Линейная функциональная зависимость случайных величин X и Y: Y = А + ВХ, где А и В – постоянные действительные числа.

 

· Корреляционная зависимость двух случайных величин X и Y – стохастическая зависимость двух переменных случайных величин, при которой изменение одной из них приводит к функциональному изменению математического ожидания другой; линейная корреляционная зависимость Y от X: М (Y / X = х) = а + bx, где М (Y / X = х) – математическое ожидание случайной величины Y при условии, что переменная случайная величина X приняла значение х; а и b – постоянные действительные числа.

 

· Ковариация случайных величин cov (X, Y) – числовая характеристика, определяющая наличие линейной корреляционной зависимости между переменными случайными величинами X и Y: cov (X, Y) = М [(Х – M (X))∙(Y – M (Y))].

 

· Коэффициент корреляции r (X, Y) двух случайных величин X и Y – мера тесноты (степени проявления) линейной корреляционной зависимости между двумя переменными случайными величинами X и Y: r (X, Y) = .

· Основные свойства числовых характеристик случайных величин:

 

Ø М (С) = С, М (С∙Х) = С∙М (Х), где С – постоянная величина;

Ø М (X ± Y) = М (X)± М (Y) для любых случайных величин X и Y; М [ X – M (X)] = 0;

Ø М (X ∙ Y) = М (X)∙ М (Y) + cov (X, Y) для любых случайных величин X и Y;

Ø М (X ∙ Y) = М (X)∙ М (Y) для независимых X и Y;

Ø D (С) = 0; D (СХ) = С ² D (Х), где С – постоянная величина;

Ø D (X ± Y) = D (X)+ D (Y) ± 2∙ cov (X, Y) для любых случайных величин;

D (X ± Y) = D (X)+ D (Y) для независимых X и Y;

Ø –1 £ r (X, Y) £ 1;

Ø cov (X, Y) = М (X ∙ Y) – М (X)∙ М (Y);

Ø cov (X, Х) = D (X) = М (X ²) – М ²(X);

Ø cov (X, Y) = cov (Y, X);

Ø если X и Y независимы, то cov (X, Y) и r (X, Y) равны 0; если cov (X, Y) и r (X, Y) равны 0, то между X и Y отсутствует линейная корреляционная зависимость;

Ø если ½ r (X, Y)½ = 1, то случайные переменные величины X и Y линейно зависимы функционально: Y = А + ВХ.

 

Задачи

 

12.1. По заданному закону распределения двумерной случайной величины R = { X, Y }: а) определить центр рассеяния R ₀; б) вычислить D (X), D (Y), s (X), s (Y), коэффициент корреляции; в) найти закон распределения случайной величины Z = X + Y; г) вычислить М (Z), D (Z):

12.1.1.		12.1.2.		12.1.3.
Y X	– 1					Y X						Y X
	0,2	0,1	0,05	0,05			0,2	0,1	0,05	0,05			0,2	0,1	0,05	0,05
		0,15	0,15	0,1				0,15	0,15	0,1				0,15	0,15	0,1
			0,1	0,1					0,1	0,1					0,1	0,1

 

12.2. По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания равна 0,75. Пусть случайная величина Х – число попаданий, случайная величина Y – число промахов. Составить таблицу совместного распределения вероятностей случайных величин X, Y и таблицу значений функции распределения F (x, y) системы случайных величин (X; Y).

 

12.3. Закон распределения случайного радиус-вектора R = { X, Y } задан таблицей значений р_ij = p (X = x_i; Y = y_j):

 

Y X
– 1		0,1	0,1	0,05
	0,05	0,1	0,15
	0,2	0,1		0,15

 

Найти условные вероятности p (X / Y = 3).

 

12.4. Задана таблица закона распределения дискретной двумерной случайной величины:

 

Y X
	0,16	0,12	0,08
	0,28	0,11	0,25

 

Найти: а) законы распределения случайных величин X и Y; б) функцию распределения системы случайных величин (X; Y). Установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

 

12.5. Среди 10 лотерейных билетов есть 2 выигрышных. Сначала девушка вытягивает один билет, затем один билет вытягивает юноша. Составить таблицу закона распределения системы случайных величин (X; Y), где X – число выигрышных билетов у девушки, Y – число выигрышных билетов у юноши. Найти: а) p { X > Y }; б) условные вероятности p (Y / X = 1). Установить, зависимы или нет компоненты X и Y.

 

12.6. Симметричную монету подбрасывают 3 раза. Пусть случайная величина X – количество гербов, выпавших в первом и втором испытаниях, а Y – количество гербов, выпавших во втором и третьем испытаниях. Найти: а) совместное распределение случайных величин X и Y; б) вероятность события { X ¹ Y }.

 

12.7. Заданы законы распределения двух независимых друг от друга случайных величин X и Y:

 

xi					yj
pi	0,1	0,3	0,6		pj	0,2	0,3	0,5

 

Составить таблицу значений функции распределения F (x, y) и вычислить ее значение в точке (9,2; 8,5).

 

12.8. При изготовлении втулки (полого цилиндра или конуса) брак вследствие ее утонченной стенки составляет 5%, а брак вследствие укороченной длины 4%. Годная продукция составляет 94%. Составить таблицу значений вероятностей р_ij = p (X = x_i; Y = y_j) закона распределения системы (X; Y), где X – индикатор случайного события {втулка имеет утонченную стенку}, Y – индикатор случайного события {втулка имеет укороченную длину}. Найти ковариацию случайных величин X и Y.

 

12.9. На вход измерительного прибора поступают взаимно независимые случайные сигналы X и Y с параметрами: M (X) = 5, s (X) = 2, M (Y) = 7, s (Y) = 3. На выходе прибора измеряется величина Z = 2 X ² – 3 XY + Y ². Найти M (Z).

 

12.10. Найти cov (X, Y), если Y = 3 X ² – 5 X +4 и задан закон распределения случайной величины Х:

 

Х	– 2
р (Х)	0,4	0,1	0,2	0,3