Тема 9. Показательный закон надежности

Справочный материал

 

· Закон показательного (экспоненциального) распределения непрерывной случайной величины X: закон показательного распределения непрерывной случайной величины Х задается формулой плотности вероятности f (x)= , где параметр λ > 0:

f (x)

	λ

 

0 х

· Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону: М (Х) = 1 / l.

· Дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону: D (X) = 1 / l ².

 

· СКО случайной величины, распределенной по показательному закону: σ (Х) = 1 / l.

 

· Интервальная вероятность равномерно распределенной случайной величины: р (х ₁£ Х < х ₂) = р (х ₁ £ Х £ х ₂) = = exp (– lx ₁) – exp (– lx ₂), где 0 £ х ₁ £ х ₂.

· Показательный закон надежности элемента – продолжительность времени t безотказной работы элемента с момента включения (т.е. случайная величина Т – время до первого сбоя в работе элемента) распределена по показательному закону: ; размерности l и t взаимно обратны, т.е. если t измеряется в часах, то размерностью l следует считать 1/ч; параметр l имеет смысл математического ожидания числа сбоев элемента за единицу времени и называется постоянной интенсивности отказов: l = 1/ М (Т).

 

· Функция надежности работы элемента R (t) – вероятность того, что элемент проработает надежно в течение времени t с момента включения, или, другими словами, сбой элемента наступит не ранее момента t: R (t) = p { T ³ t } = ; вероятность противоположного события – {сбой элемента произойдет раньше момента t с начала отсчета}– определяется функцией распределения случайной величины Т: F (t) = p { T < t } = 1– R (t) = 1 – .

 

· Характеристическое свойство показательного закона надежности: вероятность надежной работы элемента на интервале времени t не зависит от продолжительности времени его предшествовавшей безотказной работы.

 

Задачи

 

9.1. В результате наблюдения за дистанционным измерителем подъемного усилия консольного крана в течение 100 ч его работы зарегистрировано 4 отклонения показаний от действительной нагрузки. Найти вероятность того, что измеритель, безошибочно дававший показания в течение 5 ч после начала работы крана, будет надежно работать в течение последующих 10 ч, и вероятность того, что ошибка в показаниях измерителя возникает в течение 20 ч после начала работы крана.

 

9.2. Испытывают два независимо работающих элемента, длительность времени безотказной работы которых имеет показательное распределение: для первого элемента f ₁(t) = 0,02× e ^{– 0,02× t}, для второго элемента f ₁(t) = 0,05× e ^{– 0,05× t} при t ³ 0, измеряемого в часах. Найти вероятность того, что за время t = 6 ч: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.

 

9.3. Вероятность отказа элемента в течение 100 ч работы равна 0,095. Найти постоянную интенсивности отказов для этого элемента, полагая, что время его безотказной работы имеет показательный закон распределения.

 

9.4. Функция надежности работы элемента R (t) = e ^{– 0,01× t} (время t ³ 0 измеряется в часах). Найти вероятность того, что время надежной работы элемента окажется в пределах от 50 до 100 ч включительно.

 

9.5. Математическое ожидание числа отказов системы за 500 ч равно 2. Найти вероятность того, что в интервале между 75 и 150 ч с начала работы произойдет сбой в работе системы.

 

9.6. Математическое ожидание числа отказов радиоаппаратуры за 10000 часов работы равно 10. Определить вероятность отказа радиоаппаратуры за 100 ч работы, если время ее безотказной работы имеет показательный закон распределения.

 

9.7. Функция распределения длительности времени t в часах безотказной работы элемента F (t) = 1 – e ^{– 0,02× t} (t ³ 0). Найти вероятность того, что в течение 25 ч элемент проработает безотказно.

 

9.8. В результате наблюдений за работой системы в течение 200 ч зарегистрировано 10 отказов. Найти время безотказной работы системы, распределенное по показательному закону, гарантированное с вероятностью 0,95.

 

9.9. Функция распределения длительности времени t в часах безотказной работы элемента F (t) = 1 – e ^{– 0,005× t} (t ³ 0). Найти вероятность того, что в течение 100 ч произойдет отказ элемента.

 

9.10. Время безотказной работы системы Т является случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром l = 0, 00025 мин ^{– 1}. Определить математическое ожидание, дисперсию, СКО безотказной работы системы и вероятность того, что система не выйдет из строя в течение 8 часов.

 

9.11. Как показали опытные испытания, сбой в работе производимой электронной аппаратуры происходит в среднем 1 раз за 75000 часов ее непрерывной работы. Какой гарантийный срок непрерывной безотказной работы в часах с надежностью 0,95 следует определить предприятию-изготовителю на эту аппаратуру?

 

9.12. Установлено, что вероятность безотказной работы электромеханической системы в течение 100 часов равна 0,74. Найти среднее ожидаемое число сбоев в работе этой системы за 1000 часов наблюдения.