Тема 7. Непрерывная Случайная величина

Справочный материал

 

· Непрерывная случайная величина – случайная величина, возможные значения которой образуют континуальное множество действительных чисел, то есть, могут быть заданы конечными или бесконечными интервалами на числовой оси.

 

· Плотность вероятности непрерывной случайной величины f (x) – форма закона распределения непрерывной случайной величины, определяющая вероятность попадания принимаемого случайной величиной X значения x в бесконечно малый интервал, содержащий точку x, в расчете на единицу длины этого интервала:

.

· Кривая плотности вероятности непрерывной случайной величины – график функции f (x); вероятность попадания значения случайной величины X в результате испытания в некоторый интервал числовой оси численно равна площади криволинейной трапеции под участком графика функции f (x) на соответствующем интервале; площадь под всей кривой графика функции f (x) над осью x равна 1, так как .

 

· Функция распределения непрерывной случайной величины X – функция F (x) = р { X < x }= .

· Интервальная вероятность для непрерывной случайной величины:

р { x ₁ ≤ X< x ₂} = = F (x ₂) −F (x ₁).

· Математическое ожидание М (X) непрерывной случайной величины Х: М (Х) = .

· Дисперсия D (X) непрерывной случайной величины Х: D (X) = = М (Х ²)– М ²(Х).

· Мода непрерывной случайной величины Мо (Х) – точка максимума плотности вероятности f (x) случайной величины.

 

· Медиана непрерывной случайной величины Ме (Х) – значение случайной величины Х, для которого р { X < Ме (Х)} = р { X > Ме (Х)} = 1 / 2., т.е. медиана разбивает числовую ось значений случайной величины на два интервала, вероятность попасть значению случайной величины в каждый из которых равна 1/2; Ме (Х) является корнем уравнения F (x) = 0,5.

 

Задачи

7.1. По заданной функции плотности вероятности f (x) непрерывной случайной величины Х: а) найти постоянную величину С; б) найти функцию распределения F (x); в) построить графики функций f (x) и F (x); г) вычислить математическое ожидание М (Х), дисперсию D (X) и СКО σ (х) = случайной величины Х; д) определить моду Мо (Х) и рассчитать медиану Ме (Х) распределения случайной величины Х.

 

7.1.1. 7.1.2.

 

7.1.3. 7.1.4.

 

7.2. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (0; 1/3).

 

7.3 Случайная величина Х задана на всей оси х функцией распределения F (x) = 1/2 + (arctg x)/ p. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (0; 1).

 

7.4 Случайная величина Х задана функцией распределения: .

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение: а) не меньше 0,2; б) меньше 1,5; в) не меньше 5.

 

7.5 Случайная величина Х задана функцией распределения: .

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых идентичных испытаний случайная величина Х ровно три раза примет значение, заключенное в интервале (0,25; 0,75).