Сборник задач по теории вероятностей

О.Ю. Горлова, В.И. Самарин

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ИНЖЕНЕРНЫХ

СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

 

 

Сочи ± СГУТиКД ± 2009

 

 

УДК 519.2

ББК 22.171

Г67

Печатается по решению Ученого совета ФИТиМ СГУТиКД (протокол № 4 от 11.12.2008).

 

 

Авторы:

ст. препод. О.Ю. Горлова,

канд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Самарин

 

 

Рецензент

канд. техн. наук, проф. И.Л. Макарова

 

Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике

Г67 для студентов инженерных специальностей: Учебное издание. – Сочи: СГУТиКД, 2009. – 52 с.

 

Приведены варианты задач по каждой из основных тем теории вероятностей и математической статистики.

Задачи по каждой теме предваряются вводным понятийным материалом и основными расчетными формулами.

Для студентов инженерных специальностей всех форм обучения.

 

 

Ó СГУТиКД, 2009

Ó Горлова О.Ю., Самарин В.И., 2009

 

Оглавление

 

Тема 1. Решение комбинаторных задач……………………………………………… 4

Тема 2. Определение вероятности события…………………………………………. 7

Тема 3. Использование теорем сложения и умножения……………………………. 9

Тема 4. Использование формул полной вероятности и Байеса…………………….. 12

Тема 5. Схема Бернулли……………………………………………………………….. 16

Тема 6. Дискретная случайная величина…………………………………………….. 19

Тема 7. Непрерывная случайная величина…………………………………………... 22

Тема 8. Равномерное распределение…………………………………………………. 24

Тема 9. Показательный закон надежности…………………………………………… 25

Тема 10. Нормальная случайная величина…………………………………………... 28

Тема 11. Неравенства Маркова и Чебышева…………………………………………. 31

Тема 12. Двумерная случайная величина…………………………………………….. 35

Тема 13. Статистические оценки……………………………………………………… 38

Тема 14. Парная линейная регрессия…………………………………………………. 42

ПРИЛОЖЕНИЯ:

Приложение 1. Значения функции стандартного распределения j (х)……………... 46

Приложение 2. Значения нормированной функции Лапласа F (х)………………… 47

Приложение 3. Значения функции ехр (– х)…………………………………………. 48

Приложение 4. Значения коэффициентов Стьюдента t (γ, n)……………………….. 49

Приложение 5. Значения параметра точности оценки стандартного отклонения

нормальной случайной величины генеральной совокупности q (γ, n)…………… 50

Приложение 6. Критические точки распределения χ ²(α, k)…………......................... 51

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА……………………………………………… 52

 

 

Задачи

1.1. В продаже 3 вида коробок конфет. Сколькими способами можно заказать набор из 5-ти коробок?

 

1.2. На четвертом курсе инженерно-экологического факультета 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на субботу, если на этот день запланировано 3 пары по различным предметам?

 

1.3. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различного цвета, если имеется материал пяти различных цветов?

 

1.4. На велогонке 8 этапов. Сколькими комбинациями велосипедист может быть поощрен майками лидера этапных заездов?

 

1.5. Секретный замок составлен из трех дисков, на каждом из которых 10 цифр. Сколько комбинаций можно составить для его открывания?

 

1.6. Найти число комбинаций из возможных различных месяцев рождения у трех человек, если порядок следования месяцев имеет значение.

 

1.7. Стройуправлением получено 6 одинаковых строительных вагончиков, Сколькими способами можно распределить вагончики между 8-ю стройплощадками?

1.8. Лифт в шестиэтажной гостинице отправляется с цокольного этажа вверх с 3-мя пассажирами. Найти число вариантов распределения пассажиров по 5-ти верхним этажам, если на каждом этаже выходит не более одного пассажира.

 

1.9. По шоссе едут автомобили в одном направлении: 4 отечественные марки и 6 иномарок. Сколько возможно вариантов расположения машин вдоль одной полосы на шоссе?

 

1.10. Сколько различных экзаменационных комиссий, состоящих из 7 человек, может быть образовано из 10 преподавателей?

 

1.11. Столовая базы отдыха предлагает комплексный обед из трех блюд с выбором: на первое – одно из 5-ти блюд, на второе – одно их 4-х и на третье – одно из 4-х. Найти число возможных комбинаций заказать обед из трех блюд.

 

1.12. В чемпионате страны по футболу участвуют 18 команд, причем каждые две команды встречаются между собой 2 раза (один раз в 1-ом круге, второй раз во 2-ом круге). Сколько матчей играется в каждом круге и в течение сезона?

 

1.13. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3?

 

1.14. Два автора должны написать учебник из 6-ти глав, причем первый должен написать 4 главы, а второй 2. Сколькими способами могут быть распределены главы учебника между авторами?

 

1.15. На старте 15 пловцов. Сколько возможно различных комбинаций распределения 1-го, 2-го и 3-го мест между ними, если случаи одновременного финиша исключаются?

 

1.16. На столе 30 экзаменационных билетов. Сколько комбинаций могут составить номера трех первых взятых билетов?

 

1.17. На лыжной дистанции 4 этапа. Сколько возможно комбинаций отметки лыжника номером лидера?

 

1.18. Причина смерти устанавливается криминалистами по не более чем 5-ти основным признакам. Сколько возможно комбинаций этих признаков, по которым установлена причина смерти?

 

1.19. В группе 30 студентов. Сколькими способами можно выбрать двух из них на студенческую конференцию университета?

 

1.20. Три свидетеля дали несовпадающие данные по форме носа и подбородка преступника. В остальных чертах его лица их показания совпали. Сколько может быть составлено фотороботов по полученной следователем информации?

Задачи

2.1. В контейнере 16 одинаковых мешков цемента, в том числе 5 мешков марки А, 7 мешков с цементом марки В, остальные марки С. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 11 мешков окажется ровно 3 мешка с цементом марки А и 6 мешков с цементом марки В.

 

2.2. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наугад отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

 

2.3. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

 

2.4. На отрезке ОА длины L числовой оси х наудачу поставлена точка В. Найти вероятность того, что меньший из ОВ и ВА имеет длину, большую, чем L /3. Предполагается, что вероятность попадания точки В на любой отрезок внутри ОА пропорциональна длине этого отрезка.

 

2.5. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2 а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса R < a. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

 

2.6. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов кажутся 5 отличников.

 

2.7. В «секретном» замке на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.

 

2.8. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута карта пиковой масти или туз?

 

2.9. На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После их тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово ЖУК?

 

2.10. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых деталей окажется 4 стандартных.

 

2.11. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрываются 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.

 

2.12. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры, и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

 

2.13. Для производственной практики на 30 студентов предоставлены 15 мест в Рязани, 8 – в Тамбове и 7 – в Воронеже. Какова вероятность того, что 2 определенных студента попадут на практику в один город?

 

2.14. В ящике находятся 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шариков. Наудачу вынимают 6 шариков. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шарика?

 

2.15. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.

 

2.16. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной а наудачу брошена монета радиуса R < a/ 2. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения.

 

2.17. В ящике 15 шариков, из которых 5 синих и 10 красных. Наугад выбирают 6 шариков. Найти вероятность того, что среди вынутых шариков окажутся 2 синих.

 

2.18. Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 студента – разрядники?

 

2.19. В лифт на 1-ом этаже 9-этажного дома вошли 4 человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже со 2-го по 9-ый. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на 6-ом этаже? б) на одном этаже?

 

2.20. Бросаются два игральных кубика, грани каждого из которых занумерованы от 1 до 6. Какова вероятность выпадения «дубля»?

 

2.21. Слово «керамзит» составлено из букв разрезной азбуки. После перемешивания карточек с буквами этого слова из них извлекаются по очереди 4 карточки. Какова вероятность того, что буквы на этих 4-х карточках в порядке их извлечения составят слово «метр»?

 

 

Задачи

3.1 На вибростенде аттестуются три автономные конструкции. При заданных уровне и времени воздействия вибрации, вероятность возникновения повреждений в первой конструкции р ₁ = 0,6, во второй – р ₂ = 0,7, в третьей – р ₃ = 0,8. Найти вероятность того, что в процессе аттестации возникнут повреждения: а) хотя бы в одной конструкции; б) только в одной конструкции.

 

3.2 Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна для первого сигнализатора 0,95 и для второго – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

 

3.3 Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.

 

3.4 Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1-м, 2-м, 3-м справочниках равна соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) хотя бы в двух справочниках; в) хотя бы в одном справочнике; г) во всех 3-х справочниках.

 

3.5 Работа электронного устройства прекратилась вследствие выхода из строя одного из пяти унифицированных блоков. Производится последовательная замена блока новым до тех пор, пока устройство не начнет работать. Какова вероятность того, что придется заменить: а) 2 блока; б) 4 блока?

 

3.6 Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8. Оба они, начиная с первого, поочередно стреляют, но делают не более чем по два выстрела, причем каждый стрелок стреляет второй раз при условии, что при первом выстреле промахнулся. Найти вероятность того, что в мишени две пробоины.

 

3.7 Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

 

3.8 Вероятность срабатывания турникета при опускании жетона равна 0,9. Найти вероятность того, что: а) понадобится 3 жетона для того, чтобы пройти через турникет; б) хватит трех жетонов для того, чтобы пройти через турникет.

 

3.9 В ящике 5 стандартных и 3 бракованных изделий. Найти вероятность того, что первое наугад вынутое из ящика изделие будет стандартным, а второе – бракованным.

 

3.10. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятность отказа первого, второго и третьего элемента равна соответственно: р ₁ = 0,1, р ₂ = 0,15, р ₃ = 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

 

3.11. Вероятность выхода из строя i -го элемента в течение некоторого времени Т указанной цепи равна р_i. Все элементы цепи функционируют независимо друг от друга. Найти вероятность того, что, что вся цепь не выйдет из строя в течение времени Т (р ₁ = 0,12; р ₂ = 0,04; р ₃ = 0,06; р ₄ = 0,15).

 

1) 2)

 

 

3) 4)

 

 

5) 6)

 

 

 

 

7) 8)

 

 

 

9) 10)

 

Задачи

 

4.1 Предварительной проверке подлежат сварные швы, среди которых 20% дефектных. Проводимая проверка с вероятностью 0,1 не обнаруживает дефект, если он есть, и с вероятностью 0,05 приписывает дефектность качественному шву. Найти вероятность того, что дефект будет иметь сварной шов, который данной проверкой признан качественным.

 

4.2 В группе 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящих экзаменах отличники могут получить только отличные оценки, хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты получают с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

 

4.3 На распределительной базе находятся электрические лампочки, изготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлено первым заводом и 40% – вторым. Известно, что из каждых ста лампочек, изготовленных первым заводом, 95 удовлетворяют стандарту, а из ста лампочек, изготовленных вторым заводом, 85 удовлетворяют стандарту. Определить вероятность того, что наудачу выбранная лампочка будет удовлетворять стандарту.

 

4.4 Среди поступивших на фирму комплектующих изделий 80% – стандартные. Упрощенная схема контроля признает стандартное изделие пригодным к монтажу с вероятностью 0,9, а нестандартное – с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, признанное при контроле пригодным к монтажу, – стандартное.

 

4.5 Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

 

4.6 В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела – 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

 

4.7 Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по этому шоссе, как 3: 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

 

4.8 В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием K, 20% – с заболеванием М, 30% – с заболеванием L. Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7; для болезни L и М эта вероятность равна соответственно 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K.

 

4.9 Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объем продукции второго завода в 3 раза превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода составляет 2%, у второго 1%. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и направили на продажу. Какова вероятность того, что приобретено изделие второго завода, если оно оказалось бракованным?

 

4.10. На предприятии изготовляются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 30% изделий от общего объема производства, на второй – 25%, на третьей – остальная часть продукции. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности продукции: 97%, 98%, 96%. Наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, оказалось бракованным. Определить вероятности того, что это изделие изготовлено на первой, на второй и на третьей линии.

 

4.11. На предприятии, изготовляющем болты, первая машина производит 30%, вторая – 25%, третья – 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1%, 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт из продукции, произведенной этими тремя машинами, окажется бракованным.

 

4.12. Расследуются причины неудачного запуска космической ракеты, о котором можно высказать 4 предположения (гипотезы) В ₁, В ₂, В ₃, В ₄. По данным статистики р (В ₁) = 0,2; р (В ₂) = 0,4; р (В ₃) =0,3; р (В ₄) = 0,1. В ходе расследования обнаружено, что произошла утечка топлива (событие А). Условные вероятности события А согласно той же статистике р (А/В ₁) = 0,9; р (А/В ₂) = 0; р (А/В ₃) = 0,2; р (А/В ₄) = 0,3. Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях?

 

4.13. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем первый контролер проверяет 55% изделий, а второй – остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, второй – 0,02. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что изделие проверялось вторым контролером.

 

4.14. Стройуправление обеспечит завершение стройки на острове в срок с вероятностью 0,95, если стройматериалы будут перевезены расчетным числом судов, при меньшем числе судов стройка будет завершена в срок с вероятностью 0,6. В свою очередь, пароходство обеспечит курсирование заявленного числа судов с вероятностью 0,8 и с вероятностью 0,2 судов может оказаться меньше. Найти вероятность того, что стройка на острове будет завершена в запланированный срок.

 

4.15. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2, а у второго – 0,6. Охотники одновременно произвели по одному выстрелу по цели. В результате цель была поражена одним попаданием. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник?

 

4.16. Грибник, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело 5 тропинок. Известно, что вероятность выхода из леса за час для этих тропинок равна соответственно: 0,6; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1. Чему равна вероятность того, что грибник пошел по первой тропинке, если известно, что он вышел из леса через час?

 

4.17. Среди 25 экзаменационных билетов 5 наиболее простых. Найти вероятность того, что билет, взятый вторым студентом, после первого, окажется простым.

 

4.18. Компания по автострахованию делит водителей на 3 категории: «осторожные», которые составляют 40% автовладельцев, «умеренно рискующие» – 50%, «лихачи» – 10%. Вероятность попасть в течение года в аварию для первых составляет 0,05, для вторых – 0,1, для третьих – 0,2. Найти вероятность, того, что застраховавший в этой компании свой автомобиль водитель, который попал в аварию – «лихач».

 

4.19. Вероятность нормального крейсерского режима полета самолета 0,9, а вероятность полета в условиях турбулентности 0,1. Вероятность выхода из строя установленного на самолете прибора в ходе крейсерского режима полета составляет 0,05, а при перегрузках – 0,15. Найти вероятность надежной работы прибора за время полета.

 

4.20. Из 100 студентов 1-го курса сделали прививку от гриппа 80. Вероятность заболеть гриппом не сделавшему прививку 0,7, а сделавшему – 0,1. Найти вероятность того, что студент, заболевший гриппом, не сделал прививку.

 

Тема 5. СХЕМА БЕРНУЛЛИ

Справочный материал

 

· Схема Бернулли – система независимых идентичных испытаний, в каждом из которых рассматриваются только два взаимно противоположных события А и , вероятности которых от испытания к испытанию неизменны: р (А) = р, р () = q, т.е. р + q = 1.

 

· Локальная вероятность в условиях схемы Бернулли р_n (m) – вероятность того, что в n испытаниях в условиях схемы Бернулли событие А произойдет ровно m раз (безразлично в какой последовательности), а n − m раз произойдет событие .

 

· Интервальная вероятность в условиях схемы Бернулли р_n (m ₁, m ₂) – вероятность того, что в n испытаниях в условиях схемы Бернулли событие А произойдет не менее m ₁ раз, но не более m ₂ раз, т.е. m ₁ ≤ m ≤ m ₂.

· Наивероятнейшее число m ₀ появления события А в условиях схемы Бернулли определяется из системы неравенств

np – q ≤ m ₀ ≤ np + p;

с учетом того, что m ₀– целое неотрицательное число:

а) ограничение m ₀снизу (np – q)и ограничение m ₀сверху (np + p)отличаются друг от друга на единицу;

б) если число np – q дробное, то существует одно наивероятнейшее число m ₀;

в) если число np – q целое, то существует два наивероятнейших числа и в этом случае вероятность наивероятнейшего числа появления события А следует рассчитывать согласно формуле р_n (m ₀) = р_n (m¢ ₀) + р_n (m² ₀).

г) если число np целое, то наивероятнейшее число m ₀ = np.

· Практически используемые формулы расчета вероятности в условиях схемы Бернулли в зависимости от значений параметров n, np, npq:

 

n	npq	pn (m)	pn (m 1; m 2)
n ≤ 10	для всех npq	= (формула Бернулли)
n > 10	npq > 9	(локальная формула Муавра – Лапласа)	(интегральная формула Муавра - Лапласа)
npq ≤ 9 (p < q)	(формула Пуассона)

 

где n – число испытаний в условиях схемы Бернулли, m – число появления события А при n испытаниях; p – вероятность события А в одном испытании; q = 1− p − вероятность события в одном испытании; ; ; ; – функция стандартного распределения (функция j (x) – четная, т.е. j (− x) = j (x)); – нормированная функция Лапласа (функция F (x)– нечетная, т.е. F (− x)= − F (x)).

Задачи

 

5.1. Осветительная сеть городского микрорайона охватывает 100 лампионов. Вероятность для каждого из них погаснуть в течение квартала при поданном напряжении равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение квартала число погасших лампионов окажется в пределах от 10 до 25 включительно.

 

5.2. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей: а) три девочки и 2 мальчика; б) среди детей девочек не больше трех. Вероятности рождения девочки и мальчика считать одинаковыми.

 

5.3. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из 3-х вопрос, заданный учителем, отвечали по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших было два мальчика и одна девочка?

 

5.4. В урне 10 белых и 40 черных шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют и шар возвращают обратно в урну. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара.

 

5.5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

 

5.6. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) ровно 70 раз.

 

5.7. Всхожесть семян данного растения равна 0,95. Найти вероятность того, что из 100 посаженных семян число не проросших семян окажется равным 2.

 

5.8. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти?

 

5.9. Отдел технического контроля проверяет партию из 10 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число деталей, которые будут признаны стандартными.

 

5.10. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,8, а для второго – 0,6. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых оба стрелка попадут в мишень, если будет произведено 15 залпов.

 

5.11. В водоеме карпы составляют 80%. Найти вероятность того, что из 5-ти выловленных в этом водоеме рыб окажется: а) 3 карпа; б) не менее 3-х карпов.

 

5.12. Гуманитарную помощь, сбрасываемую в труднодоступный район бедствия с самолета, можно считать эффективной, если до пострадавших доходит не менее 25% груза. Найти вероятность того, что помощь будет эффективной, если над районом бедствия сброшено 84 ящика, а вероятность для каждого ящика быть найденным на земле с неповрежденным грузом равна 0,3.

 

5.13. Вероятность изготовления изделия высшего качества на данном предприятии равна 0,78. Найти вероятность того, что в партии из 150 изделий 120 – высшего качества.

 

5.14. С целью природоохранных мер на рекреационной территории высадили 2100 саженцев. Вероятность прижиться для каждого саженца равна 0,7. Найти вероятность того, что приживется не менее 1500 саженцев.

 

5.15. Вероятность выхода из строя очистительного сооружения за год равна 0,005. Найти вероятность того, что из работающих 50 сооружений за год выйдет из строя не более одного.

 

5.16. Вероятность того, что подъемному крану потребуется ремонт в течение месяца, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение этого срока при шести работающих кранах потребуется ремонт: а) не более одного из них; б) хотя бы одного из них.

 

5.17. Вероятность выигрыша на каждый лотерейный билет равна 0,02. Найти вероятность хотя бы одного выигрыша на 15 купленных билетов.

 

5.18. Завод отправил на базу 500 компьютерных мониторов. Вероятность повреждения монитора в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: а) ровно три монитора; б) менее трех мониторов; в) более трех мониторов; г) хотя бы один монитор.

 

5.19. При заключении торговой сделки риск в среднем составляет 10%. Найти вероятность того, что при заключении 4-х сделок, успешными окажутся не менее 3-х из них.

 

5.20. Вероятность рецидива уголовного преступления равна 0,6. Найти вероятность наивероятнейшего числа преступников-рецидивистов среди 39-ти, осужденных за неделю за уголовные преступления.

 

Задачи

6.1. Вероятности того, что студент сдаст семестровый экзамен в сессию по дисциплинам А и В, равны соответственно 0,7 и 0,9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент по этим дисциплинам, и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

 

6.2. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

 

хj
pj	р 1	0,15	р 3	0,25	0,35

 

Найти: а) р ₁ и р ₃, если известно, что р ₃ в 4 раза больше р ₁; б) М (Х), D (X), F (x). Построить график F (x) и многоугольник распределения.

 

6.3. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Рассматривается дискретная случайная величина Х – число выпадений гербов на обеих монетах. Записать закон распределения случайной величины Х. Найти М (Х), D (X), F (x). Построить график F (x) и многоугольник распределения.

 

6.4. В коробке 7 карандашей, из которых 4 красных. Из этой коробки наудачу извлекают 3 карандаша. Найти: а) закон распределения случайной величины Х, равной числу красных карандашей в выборке; б) М (Х), D (X), F (x). Построить график F (x) и многоугольник распределения.

 

6.5. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из 4-х посаженных кустов. Найти М (Х), D (X), F (x). Построить график F (x).

 

6.6. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5-ти выданных. Найти М (Х), D (X), σ (Х).

 

6.7. Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено 4 ответа, один из которых – правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

 

6.8. В билете 3 задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9; второй – 0,8; третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

 

6.9. Произведено два выстрела в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8; вторым – 0,7. Каждый стрелок делает по одному выстрелу. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

 

6.10. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном испытании равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном испытании.

 

6.11. В партии деталей 10% – нестандартных. Наудачу отобраны четыре детали. Составить таблицу биномиального закона распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди 4-х отобранных и построить многоугольник полученного распределения.

 

6.12. На пути движения автомобиля 4 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо приостанавливает проезд. Составить закон распределения числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Построить многоугольник распределения этой случайной величины.

Задачи

7.1. По заданной функции плотности вероятности f (x) непрерывной случайной величины Х: а) найти постоянную величину С; б) найти функцию распределения F (x); в) построить графики функций f (x) и F (x); г) вычислить математическое ожидание М (Х), дисперсию D (X) и СКО σ (х) = случайной величины Х; д) определить моду Мо (Х) и рассчитать медиану Ме (Х) распределения случайной величины Х.

 

7.1.1. 7.1.2.

 

7.1.3. 7.1.4.

 

7.2. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (0; 1/3).

 

7.3 Случайная величина Х задана на всей оси х функцией распределения F (x) = 1/2 + (arctg x)/ p. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (0; 1).

 

7.4 Случайная величина Х задана функцией распределения: .

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение: а) не меньше 0,2; б) меньше 1,5; в) не меньше 5.

 

7.5 Случайная величина Х задана функцией распределения: .