Распределение вероятности: ТЕОРИЯ

Случайная величина – это величина, которая может принимать любое из набора взаимоисключающих значений с определенной вероятностью. Распределение вероятности показывает вероятностивсех возможных значенийслучайной переменной. Это теоретическое распределение, которое выражено математически и имеет среднее и дисперсию, являющиеся аналогами среднего и дисперсии в эмпирическом распределении. Каждое распределение вероятности обусловлено параметрами, обобщающими величинами (например, среднее и дисперсия), характеризующими данное распределение (т.е. знание их позволит подробно описать распределение). При помощи соответствующей статистики можно провести оценку этих параметров в выборке. В зависимости от того, относится ли случайная переменная к дискретным или непрерывным данным, распределение вероятности может быть либо дискретное, либо непрерывное.

Ø Дискретное (например, биноминальное, распределение Пуассона). Можно получить вероятности, соответствующие каждому возможному значению случайной переменной. Сумма всех таких вероятностей равна единице.

Ø Непрерывное (например, нормальное, Хи-квадрат, t и F). Можно получить вероятность случайной переменной X, только принимающей значения в определенных интервалах (потому что существует бесконечное множество значений X). Если горизонтальная ось изображает значения X, то можно начертить кривую из уравнения распределения (функция плотности распределения вероятности); она имеет сходство с эмпирическим относительным частотным распределением. Общая площадь под кривой равна единице; эта площадь отражает вероятность всех возможных событий. Вероятность того, что X находится между двумя пограничными значениями, равна площади под кривой между этими значениями.

НОРМАЛЬНОЕ (ГАУССОВСКОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Одно из самых важных распределений в статистике – нормальное распределение. Его функция плотности распределения вероятности:

v полностью определяется двумя параметрами, среднее (µ) и дисперсия (σ ²);

v колоколообразна (унимодальна);

v симметрична относительно среднего;

v сдвигается вправо, если среднее увеличивается, и влево, если среднее уменьшается (при постоянной дисперсии);

v сплющивается, если дисперсия увеличивается, но становится более остроконечной, если дисперсия уменьшается (для постоянного среднего).

Дополнительные свойства.

· Среднее и медиана нормального распределения равны.

· Вероятность того, что нормально распределенная случайная переменная X, со средним µ и стандартным отклонением σ, находящаяся между:

o (µ-σ) и (µ+σ), равна 0,68;

o (µ-1,96σ) и (µ+1,96σ), равна 0,95;

o (µ-2,58σ) и (µ+2,58σ), равна 0,99;

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: другие распределения

Непрерывное распределение вероятностей

Эти распространения основаны на непрерывных случайных переменных. Часто это не непосредственно измеряемая переменная, которая отвечает такому распределению, а параметр, статистика, полученная из этой переменной. Общая площадь под кривой функции плотности распределения вероятности есть сумма вероятностей всех возможных значений и равна 1.

T-распределение

- получено Вильямом Госсетом, который публиковался под псевдонимом Студент (Student), поэтому его часто называют t-распределением Стьюдента.

- Параметры, которые характеризуют t-распределение, - это степени свободы (df), так как мы сможем начертить функцию плотности распределения вероятности только в том случае, если мы будем знать уравнение t-распределения и степени свободы. Степени свободы часто выражаются через объем выборки.

- Форма подобна форме для стандартизованного нормального распределения, но более приплюснута и с более длинными хвостами. Форма приближается к нормальной кривой, по мере того как увеличиваются степени свободы.

- В частности, его применяют для вычисления доверительных интервалов и исследования гипотез с одной или двумя средними.